Как ⭐ найти высоту треугольника

Определение

Одной из таких характеристик является высота треугольника. Высота – это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к его противоположной стороне. Вершиной называют одну из трех точек, которые вместе с тремя отрезками составляют треугольник.

Определение высоты треугольника может звучать и так: высота – это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

Это определение звучит сложнее, но оно точнее отражает ситуацию. Дело в том, что в тупоугольном треугольнике не получится провести высоту внутри треугольника. Как видно на рисунке 1, высота в этом случае получается внешней. Кроме того, нестандартной ситуацией является построение высоты в прямоугольном треугольнике. В этом случае, две из трех высот треугольника будут проходить через катеты, а третья от вершины к гипотенузе.

Как правило, высоту треугольника обозначают буквой h. Также обозначается высота и в других фигурах.

Видео

Свойства равносторонней фигуры

При решении задач, связанных с нахождением высоты в равностороннем треугольнике, часто приходится использовать его свойства. Зная их, найти нужные параметры будет несложно. Тем более что все они связаны с главной особенностью фигуры — равенством его всех сторон.

Равностороннее тело с тремя углами обладает следующими особенностями:

• в нём все углы одинаковые и равны 60 градусов;
• середина пересечения отрезков, совпадающих с высотой, биссектрисой и медианой, является центром геометрического тела;
• радиус описанной окружности превышает радиус вписанной в 2 раза;
• в равностороннем треугольнике длины всех элементов выражаются через длину стороны.

Эти свойства очевидны. Если начертить треугольник с равными сторонами и вписать его в окружность, за центр можно принять точку O, при этом радиус описанного круга будет OK. Тогда линия, проведённая из неё к вершине, будет радиусом. Пусть конечная точка будет B. Но так как место пересечения является общим и для высот и медиан, из свойства последних можно сделать вывод, что в точке линия делится в отношении 2 к 1. Отсчёт следует вести с вершины треугольника. Значит: OB = 2 * OK.

Из основных формул, которые используются при вычислениях, в первую очередь нужно запомнить:

• радиус описанной окружности: R = (a * √3) / 3;‎
• диаметр вписанного круга: r = (a * √3) / 6;
• медиана: h = (a * √3) / 2;
• площадь: s = (a2 * √3) / 4;
• периметр: p = 3 * a.

Если рассмотреть треугольник ABC с проведённой высотой BN, можно утверждать, что грань АВ = ВС = АС = AN /2 = NC /2. Так как фигура ABN является копией BNC в зеркальном отражении, разделённые углы у вершины будут одинаковыми, а и их разворот составлять 30 градусов. Из этого следует, что угол A равен 60 градусам, значит, отрезок BN = AB * sin 60 = (AB * √3) / 2.

Зная длину медианы (высоты), вычислить другие параметры треугольника не составит труда. Например, периметр, P = 2 √3 * h; площадь — S = (h * 2) / √3.

При этом замечательным свойством является ещё и то, что ортоцентр одновременно будет в фигуре и центром тяжести (центроидом), поэтому точка пересечения высот и делит отрезок в отношении 2 к 1.

Высота треугольника по двум сторонам и радиусу описанной окружности

Рассмотрим треугольник на рисунке 6. Из теоремы синусов имеем:

(5)

откуда

(6)

Далее, из теоремы синусов имеем:

(7)

Подставляя (6) в (7), получим:

или

(8)

Отметим, что радиус описанной окружности должен удовлетворять следующему неравенству:

\(\small \max (b,c) ≤2R < b+c \)

(9)

Пример 3. Известны стороны треугольника: \( \small b=7, \) \( \small c= 3 \) и радиус описанной окружности \( \small R=4. \) Найти высоту треугольника, отпущенная на сторону \( \small a. \)

Решение: Проверим сначала условие (9):

\(\small \max (7,3) ≤2 \cdot 4 < 7+3 \)

(10)

Условие (9) удовлетворяется, следовательно такой треугольник существует. Для нахождения выстоты треугольника воспользуется формулой (8). Имеем:

Ответ: \( \small 2\frac{5}{8}. \)

Свойства высоты в равностороннем треугольнике

Равносторонний треугольник — это треугольник, стороны которого, углы, высоты, медианы, оси симметрии и биссектрисы будут равны.

