Содержание материала
Задачи на проценты коротко о главном
Один процент любого числа – это одна сотая этого числа.
- Проценты и десятичные дроби
- \( \displaystyle 25\%=\frac{25}{100}=0,25\);
- \( \displaystyle 247\%=\frac{247}{100}=2,47\);
- \( \displaystyle 15,8\%=\frac{15,8}{100}=0,158\)
- Изменение числа на сколько-то процентов
Допустим, нужно увеличить число \( \displaystyle x\) на \( \displaystyle p\%\).
\( \displaystyle p\%\) от числа \( \displaystyle x\) – это \( \displaystyle \frac{p}{100}\cdot x\).
Тогда, новое число будет равно: \( \displaystyle x+\frac{p}{100}\cdot x=x\left( 1+\frac{p}{100} \right)\).
Чтобы увеличить число на \( \displaystyle \mathbf{p}\%\), нужно умножить его на \( \displaystyle \left( 1+\frac{p}{100} \right)\).
Если число \( \displaystyle x\) надо уменьшить на \( \displaystyle p\%\), то:
\( \displaystyle p\%\) от \( \displaystyle x~=\frac{p}{100}\cdot x\)
Уменьшить число на какую-то величину – значит вычесть из него эту величину:
\( \displaystyle x-\frac{p}{100}\cdot x=x\left( 1-\frac{p}{100} \right)\).
Правило:
Чтобы уменьшить число на \( \displaystyle p\%\), нужно умножить его на \( \displaystyle \left( 1-\frac{p}{100} \right)\).
Как найти процент?
Принцип нахождения процента такой же, как и обычное нахождение дроби от числа. Чтобы найти процент от чего-либо, нужно это чего-либо разделить на 100 частей и полученное число умножить на нужный процент.
Например, найти 2% от 10 см.
Что означает запись 2% ? Запись 2% заменяет собой запись 
. Если перевести это задание на более понятый язык, то оно будет выглядеть следующим образом:
Найти 
от 10 см
А как решать подобные задания мы уже знаем. Это обычное нахождение дроби от числа. Чтобы найти дробь от числа, нужно это число разделить на знаменатель дроби, и полученный результат умножить на числитель дроби.
Итак, делим число 10 на знаменатель дроби 
Получили 0,1. Теперь 0,1 умножаем на числитель дроби 
0,1 × 2 = 0,2
Получили ответ 0,2. Значит 2% от 10 см составляет 0,2 см. А если перевести 0,2 сантиметра в миллиметры, то получим 2 миллиметра:
0,2 см = 2 мм
Значит 2% от 10 см составляют 2 мм.
Пример 2. Найти 50% от 300 рублей.
Чтобы найти 50% от 300 рублей, нужно эти 300 рублей разделить на 100, и полученный результат умножить на 50.
Итак, делим 300 рублей на 100
300 : 100 = 3
Теперь полученный результат умножаем на 50
3 × 50 = 150 руб.
Значит 50% от 300 рублей составляет 150 рублей.
Если на первых порах сложно привыкнуть к записи со значком %, можно заменять эту запись на обычную дробную запись.
Например, те же 50% можно заменить на запись 
. Тогда задание будет выглядеть так: Найти 
от 300 рублей, а решать такие задачи для нас пока проще
300 : 100 = 3
3 × 50 = 150
В принципе, ничего сложного здесь нет. Если возникают сложности, советуем остановиться и заново изучить дроби и как их можно применять.
Пример 3. Швейная фабрика выпустила 1200 костюмов. Из них 32% составляют костюмы нового фасона. Сколько костюмов нового фасона выпустила фабрика?
Здесь нужно найти 32% от 1200. Найденное число будет ответом к задаче. Воспользуемся правилом нахождения процента. Разделим 1200 на 100 и полученный результат умножим на искомый процент, т.е. на 32
1200 : 100 = 12
12 × 32 = 384
Ответ: 384 костюмов нового фасона выпустила фабрика.
Видео
Десятичные дроби и проценты
Бросается в глаза сходство процентов и сотых. И действительно, и там, и там мы говорим о сотой доле.
Таким образом, можно легко переводить десятичные дроби в проценты и наоборот.
На рисунке 1 показано, что закрашенная часть прямоугольника равна $\frac{1}{10}$ или $0.10$. Также этот участок составляет $10\%$ от целого.
Если нужно перевести проценты в дробь, нужно убрать значок процентов и разделить число на 100.
Давайте рассмотрим рисунок 2. Закрашено $25\%$ квадрата. Какая это доля?
Показать решение
Скрыть
Разделим $25$ на $100$. У нас получится $0.25. $ Можно проверить: $0.25$ – это $\frac{1}{4}$. По клеточкам видно, что это действительно так – $25\%$ составляют $\frac{1}{4}$ квадрата.
Если нужно перевести десятичную дробь в проценты, нужно умножить число на $100$ и добавить значок процентов.
Например, $0.2$ от числа – это $20\%$
Проценты и десятичные дроби
В разобранных выше примерах мы убедились, что вместо знака процента % можно писать \( \displaystyle \frac{1}{100}\), или просто разделить на \( \displaystyle 100\). То есть, \( \displaystyle 25\%\) – это то же самое, что \( \displaystyle \frac{25}{100}\); \( \displaystyle 247\%\) – это \( \displaystyle \frac{247}{100}\) и так далее. Но ведь любую из этих дробей можно записать компактнее: в виде десятичной дроби.
