Найти сумму геометрической прогрессии 2 , 1/2 , 1/8 , 1/32

Определение геометрической прогрессии

Определение. Последовательность, каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего умножением на одно и то же число геометрической прогрессией, называется геометрической прогрессией. Число знаменателем называется знаменателем прогрессии.

То есть геометрическая прогрессия определяется рекуррентным соотношением



Примеры геометрических прогрессий.  Последовател

Примеры геометрических прогрессий.

  1. Последовательность Последовательность  — геометрическая прогрес — геометрическая прогрессия со знаменателем Последовательность  — геометрическая прогрес
  2. Последовательность Последовательность  — геометрическая прогрес — геометрическая прогрессия со знаменателем Последовательность  — геометрическая прогрес
  3. Последовательность — геометрическая прогрессия со знаменателем

Теорема 1. Пусть — геометрическая прогрессия со знаменателем Тогда для всех натуральных справедлива формула

Доказательство. Воспользуемся рекуррентным определ

Доказательство. Воспользуемся рекуррентным определением геометрической прогрессии:

Итак, для n-го члена геометрической прогрессии справедлива формула

Теорема 2. Квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего членов:

Доказательство. Из определения геометрической прог

Доказательство. Из определения геометрической прогрессии

Следовательно,

Следовательно,

откуда

откуда

Обратное утверждение тоже верно. Если для всех чле

Обратное утверждение тоже верно. Если для всех членов последовательности начиная со второго, выполняется равенство то эта последовательность — геометрическая прогрессия.

Пример 1. Сумма первого и третьего членов геометрической прогрессии равна 10, а сумма второго и четвёртого членов — 30. Найдём первый член и знаменатель прогрессии.

Решение. По условию

Выразим члены геометрической прогрессии через  и :

Выразим члены геометрической прогрессии через и : Тогда система запишется в виде

Разделив второе уравнение системы на первое, получ

Разделив второе уравнение системы на первое, получим Следовательно,

Видео

Бесконечная убывающая геометрическая прогрессия что из себя представляет

Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если модуль ее знаменателя меньше единицы \(|q| <1.\)

Сумма S всех членов бесконечной убывающей геометрической прогрессии вычисляется как соотношение между первым членом геометрической прогрессии к разности между единицей и знаменателем прогрессии:

\(S=\frac{b_1}{1-q}.\)

Доказательством этой формулы является то, что величина \(q^n\) по модулю становится все меньше и меньше и стремится к нулю, при этом величина n неограниченно возрастает.

Пример такой прогрессии:

1, \(\frac12,\) \(\frac14,\) \(\frac18\), \\(\frac1{16},…\)

Легенды и занимательные задачи на геометрическую прогрессию

Давай посмотрим как быстро Вася заразит весь класс гриппом.

Или узнаем сколько зерен будет если на каждое следующе поле шамотной доски класть в два раза больше зерен, чем на предыдущее (легенда о Сете). Какое помещение понадобиться и сколько времени нужно будет, чтобы посчитать зерна.

Или посчитаем сложные проценты, которые ты получишь, если положишь деньги в банк.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Легко заметить, что если знаменателем геом. прог-сии – это положительное число, которое больше единицы, то прог-сия является убывающей послед-тью. Такие последовательности называют бесконечно убывающими геометрическими прогрессиями.

В качестве примера приведем послед-ть, у которой z1 = 1, q = 1/2:

Каждый ее член может быть рассчитан по формуле

Каждый ее член может быть рассчитан по формуле

Очевидно, что чем больше n, тем меньше zn, причем

Очевидно, что чем больше n, тем меньше zn, причем значение zкак бы стремится к нулю. Например, на компьютере можно посчитать, что

То, что величина (1/2)n–1 при больших n стремится

То, что величина (1/2)n–1 при больших n стремится к нулю, в математике записывается так:

Запись «lim» означает «предел», а символ «∞» означ

Запись «lim» означает «предел», а символ «∞» означает бесконечность. Выражение читается так: «предел (1/2)n–1 при n, стремящемся к бесконечности, равен нулю». Мы не будем давать строгое определение понятия «предел», так как эта задача выходит за рамки элементарной математики и относится уже к математике высшей. Грубо говоря, предел – это то число, к которому выражение приближается как угодно близко, но не может его достигнуть. Так при – 1 <q< 1 выражение qстремится к нулю, если n стремится к бесконечности:

