Содержание материала
Рубрики
- 01 Задание (2022)
- 02 Задание (2022)
- 03 Задание (2022)
- 04 Задание (2016)
- 05 Задание (2022)
- 06 Задание (2022)
- 07 Задание (2022)
- 08 Задание (2022)
- 11 Задание (2022)
- 12 Задание (2022) (C1)
- 13 Задание (2022) (C2)
- 14 Задание (2022) (C3)
- 15 Задание (2022) (C4)
- 16 Задание (2022)
- 17 Задание (2022) (C6)
- 18 Задание (2022) (С7)
- АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
- База ЕГЭ Задание 19
- База ЕГЭ Задание 20
- БЕЗ РУБРИКИ
- ВИДЕОЛЕКЦИИ
- ВИДЕОТЕКА
- ВИДЕОУРОКИ
- Вопросы для повторения
- Диагностические работы
- Задание 01 (2016)
- Задание 02 (2016)
- Задание 03 (2016)
- ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРОМ
- Задачи с практическим содержанием
- ИНТЕГРАЛ
- Интерактивные модели
- ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
- Комбинаторика
- ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
- МГУ, ДВИ
- НОВОСТИ
- ОГЭ (ГИА) Задание 11
- ОГЭ (ГИА) Задание 15
- ОГЭ (ГИА) Задание 15
- ОГЭ (ГИА) Задание 24
- ОГЭ (ГИА) Задание 25
- ОНЛАЙН КУРСЫ
- Оплата
- ПЛАНИМЕТРИЯ
- ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
- ПОЛЕЗНЫЕ СОВЕТЫ
- ПРЕЗЕНТАЦИИ
- ПРОГРЕССИИ
- ПРОИЗВОДНАЯ
- РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, НЕРАВЕНСТВА И СИСТЕМЫ
- СТЕРЕОМЕТРИЯ
- ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ
- Теория вероятностей
- ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
- Тесты
- Тренировочные варианты
- ТРИГОНОМЕТРИЯ
- УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЕМ
- ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ
Видео
Алгоритм действий для нахождения уравнения касательной
Алгоритм | Пример: \( f\left( x \right)={{x}^{2}}-2x+3\), \( {{x}_{0}}=3\) |
1. Вычислим \( f\left( {{x}_{0}} \right)\) | \( f\left( {{x}_{0}} \right)=f\left( 3 \right)={{3}^{2}}-2\cdot 3+3=6\) |
2. Найдём формулу производной функции \( {f}’\left( x \right)\) | \( {f}’\left( x \right)={{\left( {{x}^{2}}-2x+3 \right)}^{\prime }}=2x-2\) |
3. Вычислим \( {f}’\left( {{x}_{0}} \right)\) | \( {f}’\left( {{x}_{0}} \right)={f}’\left( 3 \right)=2\cdot 3-2=4\) |
4. Подставим \( {{x}_{0}},\text{ }f\left( {{x}_{0}} \right)\) и \( {f}’\left( {{x}_{0}} \right)\) в формулу уравнения касательной \( y={f}’\left( {{x}_{0}} \right)\cdot \left( x-{{x}_{0}} \right)+f\left( {{x}_{0}} \right)\) | \( \begin{array}{l}y={f}’\left( {{x}_{0}} \right)\cdot \left( x-{{x}_{0}} \right)+f\left( {{x}_{0}} \right)=\\\text{ }=4\left( x-3 \right)+6=4{x} -12+6=\\\text{ }=4{x} -6\end{array}\) |
Геометрический смысл производной функции в точке
Перейдем к рассмотрению секущей для функции , где и с координатами и , а обозначаем как приращение аргумента. Теперь функция примет вид . Для наглядности приведем в пример рисунок.
Рассмотрим полученный прямоугольный треугольник . Используем определение тангенса для решения, то есть получим отношение . Из определения касательной следует, что . По правилу производной в точке имеем, что производную в точке называют пределом отношений приращения функции к приращению аргумента, где , тогда обозначим как .
Отсюда следует, что , где обозначают в качестве углового коэффициента касательной.
То есть получаем, что может существовать в точке причем как и касательная к заданному графику функции в точке касания равной , где значение углового коэффициента касательной в точке равняется производной в точке . Тогда получаем, что .
Геометрический смысл производной функции в точке в том, что дается понятие существования касательной к графику в этой же точке.
Касательные к фигурам и графикам
При решении задач следует обратить внимание на частные случаи. Нужно произвести расчеты уравнения прямой или найти точки соприкосновения с окружностью, эллипсом, гиперболой или параболой. Очень распространенная задача встречается также в механике о ременной передаче.
Частные случаи позволят найти оптимальное решение и метод расчета, поскольку экономия времени является важным элементом при научных исследованиях, написании контрольных работ и сдаче экзаменов. Важный этап — идентификация типа задачи. Касательная к вышеперечисленным фигурам — основной тип заданий, но существуют и более сложные функции.
Например, сложно составить уравнение прямой, которая имеет точки касания с какой-либо сложной функцией.
В некоторых случаях необходимо перед выполнением расчетов ее упростить, т. е. привести подобные слагаемые, раскрыть скобки или воспользоваться другими приемами для упрощения выражения.
Одна и несколько окружностей
Радиус, который проводится через точку касания, составляет с касательной прямой угол (перпендикулярен). Перпендикуляр к касательной, проходящий через точку касания, является радиусом или диаметром заданного круга. Из этого следует, что радиус является нормалью по отношению к прямой. Секущая — прямая, которая проходит через график или фигуру, но имеет от двух и более точек пересечения.
Формула окружности с центром в точке О (xc;yc) и радиусом R имеет следующий вид: sqr(х-хc) + sqr(y-yc) = R^2.
Для решения следует выразить значение у, но при этом нужно рассматривