Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии 24; -12; 6

Содержание материала

Определение геометрической прогрессии
Видео
Бесконечная убывающая геометрическая прогрессия что из себя представляет
Легенды и занимательные задачи на геометрическую прогрессию
Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Определение геометрической прогрессии

Определение. Последовательность, каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего умножением на одно и то же число

, называется геометрической прогрессией. Число

называется знаменателем прогрессии.

То есть геометрическая прогрессия определяется рекуррентным соотношением

Примеры геометрических прогрессий.

Последовательность — геометрическая прогрессия со знаменателем
Последовательность — геометрическая прогрессия со знаменателем
Последовательность — геометрическая прогрессия со знаменателем

Теорема 1. Пусть — геометрическая прогрессия со знаменателем Тогда для всех натуральных справедлива формула

Доказательство. Воспользуемся рекуррентным определением геометрической прогрессии:

Итак, для n-го члена геометрической прогрессии справедлива формула

Теорема 2. Квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего членов:

Доказательство. Из определения геометрической прогрессии

Следовательно,

откуда

Обратное утверждение тоже верно. Если для всех членов последовательности начиная со второго, выполняется равенство то эта последовательность — геометрическая прогрессия.

Пример 1. Сумма первого и третьего членов геометрической прогрессии равна 10, а сумма второго и четвёртого членов — 30. Найдём первый член и знаменатель прогрессии.

Решение. По условию

Выразим члены геометрической прогрессии через и : Тогда система запишется в виде

Разделив второе уравнение системы на первое, получим Следовательно,

Видео

Бесконечная убывающая геометрическая прогрессия что из себя представляет

Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если модуль ее знаменателя меньше единицы \(|q| <1.\)

Сумма S всех членов бесконечной убывающей геометрической прогрессии вычисляется как соотношение между первым членом геометрической прогрессии к разности между единицей и знаменателем прогрессии:

\(S=\frac{b_1}{1-q}.\)

Доказательством этой формулы является то, что величина \(q^n\) по модулю становится все меньше и меньше и стремится к нулю, при этом величина n неограниченно возрастает.

Пример такой прогрессии:

1, \(\frac12,\) \(\frac14,\) \(\frac18\), \\(\frac1{16},…\)

Легенды и занимательные задачи на геометрическую прогрессию

Давай посмотрим как быстро Вася заразит весь класс гриппом.

Или узнаем сколько зерен будет если на каждое следующе поле шамотной доски класть в два раза больше зерен, чем на предыдущее (легенда о Сете). Какое помещение понадобиться и сколько времени нужно будет, чтобы посчитать зерна.

Или посчитаем сложные проценты, которые ты получишь, если положишь деньги в банк.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Легко заметить, что если знаменателем геом. прог-сии – это положительное число, которое больше единицы, то прог-сия является убывающей послед-тью. Такие последовательности называют бесконечно убывающими геометрическими прогрессиями.

В качестве примера приведем послед-ть, у которой z₁ = 1, q = 1/2:

Каждый ее член может быть рассчитан по формуле

Очевидно, что чем больше n, тем меньше z_n, причем значение z_nкак бы стремится к нулю. Например, на компьютере можно посчитать, что

То, что величина (1/2)^n–1 при больших n стремится к нулю, в математике записывается так:

Запись «lim» означает «предел», а символ «∞» означает бесконечность. Выражение читается так: «предел (1/2)^n–1 при n, стремящемся к бесконечности, равен нулю». Мы не будем давать строгое определение понятия «предел», так как эта задача выходит за рамки элементарной математики и относится уже к математике высшей. Грубо говоря, предел – это то число, к которому выражение приближается как угодно близко, но не может его достигнуть. Так при – 1 <q< 1 выражение qⁿстремится к нулю, если n стремится к бесконечности:

Отобразим сумму первых n членов послед-ти

с помощью координатной прямой. Пусть в точке с координатой 0 находится точка B. Отложим от нее вправо точку А₁ так, чтобы ВА₁ =z₁ = 1. Далее от точки А₁ также вправо будем откладывать точку А₂, но длина отрезка А₁А₂ будет уже вдвое меньше, то есть она составит 1/2. Будем и далее откладывать точки А₃, А₄… до какой то точки А_n:

С одной стороны, длина каждого следующего отрезка будет равна члену геом. прог-сии:

C другой стороны, длина отрезков BA₁, BA₂, BA₃… будет равна сумме нескольких первых членов геом. прог-сии:

Отметим, что при таком построении с увеличением n точка А_nвсё ближе приближается к числу 2, однако так и не доходит до нее. Действительно, каждая следующая точка делит оставшееся расстояние надвое, поэтому она всегда остается левее точки 2, но приближается к ней. Получается, что сумма первых n членов прог-сии c ростом n приближается к двойке. В математике говорят, что число 2 является пределом послед-ти S_n. Запишем это:

На рисунке мы рассмотрели поведение послед-ти, у которой q = 1/2. Однако оказывается, что и любая другая бесконечная убывающая геометрическая прогрессия ведет себя похожим образом. Для каждой такой послед-ти существует предел суммы ее членов. Покажем, как его найти.

Запишем формулу суммы n членов геом. прог-сии в более удобном дробном виде:

Умножим и числитель, и знаменатель одновременно на (– 1), при этом можно будет поменять местами уменьшаемое и вычитаемое:

Далее выделим целую часть:

Проанализируем полученное выражение. Уменьшаемое z₁/(1 – q) не содержит переменной n, а потому не зависит от этой переменной. А вот вычитаемое содержит множитель qⁿ. Можно доказать, что если выполняется условие–1 <q< 1, то с ростом n этот множитель стремится к нулю:

Значит, и всё вычитаемое также стремится к нулю:

Получается, что при, бесконечно большом значении n сумма S_∞может быть вычислена так:

Итак, удалось получить формулу S_∞ = z₁/(1 – q). Ещё раз отметим, что по-настоящему строгое доказательство требует использование понятие предела из высшей математики, а потому не рассматривается здесь.

