Как найти угол между векторами? Ответ на

Угол между векторами на плоскости и в пространстве

Пусть на плоскости или в трехмерном пространстве заданы два ненулевых вектора и . Отложим от произвольной точки O векторы и . Тогда справедливо следующее определение.

Определение.

Углом между векторами и называется угол между лучами OA и OB.

Угол между векторами и будем обозначать как .

Угол между векторами может принимать значения от до или, что то же самое, от до .

когда векторы и сонаправленные, когда векторы и противоположно направленные.

Определение.

Векторы и называются перпендикулярными, если угол между ними равен ( радиан).

Если хотя бы один из векторов и нулевой, то угол не определен.

Нахождение угла между векторами, примеры и решения

Косинус угла между векторами и , а значит и сам угол, в общем случае может быть найден либо с использованием скалярного произведения векторов, либо с использованием теоремы косинусов для треугольника, построенного на векторах и .

Разберем эти случаи.

По определению скалярное произведение векторов есть . Если векторы и ненулевые, то можно разделить обе части последнего равенства на произведение длин векторов и , и мы получим формулу для нахождения косинуса угла между ненулевыми векторами: . Эту формулу можно использовать, если известны длины векторов и их скалярное произведение.

Пример.

Вычислите косинус угла между векторами и , а также найдите сам угол, если длины векторов и равны 3 и 6 соответственно, а их скалярное произведение равно -9.

Решение.

В условии задачи даны все величины необходимые для применения формулы . Вычисляем косинус угла между векторами и : .

Теперь находим угол между векторами: .

Ответ:

.

Существуют задачи, где векторы заданы координатами в прямоугольной системе координат на плоскости или в пространстве. В этих случаях для нахождения косинуса угла между векторами можно использовать все ту же формулу , но в координатной форме. Получим ее.

Длина вектора есть корень квадратный из суммы квадратов его координат, скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат. Следовательно, формула для вычисления косинуса угла между векторами на плоскости имеет вид , а для векторов в трехмерном пространстве — .

Пример.

Найдите угол между векторами , заданными в прямоугольной системе координат.

Решение.

Можно сразу воспользоваться формулой :

А можно для нахождения косинуса угла между векторами использовать формулу , предварительно вычислив длины векторов и скалярное произведение по координатам:

Ответ:

.

К предыдущему случаю сводится задача, когда даны координаты трех точек (например А, В и С) в прямоугольной системе координат и требуется найти какой-нибудь угол (например, ).

Действительно, угол равен углу между векторами и . Координаты этих векторов вычисляются как разность соответствующих координат точек конца и начала вектора.

Пример.

На плоскости в декартовой системе координат заданы координаты трех точек . Найдите косинус угла между векторами и .

Решение.

Определим координаты векторов и по координатам заданных точек:

Теперь воспользуемся формулой для нахождения косинуса угла между векторами на плоскости в координатах:

Ответ:

.

Угол между векторами и также можно вычислить по теореме косинусов. Если отложить от точки O векторы и , то по теореме косинусов в треугольнике ОАВ мы можем записать , что эквивалентно равенству , откуда находим косинус угла между векторами . Для применения полученной формулы нам нужны лишь длины векторов и , которые легко находятся по координатам векторов и . Однако, этот метод практически не используется, так как косинус угла между векторами проще найти по формуле .

Вычисление ортогональной проекции(сво-во проекции):

Проекция вектора на ось l равна произведению модуля вектора на косинус угла φ между вектором и осью, т.е. пр  cosφ.

Док-во: Если φ= < , то пр_l =+ = *cos φ.

Если φ> (φ≤ ), то пр_l =- =- * cos( –φ) =  cosφ (см.рис10)

Если φ= , то пр_l = 0 = соs φ.

Следствие: Проекция вектора на ось положительна (отрицательна), если вектор образует с осью острый (тупой) угол, и равна нуле, если этот угол – прямой.

Следствие: Проекции равных векторов на одну и ту же ось равны между собой.

Вычисление ортогональной проекции суммы векторов (сво-во проекции):

Проекция суммы нескольких векторов на одну и ту же ось равна сумме их проекций на эту ось.