Отобразим сумму первых n членов послед-ти

Отобразим сумму первых n членов послед-ти

с помощью координатной прямой. Пусть в точке с коо

с помощью координатной прямой. Пусть в точке с координатой 0 находится точка B. Отложим от нее вправо точку А1 так, чтобы ВА1 =z1 = 1. Далее от точки А1 также вправо будем откладывать точку А2, но длина отрезка А1А2 будет уже вдвое меньше, то есть она составит 1/2. Будем и далее откладывать точки А3, А4… до какой то точки Аn:

С одной стороны, длина каждого следующего отрезка

С одной стороны, длина каждого следующего отрезка будет равна члену геом. прог-сии:

C другой стороны, длина отрезков BA1, BA2, BA3… бу

C другой стороны, длина отрезков BA1, BA2, BA3… будет равна сумме нескольких первых членов геом. прог-сии:

Отметим, что при таком построении с увеличением n

Отметим, что при таком построении с увеличением n точка Аn всё ближе приближается к числу 2, однако так и не доходит до нее. Действительно, каждая следующая точка делит оставшееся расстояние надвое, поэтому она всегда остается левее точки 2, но приближается к ней. Получается, что сумма первых n членов прог-сии c ростом n приближается к двойке. В математике говорят, что число 2 является пределом послед-ти Sn. Запишем это:

На рисунке мы рассмотрели поведение послед-ти, у к

На рисунке мы рассмотрели поведение послед-ти, у которой q = 1/2. Однако оказывается, что и любая другая бесконечная убывающая геометрическая прогрессия ведет себя похожим образом. Для каждой такой послед-ти существует предел суммы ее членов. Покажем, как его найти.

Запишем формулу суммы n членов геом. прог-сии в более удобном дробном виде:

Умножим и числитель, и знаменатель одновременно на

Умножим и числитель, и знаменатель одновременно на (– 1), при этом можно будет поменять местами уменьшаемое и вычитаемое:

Далее выделим целую часть:

Далее выделим целую часть:

Проанализируем полученное выражение. Уменьшаемое z

Проанализируем полученное выражение. Уменьшаемое z1/(1 – q) не содержит переменной n, а потому не зависит от этой переменной. А вот вычитаемое содержит множитель qn. Можно доказать, что если выполняется условие–1 <q< 1, то с ростом n этот множитель стремится к нулю:

Значит, и всё вычитаемое также стремится к нулю:

Значит, и всё вычитаемое также стремится к нулю:

Получается, что при, бесконечно большом значении n

Получается, что при, бесконечно большом значении n сумма Sможет быть вычислена так:

Итак, удалось получить формулу S∞ = z1/(1 – q). Ещ

Итак, удалось получить формулу S = z1/(1 – q). Ещё раз отметим, что по-настоящему строгое доказательство требует использование понятие предела из высшей математики, а потому не рассматривается здесь.

Зачем вообще находить сумму бесконечной геометриче

Зачем вообще находить сумму бесконечной геометрической прогрессии? Оказывается, что такая задача встает при изучении ряда других разделов математики, а также при расчете вероятностей некоторых событий.

Пример. Найдите сумму S для прог-сии, у которой z1 = 0,1, q = 0,1.

Решение. Запишем первые несколько членов прог-сии:

Теперь будем записывать суммы Sn этой прог-сии:

Теперь будем записывать суммы Sn этой прог-сии:

Очевидно, что при бесконечном n получается бесконе

Очевидно, что при бесконечном n получается бесконечная периодическая дробь:

Подробнее о бесконечных периодических дробях можно

Подробнее о бесконечных периодических дробях можно узнать из этого урока.

