Как найти угловую скорость

Угловая скорость

Угловой скоростью называют скорость вращения тела, определяющаяся приращением угла поворота тела за промежуток времени.

Обозначение: ω (омега).

Формулы угловой скорости

Формула для расчета угловой скорости в зависимости от заданных параметров вращения может иметь вид:

• если известно количество оборотов n за единицу времени t:
• если задан угол поворота φ за единицу времени:

Размерности:

• Количество оборотов за единицу времени [об/мин], [c^-1].
• Угол поворота за единицу времени [рад/с].

Быстрота изменения угла φ (перемещения из положения П₁ в положение П₂) – это и есть угловая скорость:

ω=dφ/dt=φ’, рад/с; с^-1    (2.3)

Например, тело совершающее 1,5 оборота за одну секунду имеет угловую скорость

ω=1,5 с^-1=9,42 рад/с.

Приняв k как единичный орт положительного направления оси, получим:

Вектор угловой скорости – скользящий вектор: он может быть приложен к любой точке оси вращения и всегда направлен вдоль оси, при положительном значении угловой скорости направления ω и k совпадают, при отрицательном – противоположны.

Угол поворота и период обращения

Рассмотрим точку А на предмете, вращающимся вокруг своей оси. При обращении за какой-то период времени она изменит своё положение на линии окружности на определённый угол. Это угол поворота. Он измеряется в радианах, потому что за единицу берётся отрезок окружности, равный радиусу. Ещё одна величина измерения угла поворота – градус.

Частота тока

Когда в результате поворота точка А вернётся на своё прежнее место, значит, она совершила полный оборот. Если её движение повторится n-раз, то говорят о некотором количестве оборотов. Исходя из этого, можно рассматривать 1/2, 1/4 оборота и так далее. Яркий практический пример этому – путь, который проделывает фреза при фрезеровании детали, закреплённой в центре шпинделя станка.

Внимание! Угол поворота имеет направление. Оно отрицательное, когда вращение происходит по часовой стрелке и положительное при вращении против движения стрелки.

Если тело равномерно продвигается по окружности, можно говорить о постоянной угловой скорости при перемещении, ω = const.

В этом случае находят применения такие характеристики, как:

• период обращения – T, это время, необходимое для полного оборота точки при круговом движении;
• частота обращения – ν, это полное количество оборотов, которое совершает точка по круговой траектории за единичный временной интервал.

Интересно. По известным данным, Юпитер обращается вокруг Солнца за 12 лет. Когда Земля за это время делает вокруг Солнца почти 12 оборотов. Точное значение периода обращения круглого гиганта – 11,86 земных лет.

Видео

Равномерное вращение

Если тело за равные промежутки времени поворачивается на один и тот же угол, то такое вращение называют равномерным. При этом модуль угловой скорости находят как:

где $(\varphi)$ – угол поворота, t – время, за которое этот поворот совершён.

Равномерное вращение часто характеризуют при помощи периода обращения (T), который является временем, за которое тело производит один оборот ($\Delta \varphi=2 \pi$). Угловая скорость связана с периодом обращения как:

С числом оборотов в единицу времени ($\nu) угловая скорость связана формулой:

Понятия периода обращения и числа оборотов в единицу времени иногда используют и для описания неравномерного вращения, но понимают при этом под мгновенным значением T, время за которое тело делало бы один оборот, если бы оно вращалось равномерно с данной мгновенной величиной скорости.

Как найти угловую скорость без учета времени

Точно так же, как у нас есть уравнения движения для линейного движения, точно так же есть три уравнения движения для вращающихся объектов. 

Здесь, 

= конечная угловая скорость

= начальная угловая скорость

= угловое ускорение

= угловое смещение

t = затраченное время 

Используя это уравнение вращательные движения, мы можем найти угловое движение без учета времени. 

Для вычисления угловой скорости без учета времени также можно использовать предыдущие формулы;

Предположим, нам дано, что вращающееся колесо первоначально в состоянии покоя смещается на угол 4π радиан с угловым ускорением , то угловая скорость, с которой вращается колесо, задается как;

Как найти угловую скорость в радианах в секунду

Во вращательной кинематике частица движется по круговой траектории. Угловая скорость определяет, насколько быстро объект движется. Следовательно, вычислив количество оборотов, совершаемых объектом за заданное время, мы можем узнать его скорость. 

Мы знаем, что для круговой траектории 1 полный оборот составляет 360 °. А 360 ° равняется 2π в радианах. Принимая время в стандартной единице, единица омеги становится; 

Предположим, прялка совершает 4830 оборотов в минуту. Тогда угловая скорость в радианах в секунду будет:

1 оборот = 2π радиан

4830 оборот = 4830 × 2π 

и 1 мин. = 60 секунд 

Следовательно:

Период и частота

Период вращения T — это время, за которое тело совершает один оборот.

Частота вращение — это количество оборотов за одну секунду.

Частота и период взаимосвязаны соотношением

Связь с угловой скоростью

Примеры решения задач

Пример

Задание. Движение тела с неподвижной осью задано уравнением $\varphi=2 t-4 t^{3}$, $(\varphi)$ в рад, t в сек. Начало вращения при t=0 c. Положительным считают углы указанные направлением стрелки (рис.2). В каком направлении ( относительно часовой стрелки поворачивается тело) в момент времени t=0,5 c. Решение. Для нахождения модуля угловой скорости применим формулу: $$\omega=\frac{d \varphi}{d t}(1.1)$$ Используем заданную в условии задачи функцию $\varphi(t)$, возьмем производную от нее по времени, получим функцию $\omega(t)$: $$\omega(t)=2-8 t^{2}(1.2)$$ Вычислим, чему будет равна угловая скорость в заданный момент времени (при t=0,5 c): $$\omega(t)=2-8(0,5)^{2}=0\left(\frac{r a d}{c}\right)$$ Ответ. В заданный момент времени тело имеет угловую скорость равную нулю, следовательно, она останавливается.

Мы помогли уже 4 372 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут! Узнать стоимость

Пример

Задание. Скорости вращения тела заданы системой уравнений: $$\left\{\begin{array}{c}\bar{\omega}_{1}=t^{2 \bar{i}} \\ \bar{\omega}_{2}=2 t^{2} \bar{j}\end{array}\right.$$ где $\bar{i}$ и $\bar{j}$ – единичные ортогональные векторы. На какой угол $(\varphi)$ поворачивается тело за время равное 3 с? Решение. Определим, какова функция, которая связывает модуль скорости вращения тела и время (t) ($\omega(t)$). Так как вектора $\bar{i}$ и $\bar{j}$ перпендикулярны друг другу, значит: $$\omega=\sqrt{\omega_{1}^{2}+\omega_{2}^{2}}=\sqrt{\left(t^{2}\right)^{2}+\left(2 t^{2}\right)^{2}}=t^{2} \sqrt{5}(2.2)$$ Модуль угловой скорости связан с углом поворота как: $$\omega=\frac{d \varphi}{d t}(2.3)$$ Следовательно, угол поворота найдем как: $$\varphi=\int_{t_{1}}^{t_{2}} \omega d t=\int_{0}^{3} t^{2} \sqrt{5} d t=\left.\sqrt{5} \frac{t^{3}}{3}\right|_{0} ^{3} \approx 20(\mathrm{rad})$$ Ответ. $\varphi = 20$ рад.

Теги