Объем многогранника формула с прямыми углами. Как найти объем многогранника

Предварительный просмотр:

  Тема. «Объёмы многогранников». Методическое пособие по решению задач для студентов 2 курса СПО. Дистанционная форма обучения. 1. Теоретический материал.                       Вид многогранника                    Формула объёма                           1. Призма                       V=S осн  H      2. Прямоугольный  параллелепипед     V=abc                                     3. Куб   V=a 3                                  4. Пирамида           V= S осн  H                         5.Усеченная  пирамида       V= h 2. Решение задач. Задача № 1 Найдите объем прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями, равными 25 и 60, и боковым ребром, равным 25.             Дано:                                                                                                                                            АВСДА 1 В 1 С 1 Д 1  — прямая четырехугольная призма  АС = 60; ВД = 25; АА 1  = 25  Найти: V призмы   Решение V призмы  = S осн  H;      Н=АА 1 АВСД — ромб, следовательно     S осн  = ; S осн  = ;  V призмы  = 750 25=18750 Ответ.  18750 Задача № 2 Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 8 и 15, боковое ребро равно 9. Найдите объем призмы. Дано: АВСА 1 В 1 С 1  — прямая треугольная призма.  АВС — прямоугольный; АС и ВС — катеты АС = 15; ВС = 8;  АА 1  = 9 Найти:   V призмы V призмы  = S осн  H;      Н=АА 1 АВС — прямоугольный треугольник, следовательно     S осн  = ; S осн  = ;  V призмы  = 60 9=540 Ответ.  540 Задача №  3. В основании наклонной треугольной призмы лежит треугольник со сторонами 14; 12 и 12. Боковое ребро равно 6 и наклонено к плоскость основания под углом 30 . Найти объём призмы. Дано: АВСА 1 В 1 С 1  — наклонная треугольная призма. АС = 12; ВС = 12;  АВ = 14;  СС 1  = 6; С 1 СО=30 . Найти:   V призмы V призмы  = S осн  H;       ОСС 1  — прямоугольный треугольник, так как С 1 О  плоскости  АВС;     С 1 СО = 30 ; С 1 О = С 1 С  sin 30 = 6 = 3 Н=ОС 1  = 3 S осн  =  ; р= ; р = ; S осн  = V призмы  = Ответ.  21 Задача №  4. Три ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 4, 6, 9. Найдите ребро равновеликого ему куба.  Дано: прямоугольный параллелепипед; а=4; в=6; с=9. V п.п  = V к Найти : d Решение: V п.п  =авс; V п.п  = 4 6 9=216; V к  = d 3 ;   d 3  = 216;  d = Ответ. 6 Задача №  5 От треугольной пирамиды, объем которой равен 34, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды. Дано: V SАВС  = 34;   SМN — сечение SАВС MN — средняя линия треугольника АВС Найти: V SMNC Решение: Так как MN — средняя линия треугольника АВС, то MN = АВ , поэтому АВС подобен MNC. Коэффициент подобия к=2, следовательно ;     2 2 ;     4;   Так как высоты пирамид  SАВС и  SMNC совпадают, то V SMNC  = V SАВС : 4= 34:4=8,5 Ответ. 8,5 Задача   № 6  Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 3 и 4. Ее объем равен 16. Найдите высоту этой пирамиды. Дано: SABCD — пирамида; ABCD — прямоугольник; АВ=3; ВС = 4; V SABCD  = 16 Найти: H Решение:  V= S осн  H;   V SABCD  =  S АВСD H; S АВСD  = АВ ВС; S АВСD  = 3 4=12; 16= ; 4Н=16;  Н=4 Ответ. 4         Задача №  7 Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 6 см, боковая грань наклонена к плоскости основания под углом 60°. Найти объем пирамиды. Дано: SABCD — правильная четырехугольная пирамида; АВ= 6 см ; SKO= 60° Найти: V SABCD Решение: V SABCD  = S осн  H; S осн  = AB 2 ;  S осн  = (6 ) 2  = 36 3=108(см 2 ) SKO — прямоугольный треугольник, так как SO — высота пирамиды;  SKO  — линейный угол двугранного угла при основании пирамиды SABCD, следовательно    SKO = 60 ;   ОК= АВ;   ОК= 6 =3 (см) ;    SO=OK tg60°=3 =9(cм); Н=SО = 9см; V SABCD  = 108  9=324(см 3 ) Ответ. 324 см 3 Задача №  8 Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 6см и 8см. Все боковые ребра равны 13 см. Найти объём пирамиды. Дано: SABCD — пирамида; ABCD — прямоугольник; АВ=6см; ВС = 8си; SA=SB=SC=SD=13cм. Найти: V SABCD Решение:   V SABCD  = S осн  H;   S АВСD  = АВ ВС; S АВСD  = 6 8=48(см 2 ) АВС — прямоугольный, по теореме Пифагора АС 2  = АВ 2 + ВС 2  ;  АС 2  = 6 2  + 8 2  =100; АС=10; AO=5см SO АВСD, поэтому SАO прямоугольный, по теореме Пифагора SO 2  = АS 2 — AO 2  ;  SO 2  = 13 2  — 5 2  =169-25=144; SO=12см Н=SO V SABCD  = 48  12=192(cм 3 ) Ответ. 192см 3 Задача №  9 Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 2см, а объем равен  см 3 . Дано: SABC-правильная треугольная пирамида; АВ=2см; V SABC  = см 3 Найти: Н Решение: V SABC  = S осн  H; АВС — правильный, поэтому S ABC  = AB AC sin60 ; S ABC  = 2 2 sin60 =2 (см 2 ); = Н;  Н= (см) Ответ. 3 Задача №  10 Стороны оснований правильной четырехугольной усеченной пирамиды равны 3см и 5см. Найдите объем пирамиды, если ее боковое ребро равно 2 см и   наклонено к плоскости основания под углом 60 градусов​ . Дано: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 -правильная усеченная четырехугольная пирамида; АВ=5см; A 1 B 1  = 3 см;  DD 1  = 2 см; D 1 F (ABCD);  D 1 DF=60 Найти: V Решение: V= h S 1  = ;         S 2  = ;     h = D 1 F =АВ 2 ;       = 5 2 = 25(см 2 ) =А 1 В 1 2 ;   = 3 2 = 9(см 2 ); D 1 DF — прямоугольный, поэтому  D 1 F= D 1 D sin60 ; D 1 F = 2 sin60 = 2 (см); V= (cм 3 ) Ответ. 49 см 3 Задания для самостоятельного решения 1.  Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1, а высота равна  . 2.  В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 6, боковое ребро равно 10. Найдите ее объем. 3.  Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 3 и 5. Объем призмы равен 30. Найдите ее боковое ребро. 4 .   Основанием прямой призмы является ромб со стороной 12см и углом 60º. Меньшее из диагональных сечений призмы является квадратом. Найти объем призмы. 5.  В кубе AD 1  через середину ребер АВ, DС и вершину D 1 проведено сечение. Найдите объем куба, если площадь этого сечения равна .

