Найти площадь треугольника онлайн

Онлайн-калькулятор площади треугольника

Треугольники бывают различных видов. Например, существует равносторонний треугольник (тот, у которого все стороны равны), равнобедренный (в нем равны две стороны) и прямоугольный (в котором один из углов прямой, т. е. равен 90 градусам).

Площадь треугольника можно найти различными способами в зависимости от того, какие элементы фигуры известны по условию задачи, будь то углы, длины, либо же вообще радиусы окружностей, связанных с треугольником. Рассмотрим каждый способ отдельно с примерами.

Видео

Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности

$S=p\cdot r$S=p⋅r,

Читайте также: Как очистить историю поиска Google и «Яндекса»

$p$p — половина периметра треугольника:

$p=\frac{a+b+c}{2}$p=2a+b+c​,

$a,b,c$a,b,c — стороны треугольника; $r$r — радиус вписанной в треугольник окружности.

Читайте также: Как определить местоположение по фотографии, используя открытые источники

Пример

Пусть радиус вписанной окружности равен 2 (см.). Длины сторон возьмем из предыдущей задачи.

Решение

$a=3$a=3 $b=4$b=4 $c=5$c=5 $r=2$r=2

$p=\frac{3+4+5}{2}=6$p=23+4+5​=6

$S=6\cdot 2=12$S=6⋅2=12 (см. кв.)

Ответ: 12 (см. кв.)

Формула площади треугольника

Для решения задач применяются различные формулы, в зависимости от известных исходных данных. Далее мы рассмотрим способы решения для всех типов треугольников, в том числе частные случаи для равносторонних, равнобедренных и прямоугольных фигур.

Быстро вычислить площадь треугольника поможет наш онлайн-калькулятор. Просто введите известные вам значения и получите ответ в метрах, сантиметрах или миллиметрах.

Научиться быстро щелкать задачки на нахождение площади треугольника помогут курсы по математике от Skysmart!

Площадь треугольника по трем сторонам. Формула Герона

Для нахождения площади треугольника по трем сторонам используют формулу Герона:

,

(7)

где a, b, c − стороны треугольника, а p − полупериод треугольника:

.

Доказательство формулы Герона. На рисунке 5 треугольник ABC имеет стороны a=BC, b=AC, c=AB. Проведем высоту h=AH. Обозначим x=CH. Тогда BH=a−x. Применим теорему Пифагора для треугольников AHC и AHB:

(8)

(9)

Из (8) и (9) следует:

Откуда находим x:

,

(10)

Подставляя (10) в (8) найдем h:

(11)

Тогда площадь треугольника равна:

(12)

Преобразовав (12) получим формулу (7):

.

Если известна сторона и высота

Площадь любого треугольника равна половине произведения стороны на высоту, которая к этой стороне проведена. Именно к этой, а не к какой-то другой.

Чтобы провести высоту к стороне, надо найти вершину (угол), которая противоположна этой стороне, а потом опустить из нее на сторону прямую линию под углом в 90 градусов. На картинке высота обозначена синим цветом и буквой h, а линия, на которую она опускается, красным цветом и буквой a.

Площадь треугольника по радиусу описанной окружности и трем сторонам

Сторона треугольника a = Сторона треугольника b = Сторона треугольника c = Радиус описанной окружности r =

нахождение площади треугольника по радиусу описанной окружности и трем сторонам

Если он равнобедренный

То есть у него равны боковые стороны. В таком случае надо провести высоту к основанию (той стороне, которая не равна «бедрам»), перемножить высоту с основанием и поделить результат на два.

Площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними

Теорема 2. Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.

Доказательство. Обозначим через S площадь треугольника ABC и пусть a=BC, b=AC (Рис.3). Докажем, что

.

Площадь данного треугольника можно вычислить по формуле, полученной выше (теорема 1):

,

(1)

где h − высота треугольника.

Из теоремы синусов имеем:

,

(2)

Подставляя (2) в (1), получим:

или

(3)

Площадь равностороннего треугольника по высоте

Высота треугольника h =

нахождение площади равностороннего треугольника по высоте

Помощь на развитие проекта

Спасибо, что не прошели мимо!

I. Для справки:

треугольник

— геометрическая фигура, образованная соединением отрезков трех точек, не лежащих на одной прямой. При этом точки называются вершинами треугольника, а отрезки — его сторонами.

площадь геометрической фигуры

— численная характеристика геометрической фигуры показывающая размер этой фигуры (части поверхности, ограниченной замкнутым контуром данной фигуры). Величина площади выражается числом заключающихся в нее квадратных единиц.

II. Примечание:

1. Блок исходных данных выделен желтым цветом, блок промежуточных вычислений выделен голубым цветом, блок решения выделен зеленым цветом.

Теги