Такой треугольник является частным примером равнобедренного треугольника, но не наоборот.

Высоту в таком треугольнике можно найти с помощью следующей формулы:

Формула 7

h=a32 где а — сторона равностороннего треугольника.

Главным свойством, которым обладает высота равностороннего треугольника, является тот факт, что она равна медиане и биссектрисе:

$h=m=l=\frac{\sqrt{3}}{2}a$

где h — высота,

m — медиана,

l — биссектриса,

а — сторона правильного равностороннего треугольника.

В треугольнике проведены три высоты

Как и для медиан, и для биссектрис, для высот треугольника верно следующее утверждение:

В любом треугольнике три высоты или их продолжения пересекаются в одной точке.

Доказывать это утверждение мы здесь, пожалуй, не будем.

Давай просто нарисуем, чтобы понять, как это бывает «высоты или их продолжения».

1. Треугольник остроугольный – тогда пересекаются сами высоты:

2. Треугольник тупоугольный – тогда пересекаются продолжения высот:

Что же полезного мы ещё не обсудили?

Задача наподобие треугольников

В прямоугольном треугольнике ABC (угол C = 90) проведена высота CD. Определите CD, если AD = 9 см, BD = 16 см

Решение.

Треугольники ABC, ACD и CBD подобны между собой . Это непосредственно следует из второго признака подобия (равенство углов в этих треугольниках очевидно).

Прямоугольные треугольники — единственный вид треугольников, которые можно разрезать на два треугольника, подобных между собой и исходному треугольнику.

Обозначения этих трех треугольников в таком порядке следования вершин: ABC, ACD, CBD. Тем самым мы одновременно показываем и соответствие вершин. (Вершине A треугольника ABC соответствует также вершина A треугольника ACD и вершина C треугольника CBD и т. д.)

Треугольники ABC и CBD подобны. Значит:

AD/DC = DC/BD, то есть

DC²=AD*BD

DC²=9*16

DC=12 см

Высота треугольника по основанию и площади

Пусть известны сторона треугольника и площадь. Найти высоту треугольника, отпущенная на известную сторону (Рис.5).

Решение. Площадь треугольника по основанию и высоте вычисляется из формулы:

.

Откуда:

.

(1)

Пример 1. Сторона треугольника равна \( \small a=5 \) а площадь \( \small S=7. \) Найти высоту треугольника.

Решение:

Применим формулу (1). Подставляя значения \( \small a \) и \( \small S \) в (1), получим:

Ответ:

Остроугольный треугольник и высота

Вернёмся–ка к остроугольному треугольнику. Отметим на рисунке равные углы:

Что видим теперь? Ещё подобные треугольники!

Как от двух линий вообще могут получиться столько подобных треугольников?!

Но тем не менее…

Видишь, какое богатство? И всё это может быть использовано в задачах!

Ну вот, теперь ты узнал что-то новенькое про высоты треугольника.

Теперь пробуй применять в задачах всё это – и соображение о том, что высота образует прямоугольный треугольник, и простые подобия прямоугольных треугольников, получающихся при пересечении двух высот, и подобие похитрее — которое с косинусом, и то, что угол между высотами равен углу между сторонами…

Главное, ты не старался просто запоминать все эти факты, а осознай, что их можно очень просто вывести.

И тогда, если ты будешь точно знать, например, что две проведённые высоты приносят кучу бонусов в виде всяких подобий, то ты непременно и сам получишь все эти бонусы, а заодно – решение своей задачи!

Примеры задач

Задача 1 Найдите высоту треугольника, проведенную из вершины B к стороне AC, если известно, что AB = 7 см, а угол BAC = 45°.

Решение В данном случае нам поможет формула для нахождения высоты через сторону и синус прилежащего угла:

Задача 2 Найдите длину основания равнобедренного треугольника, если высота, проведенная к нему, равняется 3 см, а боковые стороны – 5 см.

Решение Вывести формулу для нахождения длины основания можно из формулы расчета высоты в равнобедренном треугольнике:

Теги