Теперь найдем сумму S, используя формулу S = z1/(1 – q):

Получили дробь 1/9. Получается, что обыкновенная д

Получили дробь 1/9. Получается, что обыкновенная дробь 1/9 и бесконечная периодическая дробь 0,(1) – это одно и то же число! И действительно, если на калькуляторе поделить 1 на 9, то он покажет 0,111111111…:

Пример. Какая дробь при разложении ее в бесконечну

Пример. Какая дробь при разложении ее в бесконечную десятичную дробь дает число 0,010101010101 = 0,(01)?

Решение: По аналогии с предыдущей задачей можно записать:

0,(01) = 0,01010101… = 0,01 + 0,0001 + 0,000001 + 0,00000001…

Получили слева сумму бесконечной прог-сии

в которой z1 = 0,01, а знаменатель q = 0,01. Ее су

в которой z1 = 0,01, а знаменатель q = 0,01. Ее сумма может быть рассчитана по формуле:

Получили дробь 1/99. То есть

Получили дробь 1/99. То есть

Проверим себя с помощью калькулятора:

Проверим себя с помощью калькулятора:

Пример. В квадрат со стороной 1 вписали другой ква

Пример. В квадрат со стороной 1 вписали другой квадрат, причем его вершины располагаются на серединах описанного квадрата. По тому же принципу в полученный квадрат вписали следующий квадрат, в него ещё один и т. д. Чему равна общая площадь всех полученных квадратов и каков их общий периметр?

Решение. Сторона первого квадрата равна 1. Найдем

Решение. Сторона первого квадрата равна 1. Найдем сторону вписанного треугольника:

Изучим треугольник АВС. В нем АВ = ВС = 1/2 (ведь

Изучим треугольник АВС. В нем АВ = ВС = 1/2 (ведь они составляют половину от сторон DB и BF, который по условию равны 1). Угол АВС – прямой, а потому можно воспользоваться теоремой Пифагора:

Получили, что сторона вписанного квадрата в √2 раз

Получили, что сторона вписанного квадрата в √2 раз меньше, чем сторона исходного квадрата. Аналогично можно показать, что и у следующего квадрата сторона будет ещё в √2 раз меньше и т. д. Соответственно и периметры квадратов будут уменьшаться в √2 раз, при этом периметр первого квадрата равен 4•1 = 4.

Получаем, что периметры квадратов образуют убывающую геом. прог-сию, в которой

Найдем сумму S∞ для этой прог-сии:

Найдем сумму Sдля этой прог-сии:

Итак, общий периметр найден. Теперь найдем сумму п

Итак, общий периметр найден. Теперь найдем сумму площадей. Площадь исходного квадрата равна 1•1 = 1. Площадь вписанного квадрата составляет:

Получили, что площадь вписанного квадрата вдвое ме

Получили, что площадь вписанного квадрата вдвое меньше площади исходного. Тогда площади квадратов образуют геом. прог-сию, в которой

Найдем и для этой прог-сии сумму:

Найдем и для этой прог-сии сумму:

Итак, суммарная площадь всех квадратов равна двум.

Итак, суммарная площадь всех квадратов равна двум.

Наконец, рассмотрим задачу, имеющую практическое с

Наконец, рассмотрим задачу, имеющую практическое содержание.

Пример. Два спортсмена, Вася и Петя, играют в настольный теннис. Счет в их партии равен 10:10, и поэтому у них действует правило «баланса». Согласно нему, игроки при равном счете должны разыграть два очка, причем в первом розыгрыше подавать будет Вася, а во втором – Петя. Если одному игроку удастся выиграть оба очка, то он выиграет всю партию. Если каждый из игроков выиграет по одному розыгрышу, то счет в их партии становится равным, и тогда им снова надо разыгрывать ещё два очка. Проще говоря, партия не закончится, пока разница в счете не составит два очка.

Известно, что при подаче Васи вероятность его победы в розыгрыше составляет 0,7. При подаче Пети шансы подающего на выигрыш очка равны 0,6. Каковы шансы Васи и Пети на победу в партии?

