Содержание материала
- Степень с натуральным показателем
- Видео
- Наглядный пример вычисления кубического корня
- Алгоритм приблизительных вычислений
- Извлечение кубического корня на калькуляторе
- Извлечение корня из отрицательных чисел
- Кубический корень. Извлечение кубического корня
- Пример работы калькулятора
- Вычисление ребра куба
- Кубический корень
- Принципы нахождения значения корня и способы их извлечения
- Использование таблицы квадратов, кубов и т.д.
- Таблица квадратов
- Таблица кубов
- Навигация по записям
Степень с натуральным показателем
Проще всего определяется степень с натуральным (то есть целым положительным) показателем.
По определению, .
Выражения «возвести в квадрат» и «возвести в куб» нам давно знакомы. Возвести число в квадрат — значит умножить его само на себя.
.
Возвести число в куб — значит умножить его само на себя три раза.
.
Возвести число в натуральную степень — значит умножить его само на себя
раз:
Видео
Наглядный пример вычисления кубического корня
Он нужен потому, что описание может показаться сложным. На рисунке ниже показано, как извлечь кубический корень из 15 с точностью до сотых.
Единственной сложностью, которую имеет этот метод, заключается в том, что с каждым шагом числа увеличиваются многократно и считать в столбик становится все сложнее.
- 15> 23, значит под целой частью записана 8, а над корнем 2.
- После вычитания из 15 восьми получается остаток 7. К нему нужно приписать три нуля.
- а = 2. Поэтому: 22 * 300 * х +2 * 30 * х2 + х3 < 7000, или 1200 х + 60 х2 + х3< 7000.
- Методом подбора получается, что х = 4. 1200 * 4 + 60 * 16 + 64 = 5824.
- Вычитание дает 1176, а над корнем появилось число 4.
- Приписать к остатку три нуля.
- а = 24. Тогда 172800 х + 720 х2 + х3< 1176000.
- х = 6. Вычисление выражения дает результат 1062936. Остаток: 113064, над корнем 6.
- Снова приписать нули.
- а = 246. Неравенство получается таким: 18154800х + 7380х2 + х3< 113064000.
- х = 6. Расчеты дают число: 109194696, Остаток: 3869304. Над корнем 6.
Ответом получается число: 2, 466. Поскольку ответ должен быть дан до сотых, то его нужно округлить: 2,47.
Алгоритм приблизительных вычислений
Кубический корень положительного или отрицательного числа А — это соответственно положительное или отрицательное В, которое при возведении в куб дает число А. Пусть требуется найти cube(27).
Для поиска корней используется следующий алгоритм рассуждений. Какое число нужно умножить на само себя 3 раза, чтобы получить 27? Посчитаем, что 2 × 2 × 2 = 8, а 3 × 3 × 3 = 27, следовательно, cube(27) = 3. Это простой целочисленный пример. Но что делать, если требуется найти cube(45)? Попробуем тот же алгоритм: 3 × 3 × 3 = 27, 4 × 4 × 4 = 64. Из этого следует, что кубический корень из 45 — это иррациональное число, которое находится в диапазоне 3 > cube(45) < 4. Число 45 находится приблизительно на половине пути между 27 и 64, поэтому можно предположить, что cube(45) = 3,5. Это грубая оценка кубического корня, которую можно использовать для приблизительных расчетов.
Помимо метода определения «на глазок», существует алгоритм расчета кубического корня больших чисел в столбик:
- для начала число разделяется на группы чисел по три, начиная с правого конца, например, число 1234561789 будет выглядеть как 1 234 561 789;
- после этого для каждой группы цифр требуется найти такой целочисленный кубический корень, который при увеличении на 1 и возведении в куб становится больше заданного числа;
- далее следует записать полученный куб под группой цифр и произвести вычитание;
- затем требуется ниже записать результат вычитания и снести вторую группу цифр;
- после чего повторить алгоритм.
Точное значение такого корня найти невозможно, так как кубические корни для некубических чисел — это всегда бесконечные и непериодическое иррациональные числа. А что такое кубические числа?
