Найти определитель (детерминант) матрицы онлайн

Советы

• Описанный метод распространяется на квадратные матрицы любого ранга. Например, если вы используете его для матрицы 4×4, то после «вычеркивания» будут оставаться матрицы 3×3, для которых определитель будет вычисляться вышеупомянутым способом. Будьте готовы к тому, что вычислять определитель для матриц таких размерностей вручную — очень трудоемкая задача!
• Если все элементы строки или столбца равны 0, то определитель матрицы тоже равен 0.

Ввод данных и функционал

• В качестве элементов используются обыкновенные правильные дроби (1/2, 29/7, -1/125), десятичные дроби (12, -0.01, 3.14), а также числа в экспоненциальной форме (2.5e3, 1e-2).
• Длина вводимых чисел ничем не ограничена, вводите хоть 1000 цифр, правда, возможно, придётся подождать, пока будут идти вычисления!
• Используйте для работы одну или две матрицы (чтобы выполнять операции с двумя матрицами, передвиньте переключатель второй матрицы).
• Вставляйте результат в A или B с помощью кнопок «Вставить в A» и «Вставить в B».
• Перетаскивайте (drag-and-drop) матрицы из результата в A или B.
• Используйте стрелки (←, ↑, →, ↓) для перемещения по элементам

Видео

Что такое матрица?

Матрицей размера n×m называется прямоугольная таблица специального вида, состоящая из n строк и m столбцов, заполненная числами. Матрицы обозначаются заглавными латинскими буквами. При необходимости размер записывается следующим образом: An×m.

Вычисление определителей по правилу Саррюса

Правило Саррюса также именуют способом присоединения двух строк/столбцов или правилом параллельных полосок.

Основная идея этого правила состоит в приписывании первого и второго столбца справа от определителя.

Вычисления будем производить по следующей схеме:

Перемножаем элементы, соединенные прямыми. Данные произведения берем со знаком «+», если диагональ, на которой они стоят, является главной или параллельной ей; со знаком «-», если она является второй (побочной) или параллельной ей.

Произведения, которые берутся со знаком «+»	Произведения, которые берутся со знаком «-»
$a_{11}\cdot a_{22}\cdot a_{33}$a11​⋅a22​⋅a33​	$a_{13}\cdot a_{22}\cdot a_{31}$a13​⋅a22​⋅a31​
$a_{12}\cdot a_{23}\cdot a_{31}$a12​⋅a23​⋅a31​	$a_{11}\cdot a_{23}\cdot a_{32}$a11​⋅a23​⋅a32​
$a_{13}\cdot a_{21}\cdot a_{32}$a13​⋅a21​⋅a32​	$a_{12}\cdot a_{21}\cdot a_{33}$a12​⋅a21​⋅a33​

В общем виде вычисление по правилу Саррюса можно записать следующим образом:

∣∣∣∣∣∣​a11​a21​a31​​a12​a22​a32​​a13​a23​a33​​∣∣∣∣∣∣​=∣∣∣∣∣∣​a11​a21​a31​​a12​a22​a32​​a13​a23​a33​​∣∣∣∣∣∣​a11​a21​a31​​a12​a22​a32​​=

$=a_{11}\cdot a_{22}\cdot a_{33}+a_{12}\cdot a_{23}\cdot a_{31}+a_{13}\cdot a_{21}\cdot a_{32}-a_{13}\cdot a_{22}\cdot a_{31}-a_{11}\cdot a_{23}\cdot a_{32}-a_{12}\cdot a_{21}\cdot a_{33}$=a11​⋅a22​⋅a33​+a12​⋅a23​⋅a31​+a13​⋅a21​⋅a32​−a13​⋅a22​⋅a31​−a11​⋅a23​⋅a32​−a12​⋅a21​⋅a33​.

Сравнивая эти два способа вычисления определителей, видим одинаковые множители, которые во втором случае немного переставлены местами. Возможность допустить ошибку, вычисляя определитель по правилу Саррюса, намного меньше.