Например:
- \( \displaystyle 25\%=\frac{25}{100}=0,25\);
- \( \displaystyle 247\%=\frac{247}{100}=2,47\);
- \( \displaystyle 15,8\%=\frac{15,8}{100}=0,158\)
и так далее…
Значит, проценты можно записать в виде десятичной дроби.
Правило перевода такое: сколько бы ни было процентов, смещаем десятичную запятую на два знака влево и убираем значок % – и таким образом получаем обычное число. Данное правило будем теперь всегда применять сразу.
Например:
1. Чему равны \( \displaystyle 35\%\) от числа \( \displaystyle 60\)?
Вместо \( \displaystyle 35\%\) напишем что? \( \displaystyle 0,35\). Итак, \( \displaystyle 0,35\cdot 60=21\).
2. \( \displaystyle 48\%\) от какого числа равны \( \displaystyle 456\)?
\( \displaystyle 0,48x=456\text{ }\Rightarrow \text{ }x=\frac{456}{0,48}=950\).
Процентное отношение двух чисел
Чтобы узнать, сколько процентов первое число составляет от второго, надо первое число разделить на второе и результат умножить на 100.
Задача. Завод по годовому плану должен выпустить продукции на сумму 1 250 000 руб. За 1-ый квартал он выпустил её на сумму 450 000 руб. На сколько процентов выполнен заводом годовой план за 1-ый квартал?
Решение:
Ответ: За 1-ый квартал план выполнен на 36%.
Проценты: правила
Рассмотрим четыре известных способа поиска процентов.
| Занимайтесь математикой в удовольствие вместе с нашими преподавателями на онлайн-курсах по математике для детей и подростков! |
Нахождение одного процента от числа
Найти процент от числа можно несколькими способами.
Первый способ
Найдем, чему равен 1%.
Умножим полученное значение на количество искомых процентов.
Пример: найти 12% от числа 48.
48 : 100 = 0,48.
0,48 × 12 = 5,76.
Второй способ
Переведем проценты в десятичную дробь.
Умножим число на полученную десятичную дробь.
Давайте снова найдем 12% от 48, но другим способом.
12 : 100 = 0,12.
48 × 0,12 = 5,76.
Представьте, что вы пришли в магазин за шоколадом. Обычно он стоит 250 рублей, но сегодня скидка 15%. Если у вас есть дисконтная карта магазина, шоколад обойдется вам в 225 рублей. Чем будет выгоднее воспользоваться: скидкой или картой?
| Как решаем:
|
Ответ: выгоднее воспользоваться скидкой 15%.
Составление пропорции
Равенство двух отношений называют пропорцией.
a : b = c : d или a/b = c/d
- a, d — крайние члены
- b, c — средние члены
Читается: а относится к b так, как с относится к d. Также важно помнить, что произведение крайних членов равно произведению средних. Чтобы узнать неизвестное из этого равенства, нужно решить простейшее уравнение.
Рассмотрим пример. Насколько выгодно покупать спортивную футболку за 1390 рублей при условии, что в магазине в честь дня всех влюбленных действует скидка 14%?
| Как решаем: Найдем, сколько рублей составляет выгода, то есть скидка в 14%. Обозначим стоимость футболки за 100%, значит 1390 рублей = 100%. Тогда 14% это х рублей. Получаем пропорцию: 1390 руб. = 100% x руб. = 14% Перемножим крест-накрест и найдем x: x = 1390 × 14 : 100 x = 194,6 |
Ответ: выгода по скидке составила 194,6 рубля.
Соотношения чисел
Есть случаи, при которых можно использовать простые дроби. Например, 10% — это десятая часть целого. Чтобы найти 10% от числа a, нужно разделить его на 10. Собрали примеры соотношения чисел в таблице.
| Процент | Дробь | Как найти % от числа a |
|---|---|---|
| 10% | 1/10 | a : 10 |
| 20% | 1/5 | a : 5 |
| 25% | 1/4 | a : 4 |
| 50% | 1/2 | a : 2 |
| 75% | 3/4 | a : 4 × 3 |
Задача для тренировки. В черную пятницу вы нашли отличный пиджак со скидкой 25%. В обычный день он стоит 8500 рублей, но сейчас с собой есть только 6400 рублей. Хватит ли средств для покупки?
| Как решаем:
|
Ответ: средств хватит, так как пиджак стоит 6375 рублей.
Вычисление процентного соотношения
Процентное соотношение – это то, какой процент от целого составляет данное число.Чтобы найти процентное соотношение двух чисел, нужно одно число разделить на другое, а результат умножить на $100$.
В книге $120$ страниц. Образавр прочитал $60$ страниц. Сколько процентов книги он прочитал?
$120$ страниц – это вся книга, то есть $100\%$. Образавр прочитал $\frac{60}{120}$ книги. Нам нужно вычислить, сколько это. Разделим $60$ на $120$, получается $0.5$
Каждая сотая равна $1\%$ книги, значит, сколько сотых прочитал Образавр, столько и процентов. Умножаем $0.5$ на $100$, у нас получается $50\%.$
Проценты – очень интересная тема. Кроме того, она может пригодиться даже тем, кто редко сталкивается со сложными математическими вычислениями.