Поиск значения алгебраических выражений

Как решать алгебраические выражения?

Для вычисления значений нужно делать преобразование алгебраических выражений. А для этого вам еще нужно учесть несколько правил.

Во-первых: областью определения алгебраических выражений являются все возможные значения переменной, при которых это выражение может иметь смысл. Что подразумевается? Например, нельзя подставлять такое значение переменной, при котором пришлось бы делить на нуль. В выражении1/(х – 2)из области определения надо исключить 2.

Во-вторых, запомните, как упрощать выражения: раскладывать на множители, выносить за скобки одинаковые переменные и т.п. Например: если поменять местами слагаемые, сумма от этого не изменится (у + х = х +у). Аналогично и произведение не изменится, если поменять местами множители (х*у = у*х).

А вообще для упрощения алгебраических выражений отлично служат формулы сокращенного умножения. Тем, кто их еще не выучил, обязательно надо это сделать – все равно пригодятся не раз:

• находим разность переменных, возведенных в квадрат: х² – у² = (х – у)(х + у);

• находим сумму, возведенную в квадрат: (х + у)² = х² + 2ху + у²;

• вычисляем разность, возведенную в квадрат: (х – у)² = х² – 2ху + у²;

  Читайте также: 9 способов найти и поймать комара в комнате. Как убить комара ночью?

• возводим сумму в куб: (х + у)³ = х³ + 3х²у + 3ху² + у³ или (х + у)³ = х³ + у³ + 3ху(х + у);

• возводим в куб разность: (х – у)³ = х³ – 3х²у + 3ху² – у³ или (х – у)³ = х³ – у³ – 3ху(х – у);

• находим сумму переменных, возведенных в куб: х³ + у³ = (х +у)(х² – ху + у²);

• вычисляем разность переменных, возведенных в куб: х³ – у³ = (х – у)(х² + ху + у²);

• используем корни: ха² + уа + z = х(а – а₁)(а – а₂), а₁ и а₂ – это корни выражения ха² + уа + z.

Еще вам стоит иметь представление о видах алгебраических выражений. Они бывают:

• рациональные, и те в свою очередь подразделяются на:

• целые(в них нет деления на переменные, нет извлечения корней из переменных и нет возведения в дробную степень): 3a³b + 4a²b * (a – b).Область определения – все возможные значения переменных;

• дробные(кроме остальных математических операций, вроде сложения, вычитания, умножения, в этих выражениях делят на переменную и возводят в степень (с натуральным показателем): (2/b – 3/a + с/4)². Область определения – все значения переменных, при которых выражение не равно нулю;

• иррациональные– чтобы алгебраическое выражение считалось таковым, в нем должно присутствовать возведение переменных в степень с дробным показателем и/или извлечение корней из переменных: √а + b^3/4. Область определения – все значения переменных, исключая те, при которых выражение под корнем четной степени или под дробной степенью становится отрицательным числом.

Тождественные преобразования алгебраических выражений – еще один полезный прием для их решения.Тождество – такое выражение, которое будет верным при любых входящих в область определения переменных, которые в него подставят.

Выражение, которое зависит от некоторых переменных, может быть тождественно равно другому выражению, если то зависит от тех же переменных и если значения обоих выражений равны, какие бы значения переменных не были выбраны. Другими словами, если выражение можно выразить двумя разными способами (выражениями), значения которых одинаковые, эти выражения тождественно равны. Например: у + у = 2у, или х⁷ = х⁴*х³, или x +y +z = z + x +y.

При выполнении заданий с алгебраическими выражениями тождественное преобразование служит для того, чтобы одно выражение можно было заменить на другое, тождественное ему. К примеру, заменить х⁹ на произведение х⁵*х⁴.

Видео

Раскрытие скобок

Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак плюс, надо опустить этот знак плюс, опустить скобки и записать все члены, стоящие в скобках, с их знаками.

Это правило вытекает из правила сложения многочленов, сформулированного в § 9.

Примеры:

Из правила вычитания многочлена вытекает правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак минус.

Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак минус, надо опустить этот знак минус, опустить скобки и записать все члены, стоящие в скобках, со знаками, противоположными их знакам.

