Объем многогранника формула с прямыми углами. Как найти объем многогранника

Предварительный просмотр:

  Тема. «Объёмы многогранников». Методическое пособие по решению задач для студентов 2 курса СПО. Дистанционная форма обучения. 1. Теоретический материал.                       Вид многогранника                    Формула объёма                           1. Призма                       V=S осн  H      2. Прямоугольный  параллелепипед     V=abc                                     3. Куб   V=a 3                                  4. Пирамида           V= S осн  H                         5.Усеченная  пирамида       V= h 2. Решение задач. Задача № 1 Найдите объем прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями, равными 25 и 60, и боковым ребром, равным 25.             Дано:                                                                                                                                            АВСДА 1 В 1 С 1 Д 1  — прямая четырехугольная призма  АС = 60; ВД = 25; АА 1  = 25  Найти: V призмы   Решение V призмы  = S осн  H;      Н=АА 1 АВСД — ромб, следовательно     S осн  = ; S осн  = ;  V призмы  = 750 25=18750 Ответ.  18750 Задача № 2 Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 8 и 15, боковое ребро равно 9. Найдите объем призмы. Дано: АВСА 1 В 1 С 1  — прямая треугольная призма.  АВС — прямоугольный; АС и ВС — катеты АС = 15; ВС = 8;  АА 1  = 9 Найти:   V призмы V призмы  = S осн  H;      Н=АА 1 АВС — прямоугольный треугольник, следовательно     S осн  = ; S осн  = ;  V призмы  = 60 9=540 Ответ.  540 Задача №  3. В основании наклонной треугольной призмы лежит треугольник со сторонами 14; 12 и 12. Боковое ребро равно 6 и наклонено к плоскость основания под углом 30 . Найти объём призмы. Дано: АВСА 1 В 1 С 1  — наклонная треугольная призма. АС = 12; ВС = 12;  АВ = 14;  СС 1  = 6; С 1 СО=30 . Найти:   V призмы V призмы  = S осн  H;       ОСС 1  — прямоугольный треугольник, так как С 1 О  плоскости  АВС;     С 1 СО = 30 ; С 1 О = С 1 С  sin 30 = 6 = 3 Н=ОС 1  = 3 S осн  =  ; р= ; р = ; S осн  = V призмы  = Ответ.  21 Задача №  4. Три ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 4, 6, 9. Найдите ребро равновеликого ему куба.  Дано: прямоугольный параллелепипед; а=4; в=6; с=9. V п.п  = V к Найти : d Решение: V п.п  =авс; V п.п  = 4 6 9=216; V к  = d 3 ;   d 3  = 216;  d = Ответ. 6 Задача №  5 От треугольной пирамиды, объем которой равен 34, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды. Дано: V SАВС  = 34;   SМN — сечение SАВС MN — средняя линия треугольника АВС Найти: V SMNC Решение: Так как MN — средняя линия треугольника АВС, то MN = АВ , поэтому АВС подобен MNC. Коэффициент подобия к=2, следовательно ;     2 2 ;     4;   Так как высоты пирамид  SАВС и  SMNC совпадают, то V SMNC  = V SАВС : 4= 34:4=8,5 Ответ. 8,5 Задача   № 6  Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 3 и 4. Ее объем равен 16. Найдите высоту этой пирамиды. Дано: SABCD — пирамида; ABCD — прямоугольник; АВ=3; ВС = 4; V SABCD  = 16 Найти: H Решение:  V= S осн  H;   V SABCD  =  S АВСD H; S АВСD  = АВ ВС; S АВСD  = 3 4=12; 16= ; 4Н=16;  Н=4 Ответ. 4         Задача №  7 Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 6 см, боковая грань наклонена к плоскости основания под углом 60°. Найти объем пирамиды. Дано: SABCD — правильная четырехугольная пирамида; АВ= 6 см ; SKO= 60° Найти: V SABCD Решение: V SABCD  = S осн  H; S осн  = AB 2 ;  S осн  = (6 ) 2  = 36 3=108(см 2 ) SKO — прямоугольный треугольник, так как SO — высота пирамиды;  SKO  — линейный угол двугранного угла при основании пирамиды SABCD, следовательно    SKO = 60 ;   ОК= АВ;   ОК= 6 =3 (см) ;    SO=OK tg60°=3 =9(cм); Н=SО = 9см; V SABCD  = 108  9=324(см 3 ) Ответ. 324 см 3 Задача №  8 Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 6см и 8см. Все боковые ребра равны 13 см. Найти объём пирамиды. Дано: SABCD — пирамида; ABCD — прямоугольник; АВ=6см; ВС = 8си; SA=SB=SC=SD=13cм. Найти: V SABCD Решение:   V SABCD  = S осн  H;   S АВСD  = АВ ВС; S АВСD  = 6 8=48(см 2 ) АВС — прямоугольный, по теореме Пифагора АС 2  = АВ 2 + ВС 2  ;  АС 2  = 6 2  + 8 2  =100; АС=10; AO=5см SO АВСD, поэтому SАO прямоугольный, по теореме Пифагора SO 2  = АS 2 — AO 2  ;  SO 2  = 13 2  — 5 2  =169-25=144; SO=12см Н=SO V SABCD  = 48  12=192(cм 3 ) Ответ. 192см 3 Задача №  9 Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 2см, а объем равен  см 3 . Дано: SABC-правильная треугольная пирамида; АВ=2см; V SABC  = см 3 Найти: Н Решение: V SABC  = S осн  H; АВС — правильный, поэтому S ABC  = AB AC sin60 ; S ABC  = 2 2 sin60 =2 (см 2 ); = Н;  Н= (см) Ответ. 3 Задача №  10 Стороны оснований правильной четырехугольной усеченной пирамиды равны 3см и 5см. Найдите объем пирамиды, если ее боковое ребро равно 2 см и   наклонено к плоскости основания под углом 60 градусов​ . Дано: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 -правильная усеченная четырехугольная пирамида; АВ=5см; A 1 B 1  = 3 см;  DD 1  = 2 см; D 1 F (ABCD);  D 1 DF=60 Найти: V Решение: V= h S 1  = ;         S 2  = ;     h = D 1 F =АВ 2 ;       = 5 2 = 25(см 2 ) =А 1 В 1 2 ;   = 3 2 = 9(см 2 ); D 1 DF — прямоугольный, поэтому  D 1 F= D 1 D sin60 ; D 1 F = 2 sin60 = 2 (см); V= (cм 3 ) Ответ. 49 см 3 Задания для самостоятельного решения 1.  Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1, а высота равна  . 2.  В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 6, боковое ребро равно 10. Найдите ее объем. 3.  Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 3 и 5. Объем призмы равен 30. Найдите ее боковое ребро. 4 .   Основанием прямой призмы является ромб со стороной 12см и углом 60º. Меньшее из диагональных сечений призмы является квадратом. Найти объем призмы. 5.  В кубе AD 1  через середину ребер АВ, DС и вершину D 1 проведено сечение. Найдите объем куба, если площадь этого сечения равна .

