Как найти угловой коэффициент уравнения

Рубрики

  • 01 Задание (2022)
  • 02 Задание (2022)
  • 03 Задание (2022)
  • 04 Задание (2016)
  • 05 Задание (2022)
  • 06 Задание (2022)
  • 07 Задание (2022)
  • 08 Задание (2022)
  • 11 Задание (2022)
  • 12 Задание (2022) (C1)
  • 13 Задание (2022) (C2)
  • 14 Задание (2022) (C3)
  • 15 Задание (2022) (C4)
  • 16 Задание (2022)
  • 17 Задание (2022) (C6)
  • 18 Задание (2022) (С7)
  • АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
  • База ЕГЭ Задание 19
  • База ЕГЭ Задание 20
  • БЕЗ РУБРИКИ
  • ВИДЕОЛЕКЦИИ
  • ВИДЕОТЕКА
  • ВИДЕОУРОКИ
  • Вопросы для повторения
  • Диагностические работы
  • Задание 01 (2016)
  • Задание 02 (2016)
  • Задание 03 (2016)
  • ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРОМ
  • Задачи с практическим содержанием
  • ИНТЕГРАЛ
  • Интерактивные модели
  • ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
  • Комбинаторика
  • ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
  • МГУ, ДВИ
  • НОВОСТИ
  • ОГЭ (ГИА) Задание 11
  • ОГЭ (ГИА) Задание 15
  • ОГЭ (ГИА) Задание 15
  • ОГЭ (ГИА) Задание 24
  • ОГЭ (ГИА) Задание 25
  • ОНЛАЙН КУРСЫ
  • Оплата
  • ПЛАНИМЕТРИЯ
  • ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
  • ПОЛЕЗНЫЕ СОВЕТЫ
  • ПРЕЗЕНТАЦИИ
  • ПРОГРЕССИИ
  • ПРОИЗВОДНАЯ
  • РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, НЕРАВЕНСТВА И СИСТЕМЫ
  • СТЕРЕОМЕТРИЯ
  • ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ
  • Теория вероятностей
  • ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
  • Тесты
  • Тренировочные варианты
  • ТРИГОНОМЕТРИЯ
  • УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЕМ
  • ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ

Видео

Алгоритм действий для нахождения уравнения касательной

АлгоритмПример: \( f\left( x \right)={{x}^{2}}-2x+3\), \( {{x}_{0}}=3\)
1. Вычислим \( f\left( {{x}_{0}} \right)\)\( f\left( {{x}_{0}} \right)=f\left( 3 \right)={{3}^{2}}-2\cdot 3+3=6\)
2. Найдём формулу производной функции \( {f}’\left( x \right)\)\( {f}’\left( x \right)={{\left( {{x}^{2}}-2x+3 \right)}^{\prime }}=2x-2\)
3. Вычислим \( {f}’\left( {{x}_{0}} \right)\)\( {f}’\left( {{x}_{0}} \right)={f}’\left( 3 \right)=2\cdot 3-2=4\)
4. Подставим \( {{x}_{0}},\text{ }f\left( {{x}_{0}} \right)\) и \( {f}’\left( {{x}_{0}} \right)\) в формулу уравнения касательной \( y={f}’\left( {{x}_{0}} \right)\cdot \left( x-{{x}_{0}} \right)+f\left( {{x}_{0}} \right)\)\( \begin{array}{l}y={f}’\left( {{x}_{0}} \right)\cdot \left( x-{{x}_{0}} \right)+f\left( {{x}_{0}} \right)=\\\text{ }=4\left( x-3 \right)+6=4{x} -12+6=\\\text{ }=4{x} -6\end{array}\)

Геометрический смысл производной функции в точке

Перейдем к рассмотрению секущей АВ для функции f(x), где А и В с координатами x, f(x) и x+x, f(x+x), а x обозначаем как приращение аргумента. Теперь функция примет вид y=f(x)=f(x+x)f(x). Для наглядности приведем в пример рисунок.

