Содержание материала
- Понятие алгебраической дроби
- Видео
- Алгебраические дроби и их решение
- Умножение и деление дробей
- Сложение и вычитание дробей
- Наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК)
- Более сложные случаи сложения и вычитания дробей
- Сложные дроби
- Все действия с дробями. Расположенные многочлены в числителе и знаменателе дроби. Выделение целой части из неправильной дроби
Понятие алгебраической дроби
Начнем с определения. Под алгебраической дробью понимается выражения P/Q, где P является числителем, а Q – знаменателем. Под буквенной записью может скрываться число, числовое выражение, численно-буквенное выражение.
Прежде чем задаваться вопросом, как решать алгебраические дроби, для начала нужно понимать, что подобное выражение – часть целого.
Как правило, целое – это 1. Число в знаменателе показывает, на сколько частей разделили единицу. Числитель необходим для того, чтобы узнать, сколько элементов взято. Дробная черта соответствует знаку деления. Допускается запись дробного выражения в качестве математической операции «Деление». В таком случае числитель – делимое, знаменатель – делитель.
Алгебраические дроби и их решение
Если алгебраическое выражение, составленное из букв и чисел, содержит, кроме трех первых действий— сложения, вычитания и умножения, — также еще и деление (на буквенное выражение), то такое выражение называют дробным. Примером могут служить выражения: ,
,
,
,
,
.
Если последнее действие, указываемое выражением, есть деление, то такое выражение называется просто «дробью (алгебраической дробью). При этом, если, кроме этого последнего действия, делений больше производить не нужно, дробь называется простой, в противном случае — сложной. Так, среди предыдущих примеров только последний нельзя назвать дробью (это сумма двух дробей); предпоследний есть сложная дробь, четыре предыдущих — простые дроби.
К сложным дробям мы обратимся несколько позднее; сначала же будем заниматься только простыми.
Простая алгебраическая дробь есть отношение двух целых алгебраических выражений, являющихся числителем и знаменателем дроби.
Мы знаем, что существует число, которое ни в коем случае не может быть знаменателем дроби: это — нуль; поэтому, если знаменатель про стой алгебраической дроби оказывается тождественное равным нулю, то сама дробь не имеет смысла ни при каких значениях входящих букв. Примером служит дробь . Очень часто встречается другой случай, когда знаменатель дроби тождественно не равен нулю, однако обращается в нуль при некоторых значениях входящих букв. При этих значениях букв дробь «теряет смысл» — не имеет никакого числового значения. По этому, написав дробь, всегда подразумевают, что числовые значения, придаваемые входящим буквам, таковы, что не обращают знаменатель в нуль.
Иногда это отмечают и в явной форме: например, .
В дальнейшем, говоря о данной дроби, мы всегда будем подразумевать, что буквам даются лишь такие значения, которые не обращают знаменатель в нуль. Что касается числителя дроби, то исключать из рассмотрения те случаи, когда он обращается в нуль, излишне. Напомним, что если числитель дроби равен нулю, то и сама дробь равна нулю. Обратно, если дробь равна нулю, то непременно числитель равен нулю. Итак, простая алгебраическая дробь обращается в нуль при тех и только при тех значениях входящих букв, при которых ее числитель обращается в нуль.
Из арифметики отлично известно основное свойство дроби (частного); дробь (частное) не изменяется, если числитель (делимое) и знаменатель (делитель) умножить или разделить на одно и то же число . Например, дробь
не изменяется, если ее числитель и знаменатель умножить или разделить на
:
.
Число может также быть дробным: если, допустим,
равно
,то умножить на
— значит сначала умножить на
и затем разделить на
. Оно может быть и отрицательным: при умножении числителя и знаменателя на отрицательное число знаки числителя и знаменателя меняются, а знак дроби остается неизменным. Оно не может быть только равным нулю: понятно — почему.
В виде формулы основное свойство дроби записывается следующим образом: (1).