Зачем вообще находить сумму бесконечной геометрической прогрессии? Оказывается, что такая задача встает при изучении ряда других разделов математики, а также при расчете вероятностей некоторых событий.

Пример. Найдите сумму S_∞ для прог-сии, у которой z₁ = 0,1, q = 0,1.

Решение. Запишем первые несколько членов прог-сии:

Теперь будем записывать суммы S_n этой прог-сии:

Очевидно, что при бесконечном n получается бесконечная периодическая дробь:

Подробнее о бесконечных периодических дробях можно узнать из этого урока.

Теперь найдем сумму S_∞, используя формулу S_∞ = z₁/(1 – q):

Получили дробь 1/9. Получается, что обыкновенная дробь 1/9 и бесконечная периодическая дробь 0,(1) – это одно и то же число! И действительно, если на калькуляторе поделить 1 на 9, то он покажет 0,111111111…:

Пример. Какая дробь при разложении ее в бесконечную десятичную дробь дает число 0,010101010101 = 0,(01)?

Решение: По аналогии с предыдущей задачей можно записать:

0,(01) = 0,01010101… = 0,01 + 0,0001 + 0,000001 + 0,00000001…

Получили слева сумму бесконечной прог-сии

в которой z₁ = 0,01, а знаменатель q = 0,01. Ее сумма может быть рассчитана по формуле:

Получили дробь 1/99. То есть

Проверим себя с помощью калькулятора:

Пример. В квадрат со стороной 1 вписали другой квадрат, причем его вершины располагаются на серединах описанного квадрата. По тому же принципу в полученный квадрат вписали следующий квадрат, в него ещё один и т. д. Чему равна общая площадь всех полученных квадратов и каков их общий периметр?

Решение. Сторона первого квадрата равна 1. Найдем сторону вписанного треугольника:

Изучим треугольник АВС. В нем АВ = ВС = 1/2 (ведь они составляют половину от сторон DB и BF, который по условию равны 1). Угол АВС – прямой, а потому можно воспользоваться теоремой Пифагора:

Получили, что сторона вписанного квадрата в √2 раз меньше, чем сторона исходного квадрата. Аналогично можно показать, что и у следующего квадрата сторона будет ещё в √2 раз меньше и т. д. Соответственно и периметры квадратов будут уменьшаться в √2 раз, при этом периметр первого квадрата равен 4•1 = 4.

Получаем, что периметры квадратов образуют убывающую геом. прог-сию, в которой

Найдем сумму S_∞для этой прог-сии:

Итак, общий периметр найден. Теперь найдем сумму площадей. Площадь исходного квадрата равна 1•1 = 1. Площадь вписанного квадрата составляет:

Получили, что площадь вписанного квадрата вдвое меньше площади исходного. Тогда площади квадратов образуют геом. прог-сию, в которой

Найдем и для этой прог-сии сумму:

Итак, суммарная площадь всех квадратов равна двум.

Наконец, рассмотрим задачу, имеющую практическое содержание.

Пример. Два спортсмена, Вася и Петя, играют в настольный теннис. Счет в их партии равен 10:10, и поэтому у них действует правило «баланса». Согласно нему, игроки при равном счете должны разыграть два очка, причем в первом розыгрыше подавать будет Вася, а во втором – Петя. Если одному игроку удастся выиграть оба очка, то он выиграет всю партию. Если каждый из игроков выиграет по одному розыгрышу, то счет в их партии становится равным, и тогда им снова надо разыгрывать ещё два очка. Проще говоря, партия не закончится, пока разница в счете не составит два очка.

Известно, что при подаче Васи вероятность его победы в розыгрыше составляет 0,7. При подаче Пети шансы подающего на выигрыш очка равны 0,6. Каковы шансы Васи и Пети на победу в партии?

Решение. По условию начальный счет равен 10:10. Будем считать, что первое число в счете – это очки Васи,а второе – очки Пети. Игра закончится победой одного из игроков, когда его преимущество в счете достигнет 2 очков. Тогда возможные варианты развития событий можно изобразить с помощью схемы:

Обратим внимание, что в игре возможно бесконечное количество вариантов развития событий. Так, окончательный счет может быть равен даже 102:100 или 100002:100000 (хотя это и крайне маловероятно). Пусть вероятность, что игра закончится, например, со счетом 15:13, будет обозначаться как Р_15:13. Тогда, чтобы найти вероятность победы Васи, надо сложить бесконечное число вероятностей:

Первую подачу при счете «ровно» Вася выиграет с вероятностью 0,7, поэтому шансы Пети забрать 1-ое очко себе равны 1 – 0,7 = 0,3.

На второй подаче Петя выиграет с вероятностью 0,6, а шансы Васи составят 1 – 0,6 = 0,4.

Тогда вероятность, что Вася выиграет оба очка, составит

Для Пети вероятность забрать себе оба очка равна

Есть и третий вариант развития событий – после двух розыгрышей счет останется равным (каждый выиграет один мяч), и снова возникает «баланс». Вероятность такого исхода равна

Следовательно, можно записать:

Счета 13:11, 12:12 и 11:13 могут наступить только в том случае, если сначала был достигнут счет 11:11. «Переход» из счета 11:11 к счету 13:11 произойдет, если Вася выиграет два очка подряд, а вероятность такого исхода мы уже считали: Р_в = 0,7•0,4 = 0,28. Поэтому можно записать