Рассмотрим полученный прямоугольный треугольник АВ

Рассмотрим полученный прямоугольный треугольник АВС. Используем определение тангенса для решения, то есть получим отношение yx=tg α. Из определения касательной следует, что limxyx=tg αx. По правилу производной в точке имеем, что производную f(x) в точке x называют пределом отношений приращения функции к приращению аргумента, где x, тогда обозначим как f(x)=limxyx.

Отсюда следует, что f(x)=limxyx=tg αx=kx, где kx обозначают в качестве углового коэффициента касательной.

То есть получаем, что f(x) может существовать  в точке x причем как и касательная к заданному графику функции в точке касания равной x, f(x), где значение углового коэффициента касательной  в точке равняется производной  в точке x. Тогда получаем, что kx=f(x).

Геометрический смысл производной функции в точке в том, что дается понятие существования касательной к графику в этой же точке.

Касательные к фигурам и графикам

При решении задач следует обратить внимание на частные случаи. Нужно произвести расчеты уравнения прямой или найти точки соприкосновения с окружностью, эллипсом, гиперболой или параболой. Очень распространенная задача встречается также в механике о ременной передаче.

Частные случаи позволят найти оптимальное решение

Частные случаи позволят найти оптимальное решение и метод расчета, поскольку экономия времени является важным элементом при научных исследованиях, написании контрольных работ и сдаче экзаменов. Важный этап — идентификация типа задачи. Касательная к вышеперечисленным фигурам — основной тип заданий, но существуют и более сложные функции.

Например, сложно составить уравнение прямой, которая имеет точки касания с какой-либо сложной функцией.

В некоторых случаях необходимо перед выполнением расчетов ее упростить, т. е. привести подобные слагаемые, раскрыть скобки или воспользоваться другими приемами для упрощения выражения.

Одна и несколько окружностей

Радиус, который проводится через точку касания, составляет с касательной прямой угол (перпендикулярен). Перпендикуляр к касательной, проходящий через точку касания, является радиусом или диаметром заданного круга. Из этого следует, что радиус является нормалью по отношению к прямой. Секущая — прямая, которая проходит через график или фигуру, но имеет от двух и более точек пересечения.

Формула окружности с центром в точке О (xc;yc) и радиусом R имеет следующий вид: sqr(х-хc) + sqr(y-yc) = R^2.

Для решения следует выразить значение у, но при эт

Для решения следует выразить значение у, но при этом нужно рассматривать 2 случая:

  • y = sqrt[R^2 — (х-хc)^2] + yц.
  • y = -sqrt[R^2 — (х-хc)^2] + yц.
  • Две функции являются полукругами и вместе образуют окружность. Чтобы составить график круга в точке (х0;у0), нужно уравнение в этой точке. В точках с координатами (хц;yц+R) и (хц;yц-R) уравнения касательных к окружности задаются следующими уравнениями: y = yц + R и y = yц — R. Если взять точки (хц+R;yц) и (хц-R;yц), они будут иметь такую форму: x = xц + R и x = xц — R.

    В случае для двух окружностей всего можно провести до 4 касательных (2 внешних и 2 внутренних). Это зависит от случая расположения фигур. Точкой пересечения внешних считается внешняя гомотетия (подобие), а внутренних — в центре внутреннего подобия. Внешними называются прямые, которые касаются внешних точек круга. Если касательные являются внутренними, то они пересекают линию, соединяющую центры окружностей.

    Следует отметить, что внешний и внутренний центры гомотетии лежат на некоторой прямой. Она проходит через центры заданных окружностей. Это был рассмотрен случай, когда одна окружность меньше другой.

    Однако при равенстве их диаметров появляются некоторые свойства: внешние касательные параллельны и внешнего центра гомотетии не существует.