Основное свойство дроби можно выразить следующими словами; если некоторое выражение входит множителем в числитель и в знаменатель алгебраической дроби, то при условии, что оно не равно нулю, можно на него «сократить» данную дробь: значение дроби при этом не меняется. И, напротив, можно умножить числитель и знаменатель алгебраической дроби на произвольное выражение при условии, что оно не обращается в нуль.
Примечание:
Равенство (1), выражающее основное свойство дроби, считается тождеством, несмотря на то, что его левая часть теряет смысл при , и на то, что обе его части теряют смысл при
.
Вообще за равенством двух алгебраических выражений принято сохранять наименование тождества и в том случае, если одно из этих выражений или оба теряют смысл при некоторых исключительных значениях входящих букв. Такое расширенное понимание тождества, между прочим, позволяет относить сокращение дроби на буквенное выражение к числу тождественных преобразований.
Руководствуясь основным свойством дроби, можно сокращать алгебраическую дробь (как и арифметическую) на буквенные или числовые множители, входящие одновременно в ее числитель и в ее знаменатель.
Если таких множителей нет, дробь называют несократимой.
Например, дробь можно сократить на
:
.
Левая и правая часть равенства тождественно равны (хотя левая теряет смысл при , и обе — при
).
Мы переходим дальше к изучению действий над алгебраическими дробями — сложения, вычитания, умножения и деления. Выполнить одно из этих действий над данными простыми дробями — значит не только соединить эти дроби соответственным знаком, но также и произвести над полученным выражением тождественные преобразования, целью которых является представить это выражение в виде простой дроби (или целого выражения). Производя действия над дробями, стараются вместе с тем сокращать дробь на общие множители числителя и знаменателя.
При изучении действий над дробями мы начнем с более легких — умножения и деления, а затем перейдем к более трудным — сложению и вычитанию. Те случаи, когда какие-нибудь из данных выражений оказываются целыми, мы не будем рассматривать отдельно, так как всякое целое выражение можно представить в виде дробного, именно, подписывая под ним в качестве знаменателя единицу.
Умножение и деление дробей
Правило умножения арифметических дробей выражается формулой: (*) и словами может быть прочитано следующим образом: произведение двух дробей равно дроби, у которой числитель равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей.
Написанная выше формула справедлива не только в том случае, если входящие буквы имеют целые положительные значения, но и в том случае, если эти значения — дробные; она справедлива также и в том случае, если некоторые из входящих букв имеют отрицательные значения. Значение нуль, конечно, исключено для знаменателей, но не исключено для числителей.
Но раз равенство (*) имеет место при всех значениях входящих букв (кроме тех исключительных, при которых знаменатели дробей обращаются в нуль), то оно является тождеством.
Таким образом, правило умножения алгебраических дробей выражается той же формулой и формулируется теми же словами, что и правило умножения арифметических дробей.
В алгебре вместо того, чтобы вычесть некоторое число, можно прибавить число, противоположное по знаку: .
Таким же образом вместо того, чтобы разделить на некоторое число (не равное нулю), достаточно умножить на величину, обратную этому числу: .
Действительно, следуя правилу умножения, мы получаем: .
Так как величина, обратная дроби есть дробь
, то правило деления дроби на дробь (подобное арифметическому) дается формулой:
(2).
Чтобы разделить на дробь, достаточно умножить на величину, ей обратную («разделить на числитель и умножить на знаменатель).
Сложение и вычитание дробей
Сложить две алгебраические дроби означает — представить их сумму в виде одной алгебраической дроби; то же — для вычитания.
Если данные дроби имеют один и тот же знаменатель, то, чтобы сложить их — в алгебре, как и в арифметике, — достаточно составить дробь с тем же знаменателем и с числителем, равным сумме числителей: .
Это — распределительный закон деления, справедливый при любом , не равном нулю.
Если же складываемые дроби имеют различные знаменатели, то в алгебре, как и в арифметике, необходимо предварительно привести дроби к общему знаменателю. При этом пользуются основным свойством дроби — основным тождеством (*) , в котором мы теперь поменяем местами правую и левую части: .
