Как решать алгебраические дроби? Теория и практика

Понятие алгебраической дроби

Начнем с определения. Под алгебраической дробью понимается выражения P/Q, где P является числителем, а Q – знаменателем. Под буквенной записью может скрываться число, числовое выражение, численно-буквенное выражение.

Прежде чем задаваться вопросом, как решать алгебраические дроби, для начала нужно понимать, что подобное выражение – часть целого.

Как правило, целое – это 1. Число в знаменателе показывает, на сколько частей разделили единицу. Числитель необходим для того, чтобы узнать, сколько элементов взято. Дробная черта соответствует знаку деления. Допускается запись дробного выражения в качестве математической операции «Деление». В таком случае числитель – делимое, знаменатель – делитель.

Алгебраические дроби и их решение

Если алгебраическое выражение, составленное из букв и чисел, содержит, кроме трех первых действий— сложения, вычитания и умножения, — также еще и деле­ние (на буквенное выражение), то такое выражение называют дробным. Примером могут служить выражения: , , , , , .

Если последнее действие, указываемое выражением, есть деление, то такое выражение называется просто «дробью (алгебраической дробью). При этом, если, кроме этого последнего действия, делений больше производить не нужно, дробь называется простой, в противном случае — сложной. Так, среди преды­дущих примеров только последний нельзя назвать дробью (это сумма двух дробей); предпоследний есть сложная дробь, четыре предыдущих — простые дроби.

К сложным дробям мы обратимся несколько позднее; сначала же будем заниматься только простыми.

Простая алгебраическая дробь есть отношение двух целых алгебраических выражений, являющихся числи­телем и знаменателем дроби.

Мы знаем, что существует число, которое ни в коем случае не может быть знаменателем дроби: это — нуль; поэтому, если знаменатель про­ стой алгебраической дроби оказывается тождественное равным нулю, то сама дробь не имеет смысла ни при каких значениях входящих букв. Примером служит дробь . Очень часто встречается другой случай, когда знаменатель дроби тождественно не равен нулю, однако обращается в нуль при некоторых значениях входя­щих букв. При этих значениях букв дробь «теряет смысл» — не имеет никакого числового значения. По­ этому, написав дробь, всегда подразумевают, что числовые значения, придаваемые входящим буквам, таковы, что не обращают знаменатель в нуль.

Иногда это отмечают и в явной форме: например, .

В дальнейшем, говоря о данной дроби, мы всегда будем подразумевать, что буквам даются лишь такие значения, которые не обращают знаменатель в нуль. Что касается числителя дроби, то исключать из рассмотрения те случаи, когда он обращается в нуль, излишне. Напомним, что если числитель дроби равен нулю, то и сама дробь равна нулю. Обратно, если дробь равна нулю, то непременно числитель равен нулю. Итак, простая алгебраическая дробь обращается в нуль при тех и только при тех значениях входящих букв, при которых ее числитель обращается в нуль.

Из арифметики отлично известно основное свойство дроби (частного); дробь (частное) не изменяется, если числитель (делимое) и знаменатель (де­литель) умножить или разделить на одно и то же число . Например, дробь не изменяется, если ее числитель и знаменатель умножить или разделить на : .

Число может также быть дробным: если, допустим, равно ,то умножить на — значит сначала умножить на и затем разделить на . Оно может быть и отрицательным: при умножении числителя и зна­менателя на отрицательное число знаки числителя и знаменателя меняются, а знак дроби остается неиз­менным. Оно не может быть только равным нулю: понятно — почему.

В виде формулы основное свойство дроби записы­вается следующим образом: (1).

Основное свойство дроби можно выразить следую­щими словами; если некоторое выражение входит множителем в числитель и в знаменатель алгебраи­ческой дроби, то при условии, что оно не равно нулю, можно на него «сократить» данную дробь: значение дроби при этом не меняется. И, напротив, можно умножить числитель и знаменатель алгебраической дроби на произвольное выражение при условии, что оно не обращается в нуль.

