Модуль (длина) вектора. Онлайн калькулятор

Формула

Чтобы найти длину вектора, заданного своими координатами, нужно извлечь корень квадратный из суммы квадратов его координат. Если вектор задан на плоскости и имеет координаты $\bar{a}=\left(a_{x} ; a_{y}\right)$, его длина вычисляется по формуле:

$$|\bar{a}|=\sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}$$

Если вектор задан в пространстве координатами $\bar{a}=\left(a_{x} ; a_{y} ; a_{z}\right)$, то его длина вычисляется по формуле

$|\bar{a}|=\sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}$

Видео

Как найти длину вектора

Модуль вектора а будем обозначать .

Для того чтобы найти модуль вектора или его длину, на плоскости по координатам, необходимо рассмотреть вектор используя прямоугольную декартову систему координат Оxy.  Допустим в данной системе будет задан, так вектор имеющий координаты (aₓ ; aᵧ). Получим формулу, которая поможет  найти длину вектора , через известные нам координаты aₓ и aᵧ.

На взятой системе координат, от её начала отложим вектор В соответствии с проекцией точки А возьмём и определим Aₓ и Aᵧ на оси координат. Рассмотрим полученный прямоугольник ОAₓ и АAᵧ с диагональю ОА.

Далее используя теорему Пифагора мы получим равенство АО² = ОAₓ² и OAᵧ², отсюда следует

Теперь в соответствии с определением вектора относительно прямоугольной оси координат выходит, что ОAₓ² = aₓ² и также для OAᵧ² = aᵧ² , а так как на построенном прямоугольнике мы видим, что ОА равна длине вектора получаем 

Из вышесказанного выходит, что для того чтобы найти длину вектора с точками (aₓ ; aᵧ), выводим следующую формулу:

Когда вектор дан в формате разложения по координатным векторам , то вычислить его можно по той же формуле , в таком варианте коэффициент aₓ и aᵧ будут выражать в роли координат , в данной системе координат.

Пример Чтобы рассчитать длину = (3, √x), расположенного в прямоугольной системе координат. Необходимо: Чтобы найти модуль вектора используем ранее приведённую формулу Ответ:

Существуют также формулы вычисления длины вектора в пространстве, они выводятся аналогично тем, что в системе координат на плоскости. Если взять вектор =(aₓ ; aᵧ ; a )

В таком случае \( AO^2=OA_x^2+OA_y^2+OA_z^2 \) (из рисунка видно, что АО — диагональ прямоугольного параллелепипеда), поэтому

из определения получаются равенства ОAₓ=aₓ; OAᵧ=aᵧ; OA=a , а значение длины ОА совпадает с длиной вектора, которую необходимо найти. Из этого следует:

Пример Необходимо узнать длину вектора \( \left|\vec{a}\right|=2*\vec{i}+3*\vec{j}+4*\vec{k} \), в котором \( \vec{i}, \vec{j}, \vec{k} \), орты. Решение Получается, что дан вектор \( \left|\vec{a}\right| \) с координатами (2; 3; 4) Применив выведенную ранее формулу получим Ответ:

Пример задач

Пример 2

Найдите расстояние между точками $X$ и $Y$, которые имеют следующие координаты: $(-1,5)$ и $(7,3)$, соответственно. Решение. Любые две точки можно легко связать с понятием вектора. Рассмотрим, к примеру, вектор $\overline{XY}$. Как мы уже знаем, координаты такого вектора можно найти, вычтя из координат конечной точки ($Y$) соответствующие координаты начальной точки ($X$). Получим, что $\overline{XY}=(7+1,3-5)=(8,-2)$ Теперь, найдя длину этого вектора по формуле, выведенной выше, мы и получим искомую длину. Получим: $d=\sqrt{8^2+(-2)^2}=\sqrt{64+4}=\sqrt{68}=2\sqrt{17}$ Ответ: $2\sqrt{17}$.

