Как найти угол между прямыми в пространстве

Определение угла между скрещивающимися прямыми

Пересечение двух линий на плоскости говорит о наличии у них одной общей точки. Она же является центром их пересечения и делит их на лучи. 

Лучи формируют четыре угла, которые являются неразвернутыми. Зная о размере одного из них, можно вычислить значение и остальных. Точно можно утверждать, что если один из них – прямоугольный, то остальные три равнозначны ему, а линии будут перпендикулярными.

 

Рис. 1 Графическое отображение пересечения прямых

Как найти угол между скрещивающимися прямыми

Для определения угла между двумя скрещивающимися линиями можно воспользоваться специальным онлайн-калькулятором или применить традиционный математический алгоритм для вычислений.

Предположим, что две бесконечные линии задаются уравнениями общего вида:

A1 + B1 + C1 = 0

A2 + B2 + C2 = 0

Искомое значение следует обозначить как φ. Численная величина угла измеряется в градусах от 0 до 90°, т. е. угол будет острым или прямоугольным. Необходимо ввести еще одно понятие– угол ψ между нормальными векторами данных прямых:

Если он меньше, либо равен 90°, то непосредственно сам искомый угол будет соответствовать его градусной мере. В случае когда ψ больше 90°, для вычисления φ необходимо применить известную формулу:

φ = 180 — ψ.

Для обоих вариантов достоверно утверждение, что cos φ = lcos ψl. Выполнив необходимые вычисления, можно рассчитать искомое значение:

Если по условию задачи существует некий прямоугольный треугольник с известными сторонами, расположенными на двух прямых, то для вычисления угла между этими прямыми необходимо знать синус, тангенс и косинус искомого угла. 

Для нахождения значения синуса угла, образованного в результате пересечения двух прямых, вычисляют модуль косинуса этого угла, образованного направляющими векторами данных прямых.

Видео

Примеры задач на вычисления угла между прямыми на плоскости

Пример 1. Пример 1. Найти угол между прямыми y = 2x — 1 и y = -3x + 1.

Решение: Воспользуемся формулой для вычисления угла между прямыми заданными уравнениями с угловым коэффициентом:

tg γ = k1k21 + k1·k2 = 2 — (-3)1 + 2·(-3) = 5-5 = 1

Ответ. γ = 45°

Пример 2. Пример 2. Найти угол между прямыми y = 2x — 1 и x = 2t + 1y = t.

Решение: Воспользуемся формулой для вычисления угла между прямыми у которых известны направляющие векторы.

Для первой прямой направляющий вектор {1; 2}, для второй прямой направляющий вектор {2; 1}

cos φ = |1 · 2 + 2 · 1|12 + 22 · 22 + 12 = 45 · 5 = 0.8

Ответ. φ ≈ 36.87°

Пример 3 Найти угол между прямыми 2x + 3y = 0 и x — 23 = y4.

Решение: Для решения этой задачи можно найти направляющие векторы и вычислить угол через направляющие векторы или преобразовать уравнения в уравнения с угловым коэффициентом и вычислить угол через угловые коэффициенты.

Преобразуем имеющиеся уравнения в уравнения с угловым коэффициентом.

2x + 3y = 0 => y = —23x   (k1 = —23)

x — 23 = y4 => y = 43x83   (k2 = 43)

tg γ = k1k21 + k1·k2 = 23431 + (-2343 = 631 — 89 = 18

Ответ. γ ≈ 86.82°

Как вычислить угол между пересекающимися прямыми в пространстве

Вычисление такого угла можно свести к вычислению координат направляющих векторов и определению величины угла, образованного этими векторами. Для таких примеров используются такие же рассуждения, которые мы приводили до этого.

Допустим, что у нас есть прямоугольная система координат, расположенная в трехмерном пространстве. В ней заданы две прямые a и b с точкой пересечения M. Чтобы вычислить координаты направляющих векторов, нам нужно знать уравнения этих прямых. Обозначим направляющие векторы a=(ax, ay, az) и b=(bx, by, bz). Для вычисления косинуса угла между ними воспользуемся формулой:

cos α=cosa, b^=a, ba·b=ax·bx+ay·by+az·bzax2+ay2+az2·bx2+by2+bz2

Для нахождения самого угла нам понадобится эта формула:

α=arccosax·bx+ay·by+az·bzax2+ay2+az2·bx2+by2+bz2

Пример 5

У нас есть прямая, заданная в трехмерном пространстве с помощью уравнения x1=y-3=z+3-2. Известно, что она пересекается с осью Oz. Вычислите угол пересечения и косинус этого угла. Решение Обозначим угол, который надо вычислить, буквой α. Запишем координаты направляющего вектора для первой прямой – a→=(1, -3, -2). Для оси аппликат мы можем взять координатный вектор k→=(, , 1) в качестве направляющего. Мы получили необходимые данные и можем добавить их в нужную формулу: cos α=cosa→, k→^=a→, k→a→·k→=1·-3·-2·112+(-3)2+(-2)2·2+2+12=28=12 В итоге мы получили, что нужный нам угол будет равен arccos12=45°. Ответ: cos α=12, α=45°.

Всё ещё сложно? Наши эксперты помогут разобраться Все услуги

Теги

Популярные:

Последние:

Adblock
detector