Примеры:

Решаем выражения с тригонометрической функцией

Часто в выражениях встречаются тригонометрические функции. Всего их в математике шесть:

• Синус;
• Косинус;
• Котангенс;
• Тангенс;
• Секанс;
• Косеканс.

Изучение тригонометрии начинается в 9-м классе, когда ученики уже подготовлены к сложным задачам. Большинство заданий представляются с sin и cos. Остальные функции встречаются значительно реже.

В математических примерах, которые содержат sin, cos, tg и др. функции, вычисление тригонометрической функции производится в первую очередь. Если это невозможно — осуществляется упрощение выражения до получения краткой формулы.

Задача. Решить:

\[ \frac{24}{\sin ^{2} 127+1+\sin ^{2} 217} \]

Решение. Разложим 217 на 90 и 127. Т.к. по формуле приведения sin(90 + a) = cosa, получаем:

sin217 — sin (90 + 127) = cos127

Теперь заменяем полученной формулой наше слагаемое в знаменателе дроби:

\[ \frac{24}{\sin ^{2} 127+\cos ^{2} 127+1} \]

Вспоминаем, что по тригонометрическому тождеству sin²a+ cos² a= 1 (независимо от значения угла a). Поэтому одну часть слагаемого знаменателя (sin²127+ cos²127) преобразуем в единицу и получаем:

\[ \frac{24}{\sin ^{2} 127+\cos ^{2} 127+1}=\frac{24}{1+1}=\frac{24}{2}=2 \]

Ответ. 2

Важно: Не стоит бояться буквенных тригонометрических значений. Большинство примеров построено таким образом, чтобы функции можно было заменить более удобной для вычисления формулой. Поэтому вместо того, чтобы пытаться сразу решить пример, стоит обратить внимание на особенности функций и возможность их приведения к подходящей формуле.

Задача. Решить:

\[ \sqrt{4} 8-\sqrt{1} 92 \sin ^{2} \frac{19 \pi}{12}=? \]

Решение. Начинаем решение с разбора второй дроби. Обращаем внимание, что 192 = 48 • 2. А значит, корень этого числа можно представить в виде 2√48. Зная это и используя формулу косинуса двойного угла, преобразим наше выражение:

Теперь по формуле приведения решаем наш пример:

\[ \sqrt{4} 8 \cos \left(3 \pi+\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt{4} 8\left(-\cos \frac{\pi}{6}\right)=-\sqrt{4} 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=-4 \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=-6 \]

Ответ. — 6.

Алгебраические выражения

Определение: Алгебраическое выражение — это числовое выражение содержащее буквенную часть и имеющее смысл.

Примеры алгебраических выражений

1. Выражения с одной переменной.

Рассмотрим какое-нибудь выражение с одной переменной, например: \(\footnotesize \textcolor{#ed5fa6}{a}(\textcolor{#ed5fa6}{a}+1).\) При \(\footnotesize \textcolor{#ed5fa6}{a}=\textcolor{#3eb489}{2}\) его значение равно \(\footnotesize 6,\) так как \(\footnotesize \textcolor{#3eb489}{2}\cdot (\textcolor{#3eb489}{2}+1)=6.\) При \(\footnotesize a=8\) значение этого выражения равно \(\footnotesize 72,\) при \(\footnotesize a=-1\) — нулю, при \(\footnotesize a=0\) тоже нулю.

Если значения переменной \(\footnotesize a\) образуют множество \(\footnotesize A=\begin{Bmatrix} 2; 8; -1; 0 \end{Bmatrix},\) то значения выражения \(\footnotesize a(a+1)\) составят множество \(\footnotesize B=\begin{Bmatrix} 6; 72; 0 \end{Bmatrix}.\)

Если множество значений переменной, входящей в выражение, не указано, то считается, что переменная принимает все те значения, при которых выражение имеет смысл. Например, если ничего не сказано о множестве значений переменной \(\footnotesize p\) в выражении \(\footnotesize \frac{p}{2p-6},\) то имеется в виду, что переменная \(\footnotesize p\) принимает любые числовые значения, кроме \(\footnotesize 3.\)

2. Выражения с несколькими переменными.

