Содержание материала
Определение геометрической прогрессии
Определение. Последовательность, каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего умножением на одно и то же число

То есть геометрическая прогрессия определяется рекуррентным соотношением
Примеры геометрических прогрессий.
- Последовательность
— геометрическая прогрессия со знаменателем
- Последовательность
— геометрическая прогрессия со знаменателем
- Последовательность
— геометрическая прогрессия со знаменателем
Теорема 1. Пусть — геометрическая прогрессия со знаменателем
Тогда для всех натуральных
справедлива формула
Доказательство. Воспользуемся рекуррентным определением геометрической прогрессии:
Итак, для n-го члена геометрической прогрессии справедлива формула
Теорема 2. Квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего членов:
Доказательство. Из определения геометрической прогрессии
Следовательно,
откуда
Обратное утверждение тоже верно. Если для всех членов последовательности начиная со второго, выполняется равенство
то эта последовательность — геометрическая прогрессия.
Пример 1. Сумма первого и третьего членов геометрической прогрессии равна 10, а сумма второго и четвёртого членов — 30. Найдём первый член и знаменатель прогрессии.
Решение. По условию
Выразим члены геометрической прогрессии через и
:
Тогда система запишется в виде
Разделив второе уравнение системы на первое, получим Следовательно,
Видео
Бесконечная убывающая геометрическая прогрессия что из себя представляет
Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если модуль ее знаменателя меньше единицы \(|q| <1.\)
Сумма S всех членов бесконечной убывающей геометрической прогрессии вычисляется как соотношение между первым членом геометрической прогрессии к разности между единицей и знаменателем прогрессии:
\(S=\frac{b_1}{1-q}.\)
Доказательством этой формулы является то, что величина \(q^n\) по модулю становится все меньше и меньше и стремится к нулю, при этом величина n неограниченно возрастает.
Пример такой прогрессии:
1, \(\frac12,\) \(\frac14,\) \(\frac18\), \\(\frac1{16},…\)
Легенды и занимательные задачи на геометрическую прогрессию
Давай посмотрим как быстро Вася заразит весь класс гриппом.
Или узнаем сколько зерен будет если на каждое следующе поле шамотной доски класть в два раза больше зерен, чем на предыдущее (легенда о Сете). Какое помещение понадобиться и сколько времени нужно будет, чтобы посчитать зерна.
Или посчитаем сложные проценты, которые ты получишь, если положишь деньги в банк.
Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии
Легко заметить, что если знаменателем геом. прог-сии – это положительное число, которое больше единицы, то прог-сия является убывающей послед-тью. Такие последовательности называют бесконечно убывающими геометрическими прогрессиями.
В качестве примера приведем послед-ть, у которой z1 = 1, q = 1/2:
Каждый ее член может быть рассчитан по формуле
Очевидно, что чем больше n, тем меньше zn, причем значение zn как бы стремится к нулю. Например, на компьютере можно посчитать, что
То, что величина (1/2)n–1 при больших n стремится к нулю, в математике записывается так:
Запись «lim» означает «предел», а символ «∞» означает бесконечность. Выражение читается так: «предел (1/2)n–1 при n, стремящемся к бесконечности, равен нулю». Мы не будем давать строгое определение понятия «предел», так как эта задача выходит за рамки элементарной математики и относится уже к математике высшей. Грубо говоря, предел – это то число, к которому выражение приближается как угодно близко, но не может его достигнуть. Так при – 1 <q< 1 выражение qn стремится к нулю, если n стремится к бесконечности:
Отобразим сумму первых n членов послед-ти
с помощью координатной прямой. Пусть в точке с координатой 0 находится точка B. Отложим от нее вправо точку А1 так, чтобы ВА1 =z1 = 1. Далее от точки А1 также вправо будем откладывать точку А2, но длина отрезка А1А2 будет уже вдвое меньше, то есть она составит 1/2. Будем и далее откладывать точки А3, А4… до какой то точки Аn:
С одной стороны, длина каждого следующего отрезка будет равна члену геом. прог-сии:
C другой стороны, длина отрезков BA1, BA2, BA3… будет равна сумме нескольких первых членов геом. прог-сии:
Отметим, что при таком построении с увеличением n точка Аn всё ближе приближается к числу 2, однако так и не доходит до нее. Действительно, каждая следующая точка делит оставшееся расстояние надвое, поэтому она всегда остается левее точки 2, но приближается к ней. Получается, что сумма первых n членов прог-сии c ростом n приближается к двойке. В математике говорят, что число 2 является пределом послед-ти Sn. Запишем это:
На рисунке мы рассмотрели поведение послед-ти, у которой q = 1/2. Однако оказывается, что и любая другая бесконечная убывающая геометрическая прогрессия ведет себя похожим образом. Для каждой такой послед-ти существует предел суммы ее членов. Покажем, как его найти.
