Калькулятор разности арифметической прогрессии онлайн

Арифметическая прогрессия коротко о главном

Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность, в которой разница между соседними числами одинакова и равна \( \displaystyle d\).

Например:

• \( {{a}_{1}}=3\)
• \( \displaystyle {{a}_{2}}=3+d=7~\Rightarrow d=7-3=4\)
• \( \displaystyle {{a}_{3}}=7+4=11\) и т.д.

Арифметическая прогрессия бывает возрастающей (\( \displaystyle d>0\)) и убывающей (\( \displaystyle d<0\)).

\( {{a}_{n}}={{a}_{1}}+d\left( n-1 \right)\) , где \( \displaystyle n\)– количество чисел в прогрессии.

\( {{\text{a}}_{\text{n}}}=\frac{{{\text{a}}_{\text{n}+1}}+{{\text{a}}_{\text{n}-1}}}{2}\) — где \( \displaystyle n\) – количество чисел в прогрессии.

1-й способ: \( {{S}_{n}}=\frac{\left( {{a}_{1}}+{{a}_{n}} \right)\cdot n}{2}\), где \( \displaystyle n\) – количество значений.

2-й способ: \( \displaystyle {{s}_{n}}=\frac{2{{a}_{1}}+d\left( n-1 \right)}{2}\cdot n\), где \( \displaystyle n\) – количество значений.

Видео

Свойство арифметической прогрессии

Переведем с языка формул на русский: каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов. Что как раз объясняет название «арифметическая» прогрессия.

Как найти разность арифметической прогрессии: формулы и примеры решений

Многие слышали об арифметической прогрессии, но не все хорошо представляют, что это такое. В данной статье дадим соответствующее определение, а также рассмотрим вопрос, как найти разность прогрессии арифметической, и приведем ряд примеров.

Математическое определение

Итак, если речь идет о прогрессии арифметической или алгебраической (эти понятия определяют одно и то же), то это означает, что имеется некоторый числовой ряд, удовлетворяющий следующему закону: каждые два соседних числа в ряду отличаются на одно и то же значение. Математически это записывается так:

a_{n + 1}-a_n = d

Здесь n означает номер элемента a_n в последовательности, а число d — это разность прогрессии (ее название следует из представленной формулы).

О чем говорит знание разности d? О том, как «далеко» друг от друга отстоят соседние числа. Однако знание d является необходимым, но не достаточным условием для определения (восстановления) всей прогрессии. Необходимо знать еще одно число, которым может быть совершенно любой элемент рассматриваемого ряда, например, a₄, a10, но, как правило, используют первое число, то есть a₁.

Формулы для определения элементов прогрессии

В общем, информации выше уже достаточно, чтобы переходить к решению конкретных задач. Тем не менее до того, как будет дана прогрессия арифметическая, и найти разность ее будет необходимо, приведем пару полезных формул, облегчив тем самым последующий процесс решения задач.

Несложно показать, что любой элемент последовательности с номером n может быть найден следующим образом:

a_n = a₁ + (n — 1) * d

Действительно, проверить эту формулу может каждый простым перебором: если подставить n = 1, то получится первый элемент, если подставить n = 2, тогда выражение выдает сумму первого числа и разности, и так далее.

Условия многих задач составляются таким образом, что по известной паре чисел, номера которых в последовательности также даны, необходимо восстановить весь числовой ряд (найти разность и первый элемент). Сейчас мы решим эту задачу в общем виде.

Итак, пусть даны два элемента с номерами n и m. Пользуясь полученной выше формулой, можно составить систему из двух уравнений:

a_n = a₁ + (n — 1) * d;

a_m = a₁ + (m — 1) * d

Для нахождения неизвестных величин воспользуемся известным простым приемом решения такой системы: вычтем попарно левую и правую части, равенство при этом останется справедливым. Имеем:

a_n = a₁ + (n — 1) * d;

a_n — a_m = (n — 1) * d — (m — 1) * d = d * (n — m)

Таким образом, мы исключили одну неизвестную (a₁). Теперь можно записать окончательное выражение для определения d:

d = (a_n — a_m) / (n — m), где n > m

Мы получили очень простую формулу: чтобы вычислить разность d в соответствии с условиями задачи, необходимо лишь взять отношение разностей самих элементов и их порядковых номеров. Следует обратить на один важный момент внимание: разности берутся между «старшим» и «младшим» членами, то есть n > m («старший» — имеется в виду стоящий дальше от начала последовательности, его абсолютное значение может быть как больше, так и меньше более «младшего» элемента).

