Содержание материала
Определение арккосинуса(arccos)
Арккосинус(y = arccos(x)) – это обратная тригонометрическая функция к косинусу x = cos(y). Область определения -1 ≤ x ≤ 1 и множество значений 0 ≤ y ≤ π.
Функция арккосинус не является четной или нечетной
Видео
Формулировка теоремы для каждой из сторон треугольника
Теорема косинусов справедлива для всех сторон треугольника, то есть:
a2 = b2 + c2 — 2bc cos α
b2 = c2 + a2 — 2ca cos β
c2 = a2 + b2 — 2ab cos γ

Теорема косинусов может быть использована для любого вида треугольника.
Теорема косинусов
Для любого треугольника справедливо равенство:
a2 = b2 + c2 — 2b × c × cosA,
где угол A — это угол, противолежащий стороне a.
Данное уравнение правдиво для любых плоских треугольников и при помощи него легко определить угол или одну из сторон. Если угол A — прямой, то выражение 2b×c×cosA обращается в ноль, так как cos90 = 0. Следовательно, напротив прямого угла лежит наибольшая сторона или гипотенуза, а теорема косинусов превращается в классическую теорему Пифагора:
a2 = b2 + c2,
где a — гипотенуза.
Примеры решения задач
При помощи теоремы косинусов можно решать задачки по геометрии. Рассмотрим интересные случаи.
Пример 1. Дан треугольник АВС. Найти длину СМ.
∠C = 90°, АВ = 9, ВС = 3, AM/MB = 1/2, где М — точка на гипотенузе АВ.

Как решаем:
- Так как АМ + МВ = 9, а AM/MB = 1/2, то АМ = 3, МВ = 6. Из треугольника АВС найдем cos B:
- Из треугольника СМВ по теореме косинусов найдём СМ:
Ответ: СМ =
Пример 2. Дан треугольник АВС, в котором a2 + b2 < c2. Доказать, что ∠C — тупой угол.

Как доказываем:
- Для доказательства нужно вспомнить теорему косинусов для угла ∠C:
- Так как a2 + b2 < c2, то cos C < 0, следовательно, ∠C — тупой.
Что и требовалось доказать.
Эта задача нам показала, что с помощью теоремы косинусов можно определить тупой угол или острый.
- Если c2 = a2 + b2, то ∠C = 90°.

- Если c2 < a2 + b2, то ∠C — острый.