Запишем формулу суммы n членов геом. прог-сии в более удобном дробном виде:
Умножим и числитель, и знаменатель одновременно на (– 1), при этом можно будет поменять местами уменьшаемое и вычитаемое:
Далее выделим целую часть:
Проанализируем полученное выражение. Уменьшаемое z1/(1 – q) не содержит переменной n, а потому не зависит от этой переменной. А вот вычитаемое содержит множитель qn. Можно доказать, что если выполняется условие–1 <q< 1, то с ростом n этот множитель стремится к нулю:
Значит, и всё вычитаемое также стремится к нулю:
Получается, что при, бесконечно большом значении n сумма S∞ может быть вычислена так:
Итак, удалось получить формулу S∞ = z1/(1 – q). Ещё раз отметим, что по-настоящему строгое доказательство требует использование понятие предела из высшей математики, а потому не рассматривается здесь.
Зачем вообще находить сумму бесконечной геометрической прогрессии? Оказывается, что такая задача встает при изучении ряда других разделов математики, а также при расчете вероятностей некоторых событий.
Пример. Найдите сумму S∞ для прог-сии, у которой z1 = 0,1, q = 0,1.
Решение. Запишем первые несколько членов прог-сии:
Теперь будем записывать суммы Sn этой прог-сии:
Очевидно, что при бесконечном n получается бесконечная периодическая дробь:
Подробнее о бесконечных периодических дробях можно узнать из этого урока.
Теперь найдем сумму S∞, используя формулу S∞ = z1/(1 – q):
Получили дробь 1/9. Получается, что обыкновенная дробь 1/9 и бесконечная периодическая дробь 0,(1) – это одно и то же число! И действительно, если на калькуляторе поделить 1 на 9, то он покажет 0,111111111…:
Пример. Какая дробь при разложении ее в бесконечную десятичную дробь дает число 0,010101010101 = 0,(01)?
Решение: По аналогии с предыдущей задачей можно записать:
0,(01) = 0,01010101… = 0,01 + 0,0001 + 0,000001 + 0,00000001…
Получили слева сумму бесконечной прог-сии
в которой z1 = 0,01, а знаменатель q = 0,01. Ее сумма может быть рассчитана по формуле:
Получили дробь 1/99. То есть
Проверим себя с помощью калькулятора:
Пример. В квадрат со стороной 1 вписали другой квадрат, причем его вершины располагаются на серединах описанного квадрата. По тому же принципу в полученный квадрат вписали следующий квадрат, в него ещё один и т. д. Чему равна общая площадь всех полученных квадратов и каков их общий периметр?
Решение. Сторона первого квадрата равна 1. Найдем сторону вписанного треугольника:
Изучим треугольник АВС. В нем АВ = ВС = 1/2 (ведь они составляют половину от сторон DB и BF, который по условию равны 1). Угол АВС – прямой, а потому можно воспользоваться теоремой Пифагора:
Получили, что сторона вписанного квадрата в √2 раз меньше, чем сторона исходного квадрата. Аналогично можно показать, что и у следующего квадрата сторона будет ещё в √2 раз меньше и т. д. Соответственно и периметры квадратов будут уменьшаться в √2 раз, при этом периметр первого квадрата равен 4•1 = 4.