Примечание:

Равенство (1), выражающее основное свойство дроби, считается тождеством, несмотря на то, что его левая часть теряет смысл при , и на то, что обе его части теряют смысл при .

Вообще за равенством двух алгебраических выражений при­нято сохранять наименование тождества и в том случае, если одно из этих выражений или оба теряют смысл при некото­рых исключительных значениях входящих букв. Такое расширен­ное понимание тождества, между прочим, позволяет относить сокращение дроби на буквенное выражение к числу тождествен­ных преобразований.

Руководствуясь основным свойством дроби, можно сокращать алгебраическую дробь (как и арифметиче­скую) на буквенные или числовые множители, входя­щие одновременно в ее числитель и в ее знаменатель.

Если таких множителей нет, дробь называют несократимой.

Например, дробь можно сократить на : .

Левая и правая часть равенства тождественно равны (хотя левая теряет смысл при , и обе — при ).

Мы переходим дальше к изучению действий над алгебраическими дробями — сложения, вычитания, умножения и деления. Выполнить одно из этих действий над данными простыми дробями — значит не только соединить эти дроби соответственным знаком, но также и произвести над полученным выражением тождественные преобразования, целью которых являет­ся представить это выражение в виде простой дроби (или целого выражения). Производя действия над дробями, стараются вместе с тем сокра­щать дробь на общие множители числителя и знаме­нателя.

При изучении действий над дробями мы начнем с более легких — умножения и деления, а затем перейдем к более трудным — сложению и вычита­нию. Те случаи, когда какие-нибудь из данных выраже­ний оказываются целыми, мы не будем рассматривать отдельно, так как всякое целое выражение можно представить в виде дробного, именно, подписывая под ним в качестве знаменателя единицу.

Умножение и деление дробей

Правило умножения арифметических дробей выражается формулой: (*) и словами может быть прочитано следующим образом: произведение двух дробей равно дроби, у которой числи­тель равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей.

Написанная выше формула справедлива не только в том случае, если входящие буквы имеют целые положительные значения, но и в том случае, если эти зна­чения — дробные; она справедлива также и в том слу­чае, если некоторые из входящих букв имеют отрица­тельные значения. Значение нуль, конечно, исключено для знаменателей, но не исключено для числителей.

Но раз равенство (*) имеет место при всех значе­ниях входящих букв (кроме тех исключительных, при которых знаменатели дробей обращаются в нуль), то оно является тождеством.

Таким образом, правило умножения алгебраических дробей выражается той же формулой и формулируется теми же словами, что и правило умножения арифме­тических дробей.

В алгебре вместо того, чтобы вычесть некоторое число, можно прибавить число, противоположное по знаку: .

Таким же образом вместо того, чтобы разделить на некоторое число (не равное нулю), достаточно умножить на величину, обратную этому числу: .

Действительно, следуя правилу умножения, мы по­лучаем: .

Так как величина, обратная дроби есть дробь , то правило деления дроби на дробь (подобное арифметическому) дается формулой: (2).

Чтобы разделить на дробь, достаточно умножить на величину, ей обратную («разделить на числитель и умножить на знаменатель).

Сложение и вычитание дробей

Сложить две алгебраические дроби означает — пред­ставить их сумму в виде одной алгебраической дроби; то же — для вычитания.

Если данные дроби имеют один и тот же знамена­тель, то, чтобы сложить их — в алгебре, как и в ариф­метике, — достаточно составить дробь с тем же зна­менателем и с числителем, равным сумме числителей: .

Это — распределительный закон деления, справед­ливый при любом , не равном нулю.

Если же складываемые дроби имеют различные знаменатели, то в алгебре, как и в арифметике, необ­ходимо предварительно привести дроби к общему зна­менателю. При этом пользуются основным свойством дроби — основным тождеством (*) , в котором мы теперь поменяем местами правую и левую части: .

Желая сложить две дроби и , мы всегда можем умножить числитель и знаменатель первой дроби на , а числитель и знаменатель второй — на . и тогда получим: , дальше достаточно сложить числители: . Итак, мы получаем тождество: (3).