Док-во: Пусть, например, = + + . Имеем пр_l =+ =+ + — , т.е. пр_l( + + ) = пр_l + пр_l + пр_l (см.рис11)

РИС. 11

Вычисление произведения вектора на число:

При умножеии вектора на число λ его проекция на ось так же умножается на это число, т.е. пр_l (λ* )= λ* пр_l .

Док-во: При λ > 0 имеем пр_l (λ* )= *cos φ = λ* φ = λ*пр_l

При λl (λ* )= *cos( –φ)=- * (-cosφ) = * cosφ= λ *пр_l .

Свойство справедливо и при

Таким образом, линейные операции над векторами приводят к соответствующим линейным операциям над проекциями этих векторов.

Нахождение угла между векторами

Как правило, угол между \( \overrightarrow a\) и \(\overrightarrow b\) можно найти с помощью скалярного произведения или теоремы косинусов для треугольника, который был построен на основе двух этих направляющих.

Определение

Скалярное произведение — это число, которое равно произведению двух направляющих на косинус угла между ними.

Формула скалярного произведения:

\(\left(\overrightarrow a;\overrightarrow b\right)=\left|\overrightarrow a\right|\times\left|\overrightarrow b\right|\times\cos\left(\widehat{\overrightarrow a;\overrightarrow b}\right)\)

1. Если α — острый, то СП (скалярное произведение) будет положительным числом (cos острого угла — положительное число).
2. Если векторы имеют общую направленность, то есть угол между ними равен \(0^\circ\), а косинус — 1, то СП будет тоже положительным.
3. Если α — тупой, то скалярное произведение будет отрицательным (cos тупого угла — отрицательное число).
4. Если α равен \(180^\circ\), то есть векторы противоположно направлены, то СП тоже отрицательно, потому что cos данного угла равен 1.
5. Если α — прямой, то СП равно 0, так как косинус \(90^\circ\) равен 0.

В случае, если \overrightarrow a и \overrightarrow b не нулевые, можно найти косинус α между ними, опираясь на формулу:

\(\cos\left(\widehat{\overrightarrow a;\overrightarrow b}\right)=\frac{\left(\overrightarrow a;\overrightarrow b\right)}{\left|\overrightarrow a\right|\times\left|\overrightarrow b\right|}\)

Видео

Примеры решений

Пример 1

Найти угол между векторами $ \overline{a} = (2;4) $ и $ \overline{b} = (3;1) $

Решение

Сначала находим косинус угла между векторами по формуле: $$ \cos \phi = \frac{(\overline{a},\overline{b})}{|\overline{a}| \cdot |\overline{b}|} = \frac{2\cdot 3 + 4 \cdot 1}{\sqrt{2^2 + 4^2} \cdot \sqrt{3^2 + 1^2} } = \frac{10}{\sqrt{20} \cdot \sqrt{10}} = $$ $$ = \frac{10}{\sqrt{200}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $$ Теперь искомый угол $ \phi $ находим по другой формуле: $$ \phi = \arccos (\cos \phi) = \arccos (\cos \frac{\sqrt{2}}{2}) = 45^0 $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

Угол между двумя векторами равен $ \phi = 45^0 $

Пример 2

Найти угол $ \phi $ между двумя векторами $ \overline{a} = (8;-11;7) $ и $ \overline{b} = (-2;-7;8) $

Решение

Подставляем координаты в формулу и вычисляем: $$ \cos \phi = \frac{8\cdot (-2) + (-11)\cdot (-7) + 7\cdot 8}{\sqrt{8^2+(-11)^2+7^2} \cdot \sqrt{(-2)^2+(-7)^2+8^2} } = $$ $$ = \frac{-16+77+56}{\sqrt{234} \cdot \sqrt{117}} = \frac{117}{\sqrt{234} \cdot \sqrt{117}} = $$ $$ = \frac{\sqrt{117}}{\sqrt{234}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $$ Далее находим сам угол $ \phi $ с помощью арккосинуса: $$ \phi = \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} = 45^0 $$

Ответ

Угол $ \phi = 45^0 $

Теги