Выражение для разности d прогрессии следует подставить в любое из уравнений в начале решения задачи, чтобы получить значение первого члена.

Далее в статье приведем примеры решения задач на вычисления d и на восстановление числового ряда алгебраической прогрессии. Здесь же хотелось бы отметить один важный момент.

В наш век развития компьютерных технологий многие школьники стараются найти решения для своих заданий в Интернете, поэтому часто возникают вопросы такого типа: найти разность арифметической прогрессии онлайн. По подобному запросу поисковик выдаст ряд web-страниц, перейдя на которые, нужно будет ввести известные из условия данные (это могут быть как два члена прогрессии, так и сумма некоторого их числа) и моментально получить ответ. Тем не менее такой подход к решению задачи является непродуктивным в плане развития школьника и понимания сути поставленной перед ним задачи.

Рекомендуется по указанным причинам самостоятельно решать подобные задачи. Кроме того, они не являются сложными.

Решение без использования формул

Решим первую задачу, при этом не будем использовать никакие из приведенных формул. Пусть даны элементы ряда: а6 = 3, а9 = 18. Найти разность прогрессии арифметической.

Известные элементы стоят близко друг к другу в ряду. Сколько раз нужно добавить разность d к наименьшему, чтобы получить наибольшее из них? Три раза (первый раз добавив d, мы получим 7-й элемент, второй раз — восьмой, наконец, третий раз — девятый). Какое число нужно добавить к трем три раза, чтобы получить 18? Это число пять. Действительно:

3 + 5 + 5 + 5 = 18

Таким образом, неизвестная разность d = 5.

Конечно же, решение можно было выполнить с применением соответствующей формулы, но этого не было сделано намеренно. Подробное объяснение решения задачи должно стать понятным и ярким примером, что такое арифметическая прогрессия.

Задача, подобная предыдущей

Теперь решим похожую задачу, но изменим входные данные. Итак, следует найти разность прогрессии арифметической, если а3 = 2, а9 = 19.

Конечно, можно прибегнуть снова к методу решения «в лоб». Но поскольку даны элементы ряда, которые стоят относительно далеко друг от друга, такой метод станет не совсем удобным. А вот использование полученной формулы быстро приведет нас к ответу:

d = (а₉ — а₃) / (9 — 3) = (19 — 2) / (6) = 17 / 6 ≈ 2,83

Здесь мы округлили конечное число. Насколько это округление привело к ошибке, можно судить, проверив полученный результат:

a₉ = a₃ + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 = 18,98

Этот результат отличается всего на 0,1 % от значения, данного в условии. Поэтому использованное округление до сотых можно считать успешным выбором.

Задачи на применение формулы для an члена

Рассмотрим классический пример задачи на определение неизвестной d: найти разность прогрессии арифметической, если а1 = 12, а5 = 40.

Когда даны два числа неизвестной алгебраической последовательности, причем одним из них является элемент a₁, тогда не нужно долго думать, а следует сразу же применить формулу для a_n члена. В данном случае имеем:

a₅ = a₁ + d * (5 — 1) => d = (a₅ — a₁) / 4 = (40 — 12) / 4 = 7

Мы получили точное число при делении, поэтому нет смысла проверять точность рассчитанного результата, как это было сделано в предыдущем пункте.

Решим еще одну аналогичную задачу: следует найти разность арифметической прогрессии, если а1 = 16, а8 = 37.

Используем аналогичный предыдущему подход и получаем:

a₈ = a₁ + d * (8 — 1) => d = (a₈ — a₁) / 7 = (37 — 16) / 7 = 3

Что еще следует знать о прогрессии арифметической

Помимо задач на нахождение неизвестной разности или отдельных элементов, часто необходимо решать проблемы суммы первых членов последовательности. Рассмотрение этих задач выходит за рамки темы статьи, тем не менее для полноты информации приведем общую формулу для суммы n чисел ряда:

∑ⁿ_{i = 1}(a_i) = n * (a₁ + a_n) / 2

Решение без использования формул

Решим первую задачу, при этом не будем использовать никакие из приведенных формул. Пусть даны элементы ряда: а6 = 3, а9 = 18. Найти разность прогрессии арифметической.

Известные элементы стоят близко друг к другу в ряду. Сколько раз нужно добавить разность d к наименьшему, чтобы получить наибольшее из них? Три раза (первый раз добавив d, мы получим 7-й элемент, второй раз — восьмой, наконец, третий раз — девятый). Какое число нужно добавить к трем три раза, чтобы получить 18? Это число пять. Действительно:

3 + 5 + 5 + 5 = 18

Таким образом, неизвестная разность d = 5.