Решение. По условию начальный счет равен 10:10. Будем считать, что первое число в счете – это очки Васи,а второе – очки Пети. Игра закончится победой одного из игроков, когда его преимущество в счете достигнет 2 очков. Тогда возможные варианты развития событий можно изобразить с помощью схемы:

Обратим внимание, что в игре возможно бесконечное

Обратим внимание, что в игре возможно бесконечное количество вариантов развития событий. Так, окончательный счет может быть равен даже 102:100 или 100002:100000 (хотя это и крайне маловероятно). Пусть вероятность, что игра закончится, например, со счетом 15:13, будет обозначаться как Р15:13. Тогда, чтобы найти вероятность победы Васи, надо сложить бесконечное число вероятностей:

Первую подачу при счете «ровно» Вася выиграет с ве

Первую подачу при счете «ровно» Вася выиграет с вероятностью 0,7, поэтому шансы Пети забрать 1-ое очко себе равны 1 – 0,7 = 0,3.

На второй подаче Петя выиграет с вероятностью 0,6, а шансы Васи составят 1 – 0,6 = 0,4.

Тогда вероятность, что Вася выиграет оба очка, составит

Для Пети вероятность забрать себе оба очка равна

Для Пети вероятность забрать себе оба очка равна

Есть и третий вариант развития событий – после дву

Есть и третий вариант развития событий – после двух розыгрышей счет останется равным (каждый выиграет один мяч), и снова возникает «баланс». Вероятность такого исхода равна

Следовательно, можно записать:

Следовательно, можно записать:

Счета 13:11, 12:12 и 11:13 могут наступить только

Счета 13:11, 12:12 и 11:13 могут наступить только в том случае, если сначала был достигнут счет 11:11. «Переход» из счета 11:11 к счету 13:11 произойдет, если Вася выиграет два очка подряд, а вероятность такого исхода мы уже считали: Рв = 0,7•0,4 = 0,28. Поэтому можно записать

Аналогично для счетов 12:12 и 11:13 запишем:

Аналогично для счетов 12:12 и 11:13 запишем:

Следующие три счета, 14:12, 13:13 и 12:14, возможн

Следующие три счета, 14:12, 13:13 и 12:14, возможны только после счета 12:12. Их вероятности записываются так:

По аналогии для счетов 15:13, 14:14 и 13:15 можно

По аналогии для счетов 15:13, 14:14 и 13:15 можно записать:

Такие записи можно продолжать бесконечно. Однако л

Такие записи можно продолжать бесконечно. Однако легко увидеть, что вероятности счетов, победных для Васи, образуют геом. прог-сию:

Её первый член равен 0,28, а знаменатель составляе

Её первый член равен 0,28, а знаменатель составляет 0,54. Тогда сумма всех этих вероятностей, а значит и общая вероятность победы Васи, составит

Аналогично и счета, выигрышные для Пети, образуют

Аналогично и счета, выигрышные для Пети, образуют геом. прог-сию:

Здесь z1 = 0,18; q = 0,54. Найдем сумму геометриче

Здесь z1 = 0,18; q = 0,54. Найдем сумму геометрической прогрессии:

Проверим себя. Ясно, что партию выиграет либо Вася

Проверим себя. Ясно, что партию выиграет либо Вася, либо Петя. То есть сумма вероятностей их побед должна равняться единице. И действительно:

Значит, наши расчеты верны.

Значит, наши расчеты верны.

Ответ: Вася выиграет с вероятностью 14/23, а шансы Пети равны 9/23.

Теги

Популярные:

Последние:

Adblock
detector
ang probinsyano april 28 2021 teleseryena.com probinsyano latest episode indian saree nude indianclips4u.com karnataka fucking xnxx assam orgyvideos.info www xxnx indian com blu filam makato.mobi kanada xnxx com force xvideo.com alohaporn.net fmovies .in yagate kimi ni naru hentai hentaimangaz.com energy kyouka!! 2 teachers and students sex videos pornorgy.org shraddha srinath nude رسوم سكس 3gpjizz.info بزاز اختى فلمجنس sexpornosikisx.com سكس طلاب مدارس school girl hardcore hindihdporn.com desi cock sucking sex picture indian pornorado.mobi school life sex stories dvdvilla hollywood pornspider.info self porn 添いカノ~ぎゅっと抱きしめて sakurajav.mobi 長月ラム www.animalsexfun.com porntubemania.net porn telugu sex videos kalighat randi indianpornxvideos.net xxx video india