Желая сложить две дроби и
, мы всегда можем умножить числитель и знаменатель первой дроби на
, а числитель и знаменатель второй — на
. и тогда получим:
, дальше достаточно сложить числители:
. Итак, мы получаем тождество:
(3).
Подобным же образом, ссылаясь на распределительный закон деления и на основное свойство дроби, выведите общую формулу вычитания дробей: (4).
При действиях с дробями часто приходится пользоваться важным частным случаем основного свойства дроби (*) именно, тем случаем, когда
равно
. В этом случае мы получаем:
.
Таким образом, значение дроби не меняется при одновременном изменении знаков числителя и знаменателя.
Так как , то можно заключить: при изменении знака только числителя или только знаменателя знак дроби меняется.
Отсюда следует: если мы меняем знак знаменателя, то, чтобы значение дроби не изменилось, достаточно еще изменить знак, или числителя или самой дроби; если мы меняем знак числителя, то, чтобы значение дроби не изменилось, достаточно еще изменить знак или знаменателя или самой дроби. Например,.
Наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК)
В арифметике указывается правило для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) и наименьшего общего кратного (НОК) нескольких целых чисел.
Пусть даны числа ,
и
. Разложим их на простые множители:
,
,
.
Составим новое число из данных чисел следующим образом: возьмем каждый встречающийся множитель в наименьшей из степеней, в которых он встречается, и затем перемножим: .
Полученное число есть НОД данных чисел: частные от деления этих чисел на
уже не имеют общих делителей, отличных от
.
Составим другое число из данных чисел, отбирая каждый встречающийся множитель в наибольшей из степеней, в которых он встречается, и перемножая: . Полученное число
есть НОК данных чисел; частные от деления числа
на эти числа уже не имеют общих делителей, отличных от
.
Таким же образом можно составлять НОД и НОК алгебраических одночленных выражений с целыми коэффициентами, обращаясь при этом с буквами как с целыми числами (хотя буквы могут иметь какие угодно, в том числе и дробные, значения). Так, если даны выражения ,
и
, то их наибольший общий делитель равен
, а их наименьшее общее кратное равно
. После деления данных выражений на их НОД получаются частные
,
,
, уже не имеющие общих множителей. После деления НОК на данные числа получаются частные
,
и
, также не имеющие общих множителей.
Наибольший общий делитель двух чисел может быть полезен в арифметике при сокращении дробей: найдя НОД числителя и знаменателя и сократив на него, мы сразу получаем несократимую дробь. При этом нахождение НОД стоит некоторого труда, так как не всегда очевидно с первого взгляда, каковы простые множите ли данного числа и в каких степенях они входят.
В алгебре же такого рода применение НОД излишне, так как буквенные множители выписываются явно.
Если, например, дана дробь то НОД числителя и знаменателя равен
; сокращая на него, получим
. Но и без наибольшего общего делителя можно сократить сначала, например, на
, потом на
.
Зато в алгебре НОД приносит больше пользы при вынесении за скобку общих множителей много членных выражений. Пусть дано выражение .
Мы видим сразу, что НОД всех членов равен , и, вынося его за скобку, получаем:
.
Что касается наименьшего общего кратного, то мы увидим дальше, что в алгебре, как и в арифметике, оно позволяет значительно упрощать записи при сложении и вычитании дробей.
Более сложные случаи сложения и вычитания дробей
При сложении и вычитании дробей удобно пользоваться приемом составления общего знаменателя посредством перемножения знаменателей данных дробей только в том случае, если каждые два, попарно взятые, знаменателя не имеют общих — ни буквенных, ни числовых — множителей. В других случаях употребление этого приема, хотя и дает верный результат, однако, ни коим образом не может быть рекомендовано, так как ведет к лишним записям и потере времени. Общее правило таково: в качестве общего знаменателя нескольких дробей следует брать НОК знаменателей всех данных дробей. Предварительно необходимо каждый знаменатель представить как про изведение отдельных множителей; в частности, если данный знаменатель — многочлен, нужно общие числовые и буквенные множители его членов выносить за скобку. Если встречаются многочленные множители, отличающиеся только знаком, то знак нужно менять, пользуясь уже известными приемами.