Конечно же, решение можно было выполнить с применением соответствующей формулы, но этого не было сделано намеренно. Подробное объяснение решения задачи должно стать понятным и ярким примером, что такое арифметическая прогрессия.

разность прогрессии это Что такое разность прогрессии?

разность прогрессии

Mathematics: arithmetical ratio

Универсальный русско-английский словарь. . 2011.

• разность при нормальными приращениями времени
• разность прямых восхождений

Смотреть что такое «разность прогрессии» в других словарях:

• РАЗНОСТЬ — (1) потенциалов (напряжение (см. (2))) количественная характеристика электрического поля неподвижных электрических зарядов () между двумя его точками, равная работе электрического поля по перемещению единичного положительного заряда из одной… …   Большая политехническая энциклопедия

• Арифметические прогрессии из простых чисел — Несколько простых чисел могут быть членами арифметической прогресии. Все последовательности простых чисел, являющихся строго последовательными элементами некоторой арифметической прогрессии, конечны, однако существуют сколь угодно длинные такие… …   Википедия

• Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии

  — У этого термина существуют и другие значения, см. Теорема Дирихле. Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии гласит: Каждая арифметическая прогрессия, первый член и разность которой  натуральные взаимно простые числа,… …   Википедия

• Арифметическая прогрессия — У этого термина существуют и другие значения, см. Прогрессия. Арифметическая прогрессия  числовая последовательность вида , то есть последовательность чисел (членов прогрессии), каждое из которых, начиная со второго, получается из… …   Википедия

• Чисел теория —         наука о целых числах. Понятие целого числа (См. Число), а также арифметических операций над числами известно с древних времён и является одной из первых математических абстракций.          Особое место среди целых чисел, т. е. чисел…, 3 …   Большая советская энциклопедия

• ИНТЕРПОЛЯЦИЯ — (interpolatio), пополнение эмпйрич. ряда значений какой либо величины недостающими промежуточными значениями ее. Интерполирование может быть произведено тремя способами: математич., графич. и логическим. В основе их лежит общая им гипотеза о том …   Большая медицинская энциклопедия

• Норфолк Иоанн — английский математик. Жил в первой половине XV в., т. е. в эпоху сравнительного упадка занятий математикой в Англии. В настоящее время известны читанные им в 1445 г. лекции о прогрессиях. Приписывая сохранение сведений об этих последних в Европе… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

• Норфольк Иоанн — английский математик. Жил в первой половине XV в., т. е. в эпоху сравнительного упадка занятий математикой в Англии. В настоящее время известны читанные им в 1445 г. лекции о прогрессиях. Приписывая сохранение сведений об этих последних в Европе… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

• ПРОГРЕССИЯ — последовательность чисел, получаемых по некоторому правилу. Термин ныне во многом устарел и встречается только в сочетаниях арифметическая прогрессия и геометрическая прогрессия . Арифметическая прогрессия это последовательность чисел, в которой… …   Энциклопедия Кольера

• РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ — раздел теории чисел, в к ром изучаются закономерности распределения простых чисел (п. ч.) среди натуральных чисел. Центральной является проблема наилучшего асимптотич. выражения при функции p(х), обозначающей число п. ч., не превосходящих х, а… …   Математическая энциклопедия

• Арифметика — Ганс Себальд Бехам. Арифметика. XVI век Арифметика (др. греч. ἀ …   Википедия

Геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия — это последовательность (b_n), в которой каждый последующий член можно найти, если предыдущий член умножить на одно и то же число q.

Если последовательность (b_n) является геометрической прогрессией, то для любого натурального значения n справедлива зависимость:

bn+1 = bn * q, где q — знаменатель геометрической прогрессии

Если в геометрической прогрессии (b_n) известен первый член b₁ и знаменатель q, то можно найти любой член прогрессии:

• b₂ = b₁ * q;
• b₃ = b₂ * q = b₁ * q * q = b₁ * q²;
• b₄ = b₁ * q³;
• и т. д.

Общий член геометрической прогрессии bn можно вычислить при помощи формулы:

b_n = b₁ * qⁿ⁻¹, где n — порядковый номер члена прогрессии, b₁ — первый член прогрессии, q — знаменатель.

Пример 1. 2, 6, 18, 54,… — геометрическая прогрессия b = 2, q = 3.

Пример 2. 3, -3, 3, -3,… — геометрическая прогрессия b = 3, q = -1.

Пример 3. 7, 7, 7, 7,… — геометрическая прогрессия b = 7, q = 1.

Теги