Математика. Нули функции + примеры + инструкция

Как найти нули функции на графике функции

Важно!

Графически нули функции — это точки пересечения графика функции с осью «Ox» (осью абсцисс).

По определению нули функции — это значения « x », при которых « y = 0 ». Другими словами, у точек графика функции, которые являются нулями функции, координата « x » равна нулю.

Чтобы найти нули функции на графике нам остается, только найти, какая у них координата по оси « Ox ».

Рассмотрим на примере.

Разбор примера

На рисунке ниже изображен график функции « y = f(x) », определенной на множестве действительных чисел. Используя график, найдите нули функции.

Отметим на графике функции его точки пересечения с осью « Ox ».

Назовем полученные точки «(·)А» и «(·)B». В точках «(·)А» и «(·)B» график функции пересекает ось « Ox » , то есть координаты точки «(·)А» и «(·)B» по оси « Oy » равны нулю.

Точки «(·)А» и «(·)B» — нули функции. Теперь определим, чему равны их координаты по оси « Ox ».

На графике видно, что у точки «(·)А» координата « x » равна «», а у точки «(·)B» координата « x » равна « 2 ».

Запишем полученные значения координат « x » в ответ.

Ответ: x = ; x = 2 являются нулями функции.

Как найти нули функции, заданной таблицей

В некоторых заданиях, где требуется найти нули функции, сама функция задана не вполне привычно с помощью формулы, а с помощью таблицы. Поиск нулей в таких примерах является легкой задачей.

Разбор примера

Найдите нули функции, заданной таблицей.

x	−2	−1	1	2	3
y	−3	−1,5	2	1

Вспомним определение нулей функции.

Запомните!

Нули функции — это значения « x » в функции, при которых « y = 0 ».

Согласно определению нулей функции нам достаточно найти значения « x » в таблице, где « y = 0 ». Выделим их цветом.

x	−2	−1	1	2	3
y	−3	−1,5	2	1

Остаётся только записать в ответ значения « x » из таблицы.

Ответ: x = 0; x = 3 являются нулями функции, заданной таблицей.

Что является аргументом функции?

Аргуме́нт (лат. … Аргумент функции — независимая переменная, от значений которой зависят значения функции. Аргумент комплексного числа — одна из величин, связанных с комплексным числом. Аргумент максимизации, Аргумент минимизации

Видео

Как определять свойства функции?

Свойства функции разберем на примере о графика произвольной функции y = f (x): Область определения функции — это множество всех значений переменной x, которые имеют соответствующие им значения функции. Обозначают: D(f)….

Функция	y = sin x	y = cos x
Нули функции
Четность	нечетная	четная
Периодичность
Экстремумы

Метод интервалов. Средний уровень

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Линейная функция

Линейной называется функция вида. Рассмотрим для примера функцию. Она положительна при 3″> и отрицательна при. Точка – нуль функции (). Покажем знаки этой функции на числовой оси:

Говорим, что «функция меняет знак при переходе через точку ».

Видно, что знаки функции соответствуют положению графика функции: если график выше оси, знак « », если ниже – « ».

Если обобщить полученное правило на произвольную линейную функцию, получим такой алгоритм:

Находим нуль функции;

Отмечаем его на числовой оси;

Определяем знак функции по разные стороны от нуля.

Квадратичная функция

Надеюсь, ты помнишь, как решаются квадратные неравенства? Если нет, прочти тему «Квадратные неравенства». Напомню общий вид квадратичной функции: .

Теперь вспомним, какие знаки принимает квадратичная функция. Ее график – парабола, и функция принимает знак « » при таких, при которых парабола выше оси, и « » – если парабола ниже оси:

Если у функции есть нули (значения, при которых), парабола пересекает ось в двух точках – корнях соответствующего квадратного уравнения. Таким образом ось разбивается на три интервала, а знаки функции попеременно меняются при переходе через каждый корень.

А можно ли как-нибудь определить знаки, не рисуя каждый раз параболу?

Вспомним, что квадратный трехчлен можно разложить на множители:

Отметим корни на оси:

Мы помним, что знак функции может меняться только при переходе через корень. Используем этот факт: для каждого из трех интервалов, на которые ось разбивается корнями, достаточно определить знак функции только в одной произвольно выбранной точке: в остальных точках интервала знак будет таким же.

В нашем примере: при 3″> оба выражения в скобках положительны (подставим, например: 0″>). Ставим на оси знак « »:

Ну и, при (подставь, например,) обе скобки отрицательны, значит, произведение положительно:

Это и есть метод интервалов : зная знаки сомножителей на каждом интервале, определяем знак всего произведения.

Рассмотрим также случаи, когда нулей у функции нет, или он всего один.

Если их нет, то и корней нет. А значит, не будет и «перехода через корень». А значит, функция на всей числовой оси принимает только один знак. Его легко определить, подставив в функцию.

Если корень только один, парабола касается оси, поэтому знак функции не меняется при переходе через корень. Какое правило придумаем для таких ситуаций?