Примеры

Пример 1

Найти определитель ∣∣∣∣∣∣​916​243​587​∣∣∣∣∣∣​ по правилу Саррюса.

Приписываем два первых столбца справа от определителя и вычисляем его:

∣∣∣∣∣∣​916​243​587​∣∣∣∣∣∣​916​243​=

$=9\cdot 4\cdot 7+2\cdot 8\cdot 6+5\cdot 1\cdot 3-5\cdot 4\cdot 6-9\cdot 8\cdot 3-2\cdot 1\cdot 7=252+96+15-120-216-14=13$=9⋅4⋅7+2⋅8⋅6+5⋅1⋅3−5⋅4⋅6−9⋅8⋅3−2⋅1⋅7=252+96+15−12−216−14=13.

Читайте также: Период и частота колебаний, теория и онлайн калькуляторы

Пример 2

Найти определитель ∣∣∣∣∣∣​261​1−3​−45−1​∣∣∣∣∣∣​ по правилу Саррюса.

Приписываем два первых столбца справа от определителя и вычисляем его:

∣∣∣∣∣∣​261​1−3​−45−1​∣∣∣∣∣∣​261​1−3​=

$=2\cdot (-3)\cdot (-1)+1\cdot 5\cdot 1+(-4)\cdot 6\cdot -(-4)\cdot (-3)\cdot 1-2\cdot 5\cdot -1\cdot 6\cdot (-1)=6+5-12+6=5$=2⋅(−3)⋅(−1)+1⋅5⋅1+(−4)⋅6⋅−(−4)⋅(−3)⋅1−2⋅5⋅−1⋅6⋅(−1)=6+5−12+6=5.

Существует еще одна вариация правила Саррюса. Она состоит в приписывании первой и второй строки снизу от определителя. Вычисления производятся аналогично.

Вычисление определителя по строке или столбцу

Определитель матрицы равен сумме произведений элементов строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Алгоритм вычисления определителя по строке или столбцу:

1. находим алгебраические дополнения элементов строки или столбца;
2. находим произведения элементов на их алгебраические дополнения;
3. находим сумму, полученных на шаге 2, произведений.

Примеры

Пример 1

Найти определитель ∣∣∣∣∣∣​916​243​587​∣∣∣∣∣∣​ по 2 столбцу.

∣∣∣∣∣∣​916​243​587​∣∣∣∣∣∣​=2⋅A12​+4⋅A22​+3⋅

A32​=2(−1)3M12​+4(−1)4M22​+3(−1)5M32​=2(−1)3∣∣∣∣​16​87​∣∣∣∣​+4(−1)4∣∣∣∣​96​57​∣∣∣∣​+3(−1)5∣∣∣∣​91​58​∣∣∣∣​=

$=-2\cdot (-41)+4\cdot 33-3\cdot 67=82+132-201=13$=−2⋅(−41)+4⋅33−3⋅67=82+132−21=13.

Пример 2

Найти определитель ∣∣∣∣∣∣​261​1−3​−45−1​∣∣∣∣∣∣​ по 3 строке.

∣∣∣∣∣∣​261​1−3​−45−1​∣∣∣∣∣∣​=1⋅A31​+⋅A32​−1⋅A33​=1(−1)4M31​+(−1)5M32​−1(−1)6M33​=

=1(−1)4∣∣∣∣​1−3​−45​∣∣∣∣​+(−1)5∣∣∣∣​26​−45​∣∣∣∣​−1(−1)6∣∣∣∣​26​1−3​∣∣∣∣​=−7++12=5.

Любой из рассмотренных способов можно применять при нахождении определителей третьего порядка. В следующий раз мы разберем вычисление определителей матриц высших порядков.

Оформите решение задачи на заказ онлайн, если возникают трудности с выполнением!

Теги