Подобным же образом, ссылаясь на распреде­лительный закон деления и на основное свойство дроби, выведите общую формулу вычитания дробей: (4).

При действиях с дробями часто приходится пользо­ваться важным частным случаем основного свойства дроби (*) именно, тем случаем, когда равно . В этом слу­чае мы получаем: .

Таким образом, значение дроби не меняется при одновременном изменении знаков числителя и знаме­нателя.

Так как , то можно заключить: при изменении знака только числителя или только знаменателя знак дроби ме­няется.

Отсюда следует: если мы меняем знак знаменате­ля, то, чтобы значение дроби не изменилось, достаточно еще изменить знак, или числителя или самой дроби; если мы меняем знак числителя, то, чтобы значение дроби не изменилось, достаточно еще изме­нить знак или знаменателя или самой дроби. Например,.

Наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК)

В арифметике указывается правило для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) и наименьшего общего кратного (НОК) нескольких целых чисел.

Пусть даны числа , и . Разложим их на простые множители: , , .

Составим новое число из данных чисел следующим образом: возьмем каждый встречающийся множитель в наименьшей из степеней, в которых он встре­чается, и затем перемножим: .

Полученное число есть НОД данных чисел: ча­стные от деления этих чисел на уже не имеют общих делителей, отличных от .

Составим другое число из данных чисел, отбирая каждый встречающийся множитель в наибольшей из степеней, в которых он встречается, и перемножая: . Полученное число есть НОК данных чисел; частные от деления числа на эти числа уже не имеют общих делителей, отличных от .

Таким же образом можно составлять НОД и НОК алгебраических одночленных выражений с целыми коэффициентами, обращаясь при этом с буквами как с це­лыми числами (хотя буквы могут иметь какие угодно, в том числе и дробные, значения). Так, если даны выражения , и , то их наибольший общий делитель равен , а их наи­меньшее общее кратное равно . После деления данных выражений на их НОД получаются частные , , , уже не имеющие общих множителей. После деления НОК на данные числа получаются частные , и , также не имеющие общих множителей.

Наибольший общий делитель двух чисел может быть полезен в арифметике при сокращении дробей: найдя НОД числителя и знаменателя и сократив на него, мы сразу получаем несократимую дробь. При этом нахож­дение НОД стоит некоторого труда, так как не всегда очевидно с первого взгляда, каковы простые множите­ ли данного числа и в каких степенях они входят.

В алгебре же такого рода применение НОД излишне, так как буквенные множители выписываются явно.

Если, например, дана дробь то НОД числителя и знаменателя равен ; сокращая на него, получим . Но и без наибольшего общего делителя можно сократить сначала, например, на , потом на .

Зато в алгебре НОД приносит больше пользы при вынесении за скобку общих множителей много­ членных выражений. Пусть дано выражение .

Мы видим сразу, что НОД всех членов равен , и, вынося его за скобку, получаем: .

Что касается наименьшего общего кратного, то мы увидим дальше, что в алгебре, как и в арифме­тике, оно позволяет значительно упрощать записи при сложении и вычитании дробей.

Более сложные случаи сложения и вычитания дробей

При сложении и вычитании дробей удобно пользо­ваться приемом составления общего знаменателя посредством перемножения знаменателей данных дро­бей только в том случае, если каждые два, попарно взятые, знаменателя не имеют общих — ни буквенных, ни числовых — множителей. В других случаях употреб­ление этого приема, хотя и дает верный результат, однако, ни коим образом не может быть рекомендовано, так как ведет к лишним записям и потере времени. Общее правило таково: в качестве общего знаменателя нескольких дробей следует брать НОК знаменателей всех данных дробей. Предварительно необходимо каждый знаменатель представить как про­ изведение отдельных множителей; в частности, если данный знаменатель — многочлен, нужно общие число­вые и буквенные множители его членов выносить за скобку. Если встречаются многочленные множители, отличающиеся только знаком, то знак нужно менять, пользуясь уже известными приемами.