Понятие объема

У людей давно возникла необходимость подсчитывать или отмерять необходимое количество разных веществ.

При измерении жидких и сыпучих материалов это было сделать легко, поместив их в сосуд известного объема. Для определения вместимости любых пространственных форм в стереометрии было введено понятие объема. Величина, описывающая размер части пространства, которую занимает геометрическое тело, называется его объемом и обозначается латинской буквой V. Для величины объема верны две аксиомы:

Полный объем любого многогранника равен сумме объемов всех его простых частей. Это свойство используется при вычислении объемов составных пространственных фигур.

У равных тел и объемы равные, что доказывается принципом наложения, и при параллельном переносе их объем не изменяется.

На величину объема никак не влияет ни пространственное местонахождение тела, ни то, каким образом оно делится на части. Как физическая величина объем выражается через массу и плотность вещества.

Чтобы понять, какая из емкостей более вместительная, можно заполнить одну жидкостью, а потом перелить в другую и увидеть, сколько жидкости останется или не хватит. Но это очень неудобно, и при решении геометрических задач пользуются понятием единицы измерения объема. Она равна объему куба, длина ребра которого — это единица длины.

Исторически известны разные меры емкостей — бушель, галлон, ведро, бочка и т. п. , объем нефти и сейчас измеряется в баррелях. В СИ за единицу объема принят 1 кубический метр, равный количеству вещества, вмещаемого кубом с длиной грани 1 м. В стереометрии обычно используются кубические сантиметры.

Видео

Как найти объем многогранника – наклонного параллелепипеда

У наклонного параллелепипеда так же 6 граней, 2 их них – основания фигуры, еще 4 – боковые грани. Наклонный параллелепипед отличается от прямого тем, что его боковые грани по отношению к основанию расположены не под прямым углом. Объем такой фигуры рассчитывается как произведение между площадью основания и высотой:

где S – это площадь четырехугольника, лежащего в основании, h – высота искомой фигуры.

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Методическое пособие к решению задач по дисциплине «Техническая механика»

Методическое пособие к решению задач  предназначено для студентов строительных  специальностей всех форм обучения, как вспомогательное пособие при выполнении ими самостоятельных работ и для …

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ по решению контрольных заданий для обучающихся по заочной форме обучения по предмету «Элементы математической логики» Специальность: .. «Информационные системы»

Методические указания по решению контрольных заданий для обучающихся по заочной форме обучения по предмету «Элементы математической логики», специальность  09.02.04  «Информационные системы»…

Методические указания и контрольные задания для студентов очной и заочной формы обучения по курсу: Основы электротехники, Электротехника и электронная техника для специльностей .. Электрификация и автоматизация с/х и .. Механизация с/х

АннотацияМетодические указания по дисциплине «Основы электротехники», «Электротехника и электронная техника» содержат четыре основных раздела курса. В каждом разделе даны краткая теория и примеры реше…

Тема. «Объёмы тел вращения». Методическое пособие по решению задач для студентов курса СПО. Дистанционная форма обучения

В данной методической разработке приведены формулы и разобраны примеры решения традиционных задач на вычисление объёмов тел вращения. Эта разработка предназначена для студентов СПО, находящихся на дис…

Теги