Замечание 1

Из этой задачи можно вывести формулу для вычисления такого расстояния. Пусть две точки имеют координаты ${(x’,y’)}$ и ${(x»,y»)}$. Тогда длину между такими точками можно найти по следующей формуле: $d=\sqrt{(x’-x»)^2+(y’-y»)^2}$

Пример 3

Пусть нам дан треугольник своими координатами вершин $(5,-9)$, $(12,-2)$ и $(4,0)$. Найдем его периметр. Решение. Найдем для начала длины всех его сторон по формуле из замечания к задаче 2. Первая сторона равняется: $\sqrt{(5-12)^2+(-9+2)^2}=\sqrt{(-7)^2+(-7)^2}=\sqrt{98}=7\sqrt{2}$ Вторая сторона равняется: $\sqrt{(5-4)^2+(-9-0)^2}=\sqrt{1^2+(-9)^2}=\sqrt{82}$ Третья сторона равняется: $\sqrt{(12-4)^2+(-2-0)^2}=\sqrt{8^2+(-2)^2 }=\sqrt{68}=2\sqrt{17}$ Складывая, получим Ответ: $7\sqrt{2}+\sqrt{82}+2\sqrt{17}$

Получи деньги за свои студенческие работы Курсовые, рефераты или другие работы

Нахождение длины вектора по координатам точек его начала и конца

Для нахождения длины вектора $\overrightarrow{CD}$CD, где $C(c_x;c_y)$C(cx​;cy​) и $D(d_x;d_y)$D(dx​;dy​) существует определенная последовательность действий:

1. Найти координаты вектора $\overrightarrow{CD}$CD по формуле: $$∣∣∣​CD∣∣∣​=(dx​−cx​;dy​−cy​).
2. Найти длину вектора по его координатам по формуле: $$∣∣∣​CD∣∣∣​=(dx​−cx​)2+(dy​−cy​)2​.

Аналогично находится длина вектора $\overrightarrow{CD},$CD, заданного в пространстве, где $C(c_x;c_y;c_z)$C(cx​;cy​;cz​) и $D(d_x;d_y;d_z)$D(dx​;dy​;dz​):

1. Найти координаты вектора $\overrightarrow{CD}$CD по формуле: $\overrightarrow{CD}=(d_x-c_x;d_y-c_y;d_z-c_z).$CD=(dx​−cx​;dy​−cy​;dz​−cz​).
2. Найти длину вектора по его координатам по формуле: $$∣∣∣​CD∣∣∣​=(dx​−cx​)2+(dy​−cy​)2+(dz​−cz​)2​.

Нахождение длины вектора по теореме косинусов

Однако по условию задач координаты вектора не всегда известны. Тогда приходится искать иные пути решения.

К примеру, известны длины двух векторов\( \vec AB\) и \(\vec AC\), а также угол между ними. Необходимо выяснить, длину вектора \(\vec BC\). В этом случае, чтобы определить векторное значение, следует можно обратиться к теореме косинусов.

Определение

Теорема косинусов — квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Пример:

Длина вектора \(\vec AB=2\), \(\vec AC=4\), а угол между ними \(=\frac\pi4.\)

Вычислить длину вектора \(\vec BC.\)

Длина вектора \(\vec BC\) равна длине стороны BC треугольника ΔABC.

Исходные данные позволяют воспользоваться теоремой косинусов, так как длины стороны треугольника известны из условия (они равны длинам векторов \(\vec AB\) и \(\vec AC\)). И угол между ними тоже известен.

\(BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot\cos\angle\left(\vec AB,\vec AC\right)=2^2+4^2-2\cdot2\cdot4\cdot\cos\frac\pi4=4+16-8\sqrt2=20-8\sqrt2\)

\(BC=\sqrt{20-8\sqrt2}\)

\(\left|\vec BC\right|=\sqrt{20-8\sqrt2}\)

Теги