Если разложить такую функцию на множители, получатся два одинаковых множителя:

А любое выражение в квадрате неотрицательно! Поэтому знак функции и не меняется. В таких случаях будем выделять корень, при переходе через который знак не меняется, обведя его квадратиком:

Такой корень будем называть кратным .

Основные понятия и свойства функций

Нули функции. Асимптота

Область определения и область значений функции. В элементарной математике изучаются функции только на множестве действительных чисел R . Это значит, что аргумент функции может принимать только те действительные значения, при которых функция определена, т. e . она также принимает только действительные значения. Множество X всех допустимых действительных значений аргумента x , при которых функция y = f (x ) определена, называется областью определения функции . Множество Y всех действительных значений y , которые принимает функция, называется областью значений функции . Теперь можно дать более точное определение функции: правило (закон) соответствия между множествами X и Y , по которому для каждого элемента из множества X можно найти один и только один элемент из множества Y , называется функцией .

Из этого определения следует, что функция считается заданной, если:

— задана область определения функции X ;

— задана область значений функции Y ;

— известно правило (закон) соответствия, причём такое, что для каждого

значения аргумента может быть найдено только одно значение функции.

Это требование однозначности функции является обязательным.

Монотонная функция. Если для любых двух значений аргумента x 1 и x 2 из условия x 2 > x 1 следует f (x 2) > f (x 1), то функция f (x ) называется возрастающей ; если для любых x 1 и x 2 из условия x 2 > x 1 следует f (x 2)

Функция, изображённая на рис.3, является ограниченной, но не монотонной. Функция на рис.4 — как раз наоборот, монотонная, но неограниченная. (Объясните это, пожалуйста!).

Непрерывная и разрывная функции. Функция y = f (x ) называется непрерывной в точке x = a , если:

1) функция определена при x = a , т. e . f (a ) существует;

2) существует конечный предел lim f (x ) ;

Если не выполняется хотя бы одно из этих условий, то функция называется разрывной в точке x = a .

Если функция непрерывна во всех точках своей области определения , то она называется непрерывной функцией .

Чётная и нечётная функции. Если для любого x из области определения функции имеет место: f (— x ) = f (x ), то функция называется чётной ; если же имеет место: f (— x ) = — f (x ), то функция называется нечётной . График чётной функции симетричен относительно оси Y (рис.5), a график нечётной функции сим метричен относительно начала координат (рис.6).

Периодическая функция. Функция f (x ) — периодическая , если существует такое отличное от нуля число T , что для любого x из области определения функции имеет место: f (x + T ) = f (x ). Такое наименьшее число называется периодом функции . Все тригонометрические функции являются периодическими.

П р и м е р 1 . Доказать, что sin x имеет период 2 .

Р е ш е н и е. Мы знаем, что sin (x + 2 n ) = sin x , где n = 0, ± 1, ± 2, …

Следовательно, добавление 2 n к аргументу синуса не

меняет его значени e . Существует ли другое число с таким

Предположим, что P – такое число, т. e . равенство:

справедливо для любого значения x . Но тогда оно имеет

место и при x = / 2 , т. e .

sin (/ 2 + P ) = sin / 2 = 1.

Но по формуле приведения sin (/ 2 + P ) = cos P . Тогда

из двух последних равенств следует, что cos P = 1, но мы

знаем, что это верно лишь при P = 2 n . Так как наименьшим

отличным от нуля числом из 2 n является 2 , то это число

и есть период sin x . Аналогично доказывается, что 2

является периодом и для cos x .

Докажите, что функции tan x и cot x имеют период .

П р и м е р 2. Какое число является периодом функции sin 2 x ?

Р е ш е н и е. Рассмотрим sin 2x = sin (2 x + 2 n ) = sin [ 2 (x + n ) ] .

Мы видим, что добавление n к аргументу x , не меняет

значение функции. Наименьшее отличное от нуля число

из n есть , таким образом, это период sin 2 x .

Нули функции. Значение аргумента, при котором функция равна 0, называется нулём ( корнем) функции . Функция может иметь несколько нулей. Например, функция y = x (x + 1) (x — 3) имеет три нуля: x = 0, x = — 1, x = 3. Геометрически нуль функции – это абсцисса точки пересечения графика функции с осью Х .

На рис.7 представлен график функции с нулями: x = a , x = b и x = c .

Асимптота. Если график функции неограниченно приближается к некоторой прямой при своём удалении от начала координат, то эта прямая называется асимптотой .

Графическое представление

Понять, что такое нули функции, можно с помощью математических программ, таких как Maple. В ней можно построить график, указав желаемое количество точек и нужный масштаб. Те точки, в которых график пересечет ось ОХ, и есть искомые нули. Это один из самых быстрых способов нахождения корней многочлена, особенно если его порядок выше третьего. Так что если есть необходимость регулярно выполнять математические расчеты, находить корни многочленов произвольных степеней, строить графики, Maple или аналогичная программа будет просто незаменима для осуществления и проверки расчетов.

Теги