Матричный метод решения системы линейных алгебраических уравнений

Алгоритм решения матричных уравнений

1. Матричное уравнение приводится к одному из простейших уравнений:

или

где — известные матрицы, — искомая (неизвестная) матрица.

ЗАМЕЧАНИЕ

Существует также уравнение вида , но оно является комбинацией методов решения двух первых указанных простейших уравнений.

Чтобы привести произвольное матричное уравнение к одному из видов (1), надо все известные матрицы по свойствам уравнений перенести вправо, а неизвестную матрицу в левой части и свести подобные.

2. Разрешаем полученное простейшее уравнение относительно неизвестной матрицы .

2.1 Если в результате преобразований получили простейшее уравнение , то необходимо левую и правую часть этого равенства слева умножить на обратную матрицу к матрице :

ЗАМЕЧАНИЕ

Поскольку умножение матриц некоммутативно, то нужно строго соблюдать умножение слева или справа, иначе это влияет на результат.

2.2 Для простейшего уравнения после умножения справа на обратную матрицу получаем:

ЗАМЕЧАНИЕ

Обратная матрица находится либо методом союзной матрицы, либо методом присоединенной матрицы.

3. Далее вычисляется одно из произведений или , что и определяет искомую матрицу.

4. Делаем проверку, для этого подставляем найденную матрицу в исходное уравнение.

Видео

AX = B, где матрица A обратима

Поскольку умножение матриц не всегда коммутативно, умножаем слева обе части уравнения на$ A^<-1>$.

$A^<-1>cdot|Acdot X = B$

$A^<-1>cdot Acdot X = A^<-1>cdot B$

$I_cdot X = A^<-1>cdot B$

Решение уравнения имеет общий вид $colorcdot B>$

Пример 50 Решить уравнение $egin 1 & 3\ 2 & 5 endcdot X egin 3 & 5\ 2 & 1 end$

Убедимся, что первая матрица обратима. $left|A ight|=5-6=-1 eq 0$, следовательно, матрица обратима.

Умножаем слева на обратную ей матрицу. $egin 1 & 3\ 2 & 5\ end^<-1>cdot egin 1 & 3\ 2 & 5 endcdot X= egin 1 & 3\ 2 & 5 end^<-1>cdot egin 3 & 5\ 2 & 1 end$

$I_<2>cdot X = egin 1 & 3\ 2 & 5 end^<-1>cdot egin 3 & 5\ 2 & 1 end$

$egin 1 & 3\ 2 & 5 end^<-1>= egin -5 & 3\ 2 & -1 end ightarrow X= egin -5 & 3\ 2 & -1 endcdot egin 3 & 5\ 2 & 1 end= egin -9 & -22\ 4 & 9 end$

Решение матричного уравнения или системы линейных уравнений AX=B онлайн

Матричным онлайн калькулятором можно решить матричное уравнение AX=B по отношению матрицы X. В частном случае, если матрица B является вектор-столбцом, то X , будет решением системы линейных уравнений AX=B.

Для решения матричного уравнения:

1. Введите размерности матриц и .
2. Введите элементы матриц.
3. Нажмите на кнопку "решение AX=B".

Учтите, что матрицы и должны иметь равное количество строк .

Вычисление псевдообратной матрицы онлайн

Матричным онлайн калькулятором можно вычислить псевдообратную матрицу. Псевдообратная к данной матрице всегда существует.

Для вычисления псевдообратной матрицы:

1. Выберите матрицу или с помощью радиокнопки .
2. Введите размерность матрицы.
3. Введите элементы матрицы.
4. Нажмите на кнопку "псевдообратное ".

Вычисляем неизвестную матрицу

Нам остаётся посчитать матрицу X: умножаем обратную матрицу А^-1 на матрицу B. Дробь держим за скобками и вносим в матрицу только при условии, что элементы новой матрицы будут кратны десяти — их можно умножить на дробь и получить целое число. Если кратных элементов не будет — дробь оставим за скобками.