Получаем, что периметры квадратов образуют убывающую геом. прог-сию, в которой
Найдем сумму S∞ для этой прог-сии:
Итак, общий периметр найден. Теперь найдем сумму площадей. Площадь исходного квадрата равна 1•1 = 1. Площадь вписанного квадрата составляет:
Получили, что площадь вписанного квадрата вдвое меньше площади исходного. Тогда площади квадратов образуют геом. прог-сию, в которой
Найдем и для этой прог-сии сумму:
Итак, суммарная площадь всех квадратов равна двум.
Наконец, рассмотрим задачу, имеющую практическое содержание.
Пример. Два спортсмена, Вася и Петя, играют в настольный теннис. Счет в их партии равен 10:10, и поэтому у них действует правило «баланса». Согласно нему, игроки при равном счете должны разыграть два очка, причем в первом розыгрыше подавать будет Вася, а во втором – Петя. Если одному игроку удастся выиграть оба очка, то он выиграет всю партию. Если каждый из игроков выиграет по одному розыгрышу, то счет в их партии становится равным, и тогда им снова надо разыгрывать ещё два очка. Проще говоря, партия не закончится, пока разница в счете не составит два очка.
Известно, что при подаче Васи вероятность его победы в розыгрыше составляет 0,7. При подаче Пети шансы подающего на выигрыш очка равны 0,6. Каковы шансы Васи и Пети на победу в партии?
Решение. По условию начальный счет равен 10:10. Будем считать, что первое число в счете – это очки Васи,а второе – очки Пети. Игра закончится победой одного из игроков, когда его преимущество в счете достигнет 2 очков. Тогда возможные варианты развития событий можно изобразить с помощью схемы:
Обратим внимание, что в игре возможно бесконечное количество вариантов развития событий. Так, окончательный счет может быть равен даже 102:100 или 100002:100000 (хотя это и крайне маловероятно). Пусть вероятность, что игра закончится, например, со счетом 15:13, будет обозначаться как Р15:13. Тогда, чтобы найти вероятность победы Васи, надо сложить бесконечное число вероятностей:
Первую подачу при счете «ровно» Вася выиграет с вероятностью 0,7, поэтому шансы Пети забрать 1-ое очко себе равны 1 – 0,7 = 0,3.
На второй подаче Петя выиграет с вероятностью 0,6, а шансы Васи составят 1 – 0,6 = 0,4.
Тогда вероятность, что Вася выиграет оба очка, составит
Для Пети вероятность забрать себе оба очка равна
Есть и третий вариант развития событий – после двух розыгрышей счет останется равным (каждый выиграет один мяч), и снова возникает «баланс». Вероятность такого исхода равна
Следовательно, можно записать:
Счета 13:11, 12:12 и 11:13 могут наступить только в том случае, если сначала был достигнут счет 11:11. «Переход» из счета 11:11 к счету 13:11 произойдет, если Вася выиграет два очка подряд, а вероятность такого исхода мы уже считали: Рв = 0,7•0,4 = 0,28. Поэтому можно записать
Аналогично для счетов 12:12 и 11:13 запишем:
Следующие три счета, 14:12, 13:13 и 12:14, возможны только после счета 12:12. Их вероятности записываются так:
По аналогии для счетов 15:13, 14:14 и 13:15 можно записать:
Такие записи можно продолжать бесконечно. Однако легко увидеть, что вероятности счетов, победных для Васи, образуют геом. прог-сию:
Её первый член равен 0,28, а знаменатель составляет 0,54. Тогда сумма всех этих вероятностей, а значит и общая вероятность победы Васи, составит
Аналогично и счета, выигрышные для Пети, образуют геом. прог-сию:
Здесь z1 = 0,18; q = 0,54. Найдем сумму геометрической прогрессии:
Проверим себя. Ясно, что партию выиграет либо Вася, либо Петя. То есть сумма вероятностей их побед должна равняться единице. И действительно:
Значит, наши расчеты верны.
Ответ: Вася выиграет с вероятностью 14/23, а шансы Пети равны 9/23.