После того как общий знаменатель найден, необхо­димо выяснить, на какой один и тот же «дополнитель­ный множитель» придется умножить знаменатель и числитель каждой дроби для того, чтобы ее знамена­тель стал равным выбранному общему знаменателю.

Дальше, раз уже дроби приведены к общему знамена­телю, сделать сложение или вычитание не представ­ляет труда.

Пример:

Произведение знаменателей равно . Однако есть возможность в качестве общего знаменателя взять более простое выражение, именно НОК знаме­нателей, равное . Дополнительным множителем для первой дроби является , для второй , для третьей : , , .

Итак,

Пример:

.

HOK знаменателей равно . Для первой дроби дополнительный множитель равен , для второй . Итак, .

Пример:

Принимая во внимание, что и что , мы можем переписать дан­ное выражение в следующем виде: .

Теперь ясно, что наименьшее общее кратное зна­менателей равно . Дополнительные мно­жители трех дробей соответственно равны , и . Итак, мы получаем сумму или же, после упрощений в числителе и сокращения на , .

Сложные дроби

Если приходится выполнять деление над выражениями, уже содержащими дроби, то, записывая частное в виде дроби (с чер­той), мы получаем сложную дробь. Для облегчения записи в таких случаях иногда пользуются знаком двоеточия, но смысл получаемого от этого, конечно, не изменяется. Например, если требуется разделить на , то результат можно записать в виде или .

Сложную дробь всегда можно преобразовать в простую. Для этого достаточно выполнить все действия в том порядке, как они указаны: сначала числитель и знаменатель сложной дроби записать в виде простых дробей и затем разделить дробь на дробь, согласно правилу деления. Так, в нашем примере мы получим:

Однако такой способ преобразования сложной дроби в простую практически менее удобен, чем следующий. Пользуясь основным свойством дроби, умножим в нашем примере числитель и знаменатель на ; тогда получим прежний результат: .

В качестве множителя, на который умножаются и числитель и знаменатель данной сложной дроби, следует, конечно, выбирать НОК знаменателей всех дробей, содержащихся в числителе и зна­менателе данной дроби.

Всякое дробное алгебраическое выражение содержит лишь ко­нечное число делений. Поэтому, сколько бы ни было «этажей» о сложной дроби, такую дробь всегда можно преобразовать в про­стую, постепенно уничтожая «этажи». Отсюда следует, что дробное алгебраическое выражение всегда может быте представлено в виде отношения двух целых алгебраических выражений.

Все действия с дробями. Расположенные многочлены в числителе и знаменателе дроби. Выделение целой части из неправильной дроби

Выполняя указанные действия над данными, про­стыми или сложными, алгебраическими дробями, мы получаем в результате простую алгебраическую дробь.

Если числители и знаменатели данных дробей — много­члены, расположенные по степеням одной и той же буквы, то числитель и знаменатель дроби, получающейся в результате выполнения действий, также представляют­ся в виде многочленов, расположенных по степе­ням той же буквы.

После этого, если удастся в числителе и знамена­ теле обнаружить общие множители, на них следует сокращать полученную дробь.

Простая дробь, у которой числитель и знаменатель — многочлены, расположенные по степеням одной и той же буквы, называется: правильной, если степень числителя меньше, чем степень знаменателя; неправильной, если степень числителя больше или равна степени знаменателя.

Если дробь — неправильная, то ее всегда можно представить в виде суммы многочлена и правильной дроби. Это делается посредством деления числителя на знаменатель.

Неправильная дробь равна сумме: 1) частного, по­лучающегося при делении числителя на знаменатель, и 2) правильной дроби, у которой числитель равен остатку при этом делении, а знаменатель — знамена­телю данной дроби.

Например, деля многочлен на двучлен , получаем: ; значит, .

Описанное выше преобразование напоминает выде­ление целой части из неправильной арифметической дроби; сравните хотя бы с таким примером:

По указанной причине это преобразование назы­вается выделением целой части из неправильной алгебраической дроби.

Видео

Теги