После того как общий знаменатель найден, необходимо выяснить, на какой один и тот же «дополнительный множитель» придется умножить знаменатель и числитель каждой дроби для того, чтобы ее знаменатель стал равным выбранному общему знаменателю.
Дальше, раз уже дроби приведены к общему знаменателю, сделать сложение или вычитание не представляет труда.
Пример:
Произведение знаменателей равно . Однако есть возможность в качестве общего знаменателя взять более простое выражение, именно НОК знаменателей, равное
. Дополнительным множителем для первой дроби является
, для второй
, для третьей
:
,
,
.
Итак,
Пример:
.
HOK знаменателей равно . Для первой дроби дополнительный множитель равен
, для второй
. Итак,
.
Пример:
Принимая во внимание, что и что
, мы можем переписать данное выражение в следующем виде:
.
Теперь ясно, что наименьшее общее кратное знаменателей равно . Дополнительные множители трех дробей соответственно равны
,
и
. Итак, мы получаем сумму
или же, после упрощений в числителе и сокращения на
,
.
Сложные дроби
Если приходится выполнять деление над выражениями, уже содержащими дроби, то, записывая частное в виде дроби (с чертой), мы получаем сложную дробь. Для облегчения записи в таких случаях иногда пользуются знаком двоеточия, но смысл получаемого от этого, конечно, не изменяется. Например, если требуется разделить на
, то результат можно записать в виде
или
.
Сложную дробь всегда можно преобразовать в простую. Для этого достаточно выполнить все действия в том порядке, как они указаны: сначала числитель и знаменатель сложной дроби записать в виде простых дробей и затем разделить дробь на дробь, согласно правилу деления. Так, в нашем примере мы получим:
Однако такой способ преобразования сложной дроби в простую практически менее удобен, чем следующий. Пользуясь основным свойством дроби, умножим в нашем примере числитель и знаменатель на ; тогда получим прежний результат:
.
В качестве множителя, на который умножаются и числитель и знаменатель данной сложной дроби, следует, конечно, выбирать НОК знаменателей всех дробей, содержащихся в числителе и знаменателе данной дроби.
Всякое дробное алгебраическое выражение содержит лишь конечное число делений. Поэтому, сколько бы ни было «этажей» о сложной дроби, такую дробь всегда можно преобразовать в простую, постепенно уничтожая «этажи». Отсюда следует, что дробное алгебраическое выражение всегда может быте представлено в виде отношения двух целых алгебраических выражений.
Все действия с дробями. Расположенные многочлены в числителе и знаменателе дроби. Выделение целой части из неправильной дроби
Выполняя указанные действия над данными, простыми или сложными, алгебраическими дробями, мы получаем в результате простую алгебраическую дробь.
Если числители и знаменатели данных дробей — многочлены, расположенные по степеням одной и той же буквы, то числитель и знаменатель дроби, получающейся в результате выполнения действий, также представляются в виде многочленов, расположенных по степеням той же буквы.
После этого, если удастся в числителе и знамена теле обнаружить общие множители, на них следует сокращать полученную дробь.
Простая дробь, у которой числитель и знаменатель — многочлены, расположенные по степеням одной и той же буквы, называется: правильной, если степень числителя меньше, чем степень знаменателя; неправильной, если степень числителя больше или равна степени знаменателя.
Если дробь — неправильная, то ее всегда можно представить в виде суммы многочлена и правильной дроби. Это делается посредством деления числителя на знаменатель.
Неправильная дробь равна сумме: 1) частного, получающегося при делении числителя на знаменатель, и 2) правильной дроби, у которой числитель равен остатку при этом делении, а знаменатель — знаменателю данной дроби.
Например, деля многочлен на двучлен
, получаем:
; значит,
.
Описанное выше преобразование напоминает выделение целой части из неправильной арифметической дроби; сравните хотя бы с таким примером:
По указанной причине это преобразование называется выделением целой части из неправильной алгебраической дроби.