Вводим единичную матрицу

В линейной алгебре есть два вспомогательных понятия: обратная матрица и единичная матрица. Единичная матрица состоит из нулей, а по диагонали у неё единицы. Обратная матрица — это такая, которая при умножении на исходную даёт единичную матрицу. 

Можно представить, что есть число 100 — это «сто в первой степени», 100¹

И есть число 0,01 — это «сто в минус первой степени», 100^-1

При перемножении этих двух чисел получится единица:100¹ × 100^-1 = 100 × 0,01 = 1. 

Вот такое, только в мире матриц. 

Зная свойства единичных и обратных матриц, делаем алгебраическое колдунство. Умножаем обе известные матрицы на обратную матрицу А^-1. Неизвестную матрицу Х оставляем без изменений и переписываем уравнение: 

А-1 × А × Х = А-1 × В  

Добавляем единичную матрицу и упрощаем запись: 

А-1 × А = E — единичная матрица 

E × Х = А-1 × В — единичная матрица, умноженная на исходную матрицу, даёт исходную матрицу. Единичную матрицу убираем

Х = А-1 × В — новая запись уравнения 

После введения единичной матрицы мы нашли способ выражения неизвестной матрицы X через известные матрицы A и B. 

💡 Смотрите, что произошло: раньше нам нужно было найти неизвестную матрицу. А теперь мы точно знаем, как её найти: нужно рассчитать обратную матрицу A^-1 и умножить её на известную матрицу B. И то и другое — замороченные процедуры, но с точки зрения арифметики — просто. 

Вычисление определителя матрицы онлайн

Матричным онлайн калькулятором можно вычислить определитель матрицы. Для того, чтобы существовал определитель матрицы, исходная матрица должна быть невырожденной квадратной матрицей.

Для вычисления определителя матрицы:

1. Выберите матрицу или с помощью радиокнопки .
2. Введите размерность матрицы .
3. Введите элементы матрицы.
4. Нажмите на кнопку "определитель ".

Для подробного вычисления определителя матрицы по шагам, пользуйтесь этим калькулятором для вычисления определителя матрицы. Теорию вычисления определителя матрицы смотрите здесь.

Решение матричных уравнений: примеры

Пример 1. Решить матричное уравнение

.

Решение. Данное уравнение имеет вид A ⋅ X = B , то есть в произведении матрицы A и неизвестной матрицы X матрица A находится слева. Поэтому решение следует искать в виде , то есть неизвестная матрица равна произведению матрицы B на матрицу, обратную матрице A слева. Найдём матрицу, обратную матрице A .

Сначала найдём определитель матрицы A :

.

Найдём алгебраические дополнения матрицы A :

.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание Решить уравнение Решение В левой части оставляем слагаемое с искомой матрицей , в правую часть переносим все известные матрицы и производим умножение матрицы на число 3 (для этого каждый элемент указанной матрицы умножаем на это число): В правой части полученного уравнения выполняем вычитание матриц (от элементов первой матрицы отнимаем соответствующие элементы второй): Для нахождения искомой матрицы делим левую и правую части последнего уравнения на (— 2): Ответ

ПРИМЕР 2

Задание Решить матричное уравнение Решение Заданное уравнение является простейшим матричным уравнением первого типа. Для нахождения неизвестной матрицы умножим его левую и правую части слева на обратную к матрице : На данном этапе задача сводится к нахождению обратной матрицы. Ее найдем методом союзной матрицы: где — определитель матрицы ; — союзная к матрица, то есть матрица, состоящая из алгебраических дополнений к ее элементам; — транспонирование матрицы, то есть операция, состоящая в том, что строки матрицы становятся ее столбцами с теми же номерами. Для заданной матрицы имеем: алгебраические дополнения: Тогда а обратная матрица Таким образом, искомая матрица Ответ

Теги