Площадь криволинейной трапеции с примерами решения

Формула для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y=f(x) или x=g(y)

Теорема

Пусть функции y=f1(x)  и y=f2(x) определены и непрерывны на отрезке [a;b], причем f1(x)≤f2(x) для любого значения x из [a;b]. Тогда формула для вычисления площади фигуры G, ограниченной линиями x=a, x=b, y=f1(x)  и y=f2(x) будет иметь вид S(G)=∫abf2(x)-f1(x)dx. Похожая формула будет применима для площади фигуры, ограниченной линиями y=c, y=d, x=g1(y) и x=g2(y): S(G)=∫cd(g2(y)-g1(y)dy.

Доказательство

Разберем три случая, для которых формула будет справедлива. В первом случае, учитывая свойство аддитивности площади, сумма площадей исходной фигуры G и криволинейной трапеции G1 равна площади фигуры G2. Это значит, что Поэтому, S(G)=S(G2)-S(G1)=∫abf2(x)dx-∫abf1(x)dx=∫ab(f2(x)-f1(x))dx. Выполнить последний переход мы можем с использованием третьего свойства определенного интеграла. Во втором случае справедливо равенство: S(G)=S(G2)+S(G1)=∫abf2(x)dx+-∫abf1(x)dx=∫ab(f2(x)-f1(x))dx Графическая иллюстрация будет иметь вид: Если обе функции неположительные, получаем: S(G)=S(G2)-S(G1)=-∫abf2(x)dx—∫abf1(x)dx=∫ab(f2(x)-f1(x))dx . Графическая иллюстрация будет иметь вид: Перейдем к рассмотрению общего случая, когда  y=f1(x)  и y=f2(x) пересекают ось Ox. Точки пересечения мы обозначим как  xi, i=1, 2,…, n-1. Эти точки разбивают отрезок [a; b] на n частей xi-1; xi, i=1, 2,…, n, где α=x<x1<x2<…<xn-1<xn=b. Фигуру G можно представить объединением фигур Gi, i=1, 2,…, n. Очевидно, что на своем интервале Gi попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S(Gi)=∫xi-1xi(f2(x)-f1(x))dx, i=1, 2,…, n Следовательно,  S(G)=∑i=1nS(Gi)=∑i=1n∫xixif2(x)-f1(x))dx==∫xxn(f2(x)-f(x))dx=∫abf2(x)-f1(x)dx Последний переход мы можем осуществить с использованием пятого свойства определенного интеграла. Проиллюстрируем на графике общий случай. Формулу S(G)=∫abf2(x)-f1(x)dx можно считать доказанной.

А теперь перейдем к разбору примеров вычисления площади фигур, которые ограничены линиями y=f(x) и x=g(y).

Видео

Решить задачи самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 10. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций Правильное решение и ответ. и Правильное решение и ответ..

Правильное решение и ответ.

Пример 11. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой Правильное решение и ответ., прямой Ox и осью Ox (y=0).

Правильное решение и ответ.

Теги

Популярные:

Последние:

Adblock
detector