Содержание материала
Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
В этом тесте проверяется умение складывать дроби с одинаковыми знаменателями. При этом нужно соблюдать два правила:
- Если в результате получается неправильная дробь, нужно перевести ее в смешанное число.
- Если дробь можно сократить, обязательно сократите ее, иначе будет засчитан неправильный ответ.
Видео
Общий знаменатель: определение, примеры
Что такое общий знаменатель?
Общий знаменатель дробей — это любое положительное число, которое является общим кратным всех данных дробей.
Другими словами, общим знаменателем какого-то набора дробей будет такое натуральное число, которое без остатка делится на все знаменатели этих дробей.
Ряд натуральных чисел бесконечен, и поэтому, согласно определению, каждый набор обыкновенных дробей имеет бесконечное множество общих знаменателей. Иначе говоря, существует бесконечно много общих кратных для всех знаменателей исходного набора дробей.
Общий знаменатель для нескольких дробей легко найти, пользуясь определением. Пусть есть дроби и . Общим знаменателем дробей будет любое положительное общее кратное для чисел и . Такими положительными общими кратными являются числа 30, 60, 90, 120, 150, 180, 210 и так далее.
Рассмотрим пример.
Можно ди дроби 13, 216, 512 привести к общему знаменателю, который равен 150? Чтобы выяснить, так ли это, нужно проверить, является ли 150 общим кратным для знаменателей дробей, то есть для чисел 3, 6, 12. Другими словами, число 150 должно без остатка делиться на 3, 6, 12. Проверим: 150÷3=50, 150÷6=25, 150÷12=12,5 Значит, 150 не является общим знаменателем указанных дробей.
Наименьшее общее кратное
Наименьшее общее кратное (НОК) нескольких чисел — это самое маленькое натуральное число, которое делится без остатка на каждое из этих чисел.
Пример. Наименьшим общим кратным чисел 3, 4 и 9 является число 36, никакое другое число меньше 36 не делится одновременно на 3, 4 и 9 без остатка.
Наименьшее общее кратное записывается так:
НОК (a, b, …) = x.
Числа в круглых скобках могут быть указаны в любом порядке.
Пример. Запишем наименьшее общее кратное чисел 3, 4 и 9:
НОК (3, 4, 9) = 36.
Первый способ вычисления НОК
Один из способов нахождения НОК – нахождение кратных заданных чисел. Те числа, которые будут общими для обоих заданных чисел, будут общими кратными, и среди них нужно будет определить самое малое.
Возьмём для примера числа $6$ и $8$. Для начала вычислим числа, кратные $6$. Для этого последовательно умножим $6$ на числа от $1$ до $9$. Полученные произведения будут кратны $6$.
$$6 \cdot 1 = 6$$
$$6 \cdot 2 = 12$$
$$6 \cdot 3 = 18$$
$$6 \cdot 4 = 24$$
$$6 \cdot 5 = 30$$
$$6 \cdot 6 = 36$$
$$6 \cdot 7 = 42$$
$$6 \cdot 8 = 48$$
$$6 \cdot 9 = 54$$
Теперь находим числа, кратные $8$.
$$8 \cdot 1 = 8$$
$$8 \cdot 2 = 16$$
$$8 \cdot 3 = 24$$
$$8 \cdot 4 = 32$$
$$8 \cdot 5 = 40$$
$$8 \cdot 6 = 48$$
$$8 \cdot 7 = 56$$
$$8 \cdot 8 = 64$$
$$8 \cdot 9 = 72$$
Выпишем кратные обоих чисел (рисунок 2):
Теперь выделим те кратные, которые будут общими для обоих чисел.
Это будут числа $24$ и $48$. Выбираем из них меньшее.
Значит, НОК $ (6$ и $8) = 24$
Чтобы найти общий знаменатель, перемножим знаменатели:
Дополнительный множитель к первой дроби:
Дробь примет вид:
Дополнительный множитель ко второй дроби:
Дробь примет вид:
Дополнительный множитель к третьей дроби:
Дробь примет вид:
Итак, были дроби:
Запишем полученные дроби с общим знаменателем:
Примеры с несколькими дробями
Правило поиска ОЗ и НОЗ действует также и в отношении нескольких дробных чисел в ряде. Есть три значения: 3/9, 8/11 и 10/12. Для того чтобы переводить их, нужно совершать те же действия, которые представлены в правиле:
НОК (9; 11) = 99; НОК (99; 12) = 39; НОК (9; 11; 12) = 396;
396/9 = 44; 396/11 = 36; 396/12 = 33;
3*44/9*44 = 132/396; 8*36/11*36 =288/396; 10*33/12*33 =330/396;
НОЗ найден.
Приводить дробные соотношения к ОЗ требуется во многих случаях. Вычисление этой величины необходимо, чтобы получить разность дробей, провести их сложение, умножение или деление, а также при решении задач на доли и проценты, так как процентные соотношения — это обыкновенные выражения, которые содержат дробные соотношения.