Содержание материала
Определение угла между скрещивающимися прямыми
Пересечение двух линий на плоскости говорит о наличии у них одной общей точки. Она же является центром их пересечения и делит их на лучи.
Лучи формируют четыре угла, которые являются неразвернутыми. Зная о размере одного из них, можно вычислить значение и остальных. Точно можно утверждать, что если один из них – прямоугольный, то остальные три равнозначны ему, а линии будут перпендикулярными.
Рис. 1 Графическое отображение пересечения прямых
Как найти угол между скрещивающимися прямыми
Для определения угла между двумя скрещивающимися линиями можно воспользоваться специальным онлайн-калькулятором или применить традиционный математический алгоритм для вычислений.
Предположим, что две бесконечные линии задаются уравнениями общего вида:
A1 + B1 + C1 = 0
A2 + B2 + C2 = 0
Искомое значение следует обозначить как φ. Численная величина угла измеряется в градусах от 0 до 90°, т. е. угол будет острым или прямоугольным. Необходимо ввести еще одно понятие– угол ψ между нормальными векторами данных прямых:
Если он меньше, либо равен 90°, то непосредственно сам искомый угол будет соответствовать его градусной мере. В случае когда ψ больше 90°, для вычисления φ необходимо применить известную формулу:
φ = 180 — ψ.
Для обоих вариантов достоверно утверждение, что cos φ = lcos ψl. Выполнив необходимые вычисления, можно рассчитать искомое значение:
Если по условию задачи существует некий прямоугольный треугольник с известными сторонами, расположенными на двух прямых, то для вычисления угла между этими прямыми необходимо знать синус, тангенс и косинус искомого угла.
Для нахождения значения синуса угла, образованного в результате пересечения двух прямых, вычисляют модуль косинуса этого угла, образованного направляющими векторами данных прямых.
Видео
Примеры задач на вычисления угла между прямыми на плоскости
Пример 1. Найти угол между прямыми y = 2x — 1 и y = -3x + 1.Решение: Воспользуемся формулой для вычисления угла между прямыми заданными уравнениями с угловым коэффициентом:
tg γ =Ответ. γ = 45°
Пример 2. Найти угол между прямыми y = 2x — 1 иРешение: Воспользуемся формулой для вычисления угла между прямыми у которых известны направляющие векторы.
Для первой прямой направляющий вектор {1; 2}, для второй прямой направляющий вектор {2; 1}
cos φ =Ответ. φ ≈ 36.87°
Пример 3 Найти угол между прямыми 2x + 3y = 0 иРешение: Для решения этой задачи можно найти направляющие векторы и вычислить угол через направляющие векторы или преобразовать уравнения в уравнения с угловым коэффициентом и вычислить угол через угловые коэффициенты.
Преобразуем имеющиеся уравнения в уравнения с угловым коэффициентом.
2x + 3y = 0 => y = —
Ответ. γ ≈ 86.82°
Как вычислить угол между пересекающимися прямыми в пространстве
Вычисление такого угла можно свести к вычислению координат направляющих векторов и определению величины угла, образованного этими векторами. Для таких примеров используются такие же рассуждения, которые мы приводили до этого.
Допустим, что у нас есть прямоугольная система координат, расположенная в трехмерном пространстве. В ней заданы две прямые и с точкой пересечения . Чтобы вычислить координаты направляющих векторов, нам нужно знать уравнения этих прямых. Обозначим направляющие векторы и . Для вычисления косинуса угла между ними воспользуемся формулой:
Для нахождения самого угла нам понадобится эта формула:
Всё ещё сложно? Наши эксперты помогут разобраться Все услуги