Понятие объема

У людей давно возникла необходимость подсчитывать или отмерять необходимое количество разных веществ.

 При измерении жидких и сыпучих материалов это был

При измерении жидких и сыпучих материалов это было сделать легко, поместив их в сосуд известного объема. Для определения вместимости любых пространственных форм в стереометрии было введено понятие объема. Величина, описывающая размер части пространства, которую занимает геометрическое тело, называется его объемом и обозначается латинской буквой V. Для величины объема верны две аксиомы:

  • Полный объем любого многогранника равен сумме объемов всех его простых частей. Это свойство используется при вычислении объемов составных пространственных фигур.
  • У равных тел и объемы равные, что доказывается принципом наложения, и при параллельном переносе их объем не изменяется.
  • На величину объема никак не влияет ни пространственное местонахождение тела, ни то, каким образом оно делится на части. Как физическая величина объем выражается через массу и плотность вещества.

    Чтобы понять, какая из емкостей более вместительная, можно заполнить одну жидкостью, а потом перелить в другую и увидеть, сколько жидкости останется или не хватит. Но это очень неудобно, и при решении геометрических задач пользуются понятием единицы измерения объема. Она равна объему куба, длина ребра которого — это единица длины.

    Исторически известны разные меры емкостей — бушель, галлон, ведро, бочка и т. п. , объем нефти и сейчас измеряется в баррелях. В СИ за единицу объема принят 1 кубический метр, равный количеству вещества, вмещаемого кубом с длиной грани 1 м. В стереометрии обычно используются кубические сантиметры.

    Видео

    Как найти объем многогранника – наклонного параллелепипеда

    У наклонного параллелепипеда так же 6 граней, 2 их них – основания фигуры, еще 4 – боковые грани. Наклонный параллелепипед отличается от прямого тем, что его боковые грани по отношению к основанию расположены не под прямым углом. Объем такой фигуры рассчитывается как произведение между площадью основания и высотой:

    где S – это площадь четырехугольника, лежащего в огде S – это площадь четырехугольника, лежащего в о

    где S – это площадь четырехугольника, лежащего в основании, h – высота искомой фигуры.

    По теме: методические разработки, презентации и конспекты

    Методическое пособие  к решению задач по дисциплин
    Методическое пособие к решению задач по дисциплине «Техническая механика»

    Методическое пособие к решению задач  предназначено для студентов строительных  специальностей всех форм обучения, как вспомогательное пособие при выполнении ими самостоятельных работ и для …

    МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ по решению контрольных задан
    МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ по решению контрольных заданий для обучающихся по заочной форме обучения по предмету «Элементы математической логики» Специальность: .. «Информационные системы»

    Методические указания по решению контрольных заданий для обучающихся по заочной форме обучения по предмету «Элементы математической логики», специальность  09.02.04  «Информационные системы»…

    Методические указания и контрольные задания для ст
    Методические указания и контрольные задания для студентов очной и заочной формы обучения по курсу: Основы электротехники, Электротехника и электронная техника для специльностей .. Электрификация и автоматизация с/х и .. Механизация с/х

    АннотацияМетодические указания по дисциплине «Основы электротехники», «Электротехника и электронная техника» содержат четыре основных раздела курса. В каждом разделе даны краткая теория и примеры реше…

    Тема. «Объёмы тел вращения». Методическое пособие
    Тема. «Объёмы тел вращения». Методическое пособие по решению задач для студентов курса СПО. Дистанционная форма обучения

    В данной методической разработке приведены формулы и разобраны примеры решения традиционных задач на вычисление объёмов тел вращения. Эта разработка предназначена для студентов СПО, находящихся на дис…

    Теги

    Теги

    Популярные:

    Последние:

    Adblock
    detector