Как найти угол между прямыми в пространстве

Определение угла между скрещивающимися прямыми

Пересечение двух линий на плоскости говорит о наличии у них одной общей точки. Она же является центром их пересечения и делит их на лучи. 

Лучи формируют четыре угла, которые являются неразвернутыми. Зная о размере одного из них, можно вычислить значение и остальных. Точно можно утверждать, что если один из них – прямоугольный, то остальные три равнозначны ему, а линии будут перпендикулярными.

 

Рис. 1 Графическое отображение пересечения прямых

Как найти угол между скрещивающимися прямыми

Для определения угла между двумя скрещивающимися линиями можно воспользоваться специальным онлайн-калькулятором или применить традиционный математический алгоритм для вычислений.

Предположим, что две бесконечные линии задаются уравнениями общего вида:

A₁ + B₁ + C₁ = 0

A₂ + B₂ + C₂ = 0

Искомое значение следует обозначить как φ. Численная величина угла измеряется в градусах от 0 до 90°, т. е. угол будет острым или прямоугольным. Необходимо ввести еще одно понятие– угол ψ между нормальными векторами данных прямых:

Если он меньше, либо равен 90°, то непосредственно сам искомый угол будет соответствовать его градусной мере. В случае когда ψ больше 90°, для вычисления φ необходимо применить известную формулу:

φ = 180 — ψ.

Для обоих вариантов достоверно утверждение, что cos φ = lcos ψl. Выполнив необходимые вычисления, можно рассчитать искомое значение:

Если по условию задачи существует некий прямоугольный треугольник с известными сторонами, расположенными на двух прямых, то для вычисления угла между этими прямыми необходимо знать синус, тангенс и косинус искомого угла. 

Для нахождения значения синуса угла, образованного в результате пересечения двух прямых, вычисляют модуль косинуса этого угла, образованного направляющими векторами данных прямых.

Видео

Примеры задач на вычисления угла между прямыми на плоскости

Пример 1. Найти угол между прямыми y = 2x — 1 и y = -3x + 1.

Решение: Воспользуемся формулой для вычисления угла между прямыми заданными уравнениями с угловым коэффициентом:

tg γ = k₁ — k₂1 + k₁·k₂ = 2 — (-3)1 + 2·(-3) = 5-5 = 1

Ответ. γ = 45°

Пример 2. Найти угол между прямыми y = 2x — 1 и x = 2t + 1y = t.

Решение: Воспользуемся формулой для вычисления угла между прямыми у которых известны направляющие векторы.

Для первой прямой направляющий вектор {1; 2}, для второй прямой направляющий вектор {2; 1}

cos φ = |1 · 2 + 2 · 1|1² + 2² · 2² + 1² = 45 · 5 = 0.8

Ответ. φ ≈ 36.87°

Пример 3 Найти угол между прямыми 2x + 3y = 0 и x — 23 = y4.

Решение: Для решения этой задачи можно найти направляющие векторы и вычислить угол через направляющие векторы или преобразовать уравнения в уравнения с угловым коэффициентом и вычислить угол через угловые коэффициенты.

Преобразуем имеющиеся уравнения в уравнения с угловым коэффициентом.

2x + 3y = 0 => y = —23x   (k₁ = —23)

x — 23 = y4 => y = 43x — 83   (k₂ = 43)

tg γ = k₁ — k₂1 + k₁·k₂ = —23 — 431 + (-23)·43 = —631 — 89 = 18

Ответ. γ ≈ 86.82°

Как вычислить угол между пересекающимися прямыми в пространстве

Вычисление такого угла можно свести к вычислению координат направляющих векторов и определению величины угла, образованного этими векторами. Для таких примеров используются такие же рассуждения, которые мы приводили до этого.

Допустим, что у нас есть прямоугольная система координат, расположенная в трехмерном пространстве. В ней заданы две прямые $a$ и $b$ с точкой пересечения $M$. Чтобы вычислить координаты направляющих векторов, нам нужно знать уравнения этих прямых. Обозначим направляющие векторы $\overrightarrow{a}=(a_x, a_y, a_z)$ и $\overrightarrow{b}=(b_x, b_y, b_z)$. Для вычисления косинуса угла между ними воспользуемся формулой:

$\cos \alpha =\left(\cos \left(\widehat{\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}}\right)\right)=\frac{\left(\right)}{\left(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}\right)}=\frac{\left(a_x·b_x+a_y·b_y+a_z·b_z\right)}{\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}·\sqrt{b_x^2+b_y^2+b_z^2}}$

Для нахождения самого угла нам понадобится эта формула:

$\alpha =arc\cos \frac{\left(a_x·b_x+a_y·b_y+a_z·b_z\right)}{\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}·\sqrt{b_x^2+b_y^2+b_z^2}}$

У нас есть прямая, заданная в трехмерном пространстве с помощью уравнения x1=y-3=z+3-2. Известно, что она пересекается с осью Oz. Вычислите угол пересечения и косинус этого угла. Решение Обозначим угол, который надо вычислить, буквой α. Запишем координаты направляющего вектора для первой прямой – a→=(1, -3, -2). Для оси аппликат мы можем взять координатный вектор k→=(, , 1) в качестве направляющего. Мы получили необходимые данные и можем добавить их в нужную формулу: cos α=cosa→, k→^=a→, k→a→·k→=1·-3·-2·112+(-3)2+(-2)2·2+2+12=28=12 В итоге мы получили, что нужный нам угол будет равен arccos12=45°. Ответ: cos α=12, α=45°.

Всё ещё сложно? Наши эксперты помогут разобраться Все услуги

Теги