Извлечение кубического корня на калькуляторе
Каждый человек хоть раз делал это для квадратного корня. А как быть если степень «3»?
На обычном калькуляторе имеется только кнопочка для квадратного, а кубического — нет. Здесь поможет простой перебор чисел, которые трижды умножаются на себя. Получилось подкоренное выражение? Значит, это ответ. Не получилось? Подбирать снова.
А что в инженерном виде калькулятора в компьютере? Ура, здесь есть кубический корень. Эту кнопочку можно просто нажать, и программа выдаст ответ. Но это не все. Здесь можно вычислить корень не только 2 и 3 степени, но и любой произвольной. Потому что есть кнопка у которой в степени корня стоит «у». То есть после нажатия этой клавиши потребуется ввести еще одно число, которое будет равно степени корня, а уже потом «=».
Извлечение корня из отрицательных чисел
Если знаменатель является нечетным числом, то число под знаком корня может оказаться отрицательным. Из этого следует: для отрицательного числа и нечетного показателя корня справедливо равенство:
Правило извлечения нечетной степени из отрицательных чисел: чтобы извлечь корень из отрицательного числа необходимо извлечь корень из противоположного ему положительного числа и поставить перед ним знак минус.
-122092435. Для начала необходимо преобразовать выражение, чтобы под знаком корня оказалось положительно число: -122092435=12209243-5 Затем следует заменить смешанное число обыкновенной дробью: 12209243-5=3125243-5 Пользуясь правилом извлечения корней из обыкновенной дроби, извлекаем: 3125243-5=-312552435 Вычисляем корни в числителе и знаменателе: -312552435=-555355=-53=-123 Краткая запись решения: -122092435=12209243-5=3125243-5=-312552435=-555355=-53=-123. Ответ: -122092435=-123.
Кубический корень. Извлечение кубического корня
Кубический корень из a, обозначающийся как 3√a или как a1/3 — решение уравнения x3 = a (обычно подразумеваются вещественные решения).
Кубический корень — нечётная функция. В отличие от квадратного корня, кубический корень может быть извлечён и из отрицательных чисел.
Пример работы калькулятора
Вычисление ребра куба
Классическая задача на вычисление кубического корня — это определение длины ребра куба, если известен его объем. Для значений объема из кубической последовательности все просто, так как ответ будет записан в виде целого числа. Для всех остальных значений нам пригодится онлайн-калькулятор. Давайте вычислим длины ребер для следующих объемов кубов:
- Cube(10) = 2,1544;
- Cube(25) = 2,9240;
- Cube(50) = 3,6840;
- Cube(75) = 4,2172;
- Cube(100) = 4,6416.
Как видите, в диапазоне от 10 до 100 длина ребра изменятся всего на 2,5 пункта.
Кубический корень
Аналогично, кубический корень из — это такое число, которое при возведении в третью степень дает число
.
Например, , так как
;
, так как
;
, так как
.
Обратите внимание, что корень третьей степени можно извлекать как из положительных, так и из отрицательных чисел.
Теперь мы можем дать определение корня -ной степени для любого целого
.
Принципы нахождения значения корня и способы их извлечения
- Использование таблицы квадратов, таблицы кубов и т.д.
- Разложение подкоренного выражения (числа) на простые множители
- Извлечение корней из дробных чисел
- Извлечение корня из отрицательного числа
- Поразрядное нахождение значения корня
Необходимо понять, по каким принципам находится значение корней, и каким образом они извлекаются.
Главный принцип нахождения значения корней — основываться на свойствах корней, в том числе на равенстве: bnn=b, которое является справедливым для любого неотрицательного числа b.
Начать следует с наиболее простого и очевидного способа: таблицы квадратов, кубов и т.д.
Когда таблицы под руками нет, вам поможет способ разложения подкоренного числа на простые множители (способ незатейливый).
Стоит уделить внимание извлечению корня из отрицательного числа, что является возможным для корней с нечетными показателями.