    Основные соотношения можно вывести, используя уравнение прямой (касательной) и расстояние от точки до прямой. Пусть окружности с радиусами R1 и R2 имеют следующие координаты центров: с1(х1;у1) и с2(х2;у2). Уравнение прямой записывается таким образом: ах + by + c = 0. Расстояния до прямой от точек с1 и с2 вычисляются таким образом: ах1 + by1 + c = R1 и ах2 + by2 + c = R2. Формула находится с помощью вычитания первого уравнения из второго: а(х2 — х1) + b(y2 — у1) = R2 — R1. Следовательно, расстояние вычисляется по следующей формуле: d = sqrt[(х2 — х1)^2 + (y2 — у1)^2].

    Эллипс, гипербола и парабола

    Пусть задан эллипс с полуосями a и b.

    Его центром является точка с координатами (xц;уц).

    Его центром является точка с координатами (xц;уц). Уравнение, описывающее фигуру имеет такой вид: [(х — хц)^2 / a^2] + [(y — yц)^2 / b^2] = 1. Необходимо выразить переменную y. Функция будет состоять из двух полуэллипсов: y = (b/a) * sqrt[a^2 — (x-xц)^2] + yц и y = -(b/a) * sqrt[a^2 — (x-xц)^2] + yц. Касательные к геометрической фигуре могут быть параллельными оси ОХ или ОУ.

    В некоторых случаях график задан уравнениями кривых, к которым относятся гипербола и парабола. Пусть первая имеет координаты центра (xц;уц) с вершинами (xц+а;уц) и (xц-a;уц). Ее уравнение принимает такой вид: [(х — хц)^2 / a^2] — [(y — yц)^2 / b^2] = 1. Если же ее вершины имеют такие координаты (xц;уц+b) и (xц;уц-b), то она описывается следующим равенством [(х — хц)^2 / a^2] — [(y — yц)^2 / b^2] = -1. В последнем равенстве меняется знак. При решении нужно разбить на две объединенные функции:

  • y = (b/a) * sqrt[(x-xц)^2 — a^2] + yц и y = -(b/a) * sqrt[(x-xц)^2 — a^2] + yц.
  • y = (b/a) * sqrt[(x-xц)^2 + a^2] + yц и y = -(b/a) * sqrt[(x-xц)^2 + a^2] + yц.
  • В первом случае прямые параллельны оси ординат, а во втором — абсцисс. Чтобы написать уравнение прямой, нужно определить, к какой из функций принадлежит точка, выполнив подстановку в текущие равенства. После этого их следует проверить на тождественность.

    Чтобы записать уравнение прямой-касательной к пара

    Чтобы записать уравнение прямой-касательной к параболе y = ax^2 + bx + c в точке с координатами (x0;y(x0)), нужно привести равенство к следующему виду: y = y'(x0) * (x-x0) + y(x0). Из формулы можно сделать вывод о том, что прямая параллельна оси абсцисс. Параболу нужно рассматривать, как объединение двух функций (x = ay^2 + by + c). Рекомендуется решить его относительно y. Дискриминант вычисляется таким образом: D = b^2 — 4a(c — x).

    В зависимости от его значения находятся корни:

  • D>0: y = [-b + sqrt(D)] / 2a и y = [-b — sqrt(D)] / 2a.
  • D=0: y = -b / 2a.
  • D<0: нет точек касания.
  • Суть сводится к решению обыкновенного квадратного уравнения. Если коэффициент а=1, то корни можно найти по теореме Виета: x1 + x2 = — b и x1 * x2 = c.

    Уравнение касательной к графику функции

          Из формул (4) и (6) вытекает следующее

          Утверждение. Если у функции   y = f (x)   существует производная в точке   x ,   то к графику функции   y = f (x)   в точке с координатами  (x;  f (x))   можно провести касательную, а уравнение этой касательной имеет вид:

    y = f′(x) (x – x) + f (x)(7)

    Теги

    Популярные:

    Последние:

    Adblock
    detector