Значение выражения \(\footnotesize (x-2y)^2\) зависит от значений переменных \(\footnotesize x\) и \(\footnotesize y.\) Пусть переменная \(\footnotesize x\) принимает значения из множества \(\footnotesize X=\begin{Bmatrix} 1; 5 \end{Bmatrix}\) , а переменная \(\footnotesize y\) — из множества \(\footnotesize Y=\begin{Bmatrix} 1; 2; 5 \end{Bmatrix}\)

\( (x-2y)^2 = \begin{cases} 81 \leftarrow\textcolor{gray}{если \ x=1, y=5,}\\ 9 \leftarrow\textcolor{gray}{если \ x=5, y=1;} \end{cases} \)

Каждой паре значений переменных \(\footnotesize x\) и \(\footnotesize y\) соответствует определенное значение выражения \(\footnotesize (x-2y)^2\) причем единственное. Составим всевозможные пары значений \(\footnotesize x\) и \(\footnotesize y\) и для каждой из них найдем соответствующее значение выражения:

\[\ \ \ \ x \ \ \ \]	\[\ \ \ \ y \ \ \ \]	\[(x-2y)^2\]
\[\textcolor{#3eb489}{1}\]	\[\textcolor{#ed5fa6}{1}\]	\[=(\textcolor{#3eb489}{1}-2\cdot\textcolor{#ed5fa6}{1})^2=1\]
\[\textcolor{#3eb489}{1}\]	\[\textcolor{#ed5fa6}{2}\]	\[=(\textcolor{#3eb489}{1}-2\cdot\textcolor{#ed5fa6}{2})^2=9\]
\[\textcolor{#3eb489}{1}\]	\[\textcolor{#ed5fa6}{5}\]	\[=(\textcolor{#3eb489}{1}-2\cdot\textcolor{#ed5fa6}{5})^2=81\]
\[\textcolor{#3eb489}{5}\]	\[\textcolor{#ed5fa6}{1}\]	\[=(\textcolor{#3eb489}{5}-2\cdot\textcolor{#ed5fa6}{1})^2=9\]
\[\textcolor{#3eb489}{5}\]	\[\textcolor{#ed5fa6}{2}\]	\[=(\textcolor{#3eb489}{5}-2\cdot\textcolor{#ed5fa6}{2})^2=1\]
\[\textcolor{#3eb489}{5}\]	\[\textcolor{#ed5fa6}{5}\]	\[=(\textcolor{#3eb489}{5}-2\cdot\textcolor{#ed5fa6}{5})^2=25\]

Значения выражения \(\footnotesize (x-2y)^2\) образуют множество \(\footnotesize \begin{Bmatrix} 1; 9; 81; 25 \end{Bmatrix}.\)

Если в выражении с двумя переменными множества их значений не указаны, то считают, что переменные принимают любые значения, при которых данное выражение имеет смысл.

Например, если ничего не сказано о множествах значений переменных \(\small \textcolor{#3eb489}{x}\) и \(\small \textcolor{#ed5fa6}{y}\) в выражении \( \frac{5}{\textcolor{#3eb489}{x}-\textcolor{#ed5fa6}{y}},\) то считается, что переменные \(\small \textcolor{#3eb489}{x}\) и \(\small \textcolor{#ed5fa6}{y}\) принимают любые не равные между собой значения.

Преобразование числовых и алгебраических выражений

При решении почти любой школьной задачи приходится делать те или иные преобразования. Зачастую ее сложность полностью определяется степенью сложности и объемом преобразований, которые необходимо выполнить. Не так уж редки случаи, когда школьник оказывается не в состоянии решить задачу не потому, что не знает, как она решается, а потому, что он не может без ошибок, в разумное время произвести все необходимые преобразования и вычисления.

Примеры на преобразование числовых и алгебраических выражений важны не сами по себе (хотя среди них есть и содержательные), а как средство развития техники преобразований, можно даже сказать, культуры преобразований.

Заметим, что с заданиями «упростить выражение» мы достаточно часто сталкиваемся в школе; при этом всякий раз понятно, что надо сделать. Элементарный «здравый смысл» помогает нам определить, какое выражение проще, а какое сложнее, до каких пор следует упрощать заданное выражение.

Теги