Изучим, как извлекать корни из дробных чисел, в том числе из смешанных чисел, обыкновенных и десятичных дробей.
И потихоньку рассмотрим способ поразрядного нахождения значения корня — наиболее сложного и многоступенчатого.
Использование таблицы квадратов, кубов и т.д
Таблица квадратов включает в себя все числа от 0 до 99 и состоит из 2 зон: в первой зоне можно составить любое число до 99 с помощью вертикального столбца с десятками и горизонтальной строки с единицами, во второй зоне содержатся все квадраты образуемых чисел.
Таблица квадратов
Таблица квадратов | единицы | |||||||||
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | ||
десятки | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 | |
1 | 100 | 121 | 144 | 169 | 196 | 225 | 256 | 289 | 324 | 361 |
2 | 400 | 441 | 484 | 529 | 576 | 625 | 676 | 729 | 784 | 841 |
3 | 900 | 961 | 1024 | 1089 | 1156 | 1225 | 1296 | 1369 | 1444 | 1521 |
4 | 1600 | 1681 | 1764 | 1849 | 1936 | 2025 | 2116 | 2209 | 2304 | 2041 |
5 | 2500 | 2601 | 2704 | 2809 | 2916 | 3025 | 3136 | 3249 | 3364 | 3481 |
6 | 3600 | 3721 | 3844 | 3969 | 4096 | 4225 | 4356 | 4489 | 4624 | 4761 |
7 | 4900 | 5041 | 5184 | 5329 | 5476 | 5625 | 5776 | 5929 | 6084 | 6241 |
8 | 6400 | 6561 | 6724 | 6889 | 7056 | 7225 | 7396 | 7569 | 7744 | 7921 |
9 | 8100 | 8281 | 8464 | 8649 | 8836 | 9025 | 9216 | 9409 | 9604 | 9801 |
Существуют также таблицы кубов, четвертой степени и т.д., которые созданы по принципу, аналогичному таблице квадратов.
Таблица кубов
Таблица кубов | единицы | |||||||||
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | ||
десятки | 1 | 8 | 27 | 64 | 125 | 216 | 343 | 512 | 729 | |
1 | 1000 | 1 331 | 1 728 | 2 197 | 2 744 | 3 375 | 4 096 | 4 913 | 5 832 | 6 859 |
2 | 8000 | 9 261 | 10 648 | 12 167 | 13 824 | 15 625 | 17 576 | 19 683 | 21 952 | 24 389 |
3 | 27000 | 29 791 | 32 768 | 35 937 | 39 304 | 42 875 | 46 656 | 50 653 | 54 872 | 59 319 |
4 | 64000 | 68 921 | 74 088 | 79 507 | 85 184 | 91 125 | 97 336 | 103 823 | 110 592 | 117 649 |
5 | 125000 | 132 651 | 140 608 | 148 877 | 157 464 | 166 375 | 175 616 | 185 193 | 195 112 | 205 379 |
6 | 216000 | 226 981 | 238 328 | 250 047 | 262 144 | 274 625 | 287 496 | 300 763 | 314 432 | 328 509 |
7 | 343000 | 357 911 | 373 248 | 389 017 | 405 224 | 421 875 | 438 976 | 456 533 | 474 552 | 493 039 |
8 | 512000 | 531 441 | 551 368 | 571 787 | 592 704 | 614 125 | 636 056 | 658 503 | 681 472 | 704 969 |
729000 | 753 571 | 778 688 | 804 357 | 830 584 | 857 375 | 884 736 | 912 673 | 941 192 | 970 299 |
Принцип функционирования таких таблиц прост, однако их часто нет под рукой, что значительно усложняет процесс извлечение корня, поэтому необходимо владеть минимум несколькими способами извлечения корней.
Навигация по записям
Предыдущая статьяВ сочетании с: «В сочетании» или «в сочетание» как пишется? Есть простое правило!Следующая статья Формула площадь грани куба: Как найти площадь грани куба 🚩 сторона грани куба ответ 🚩 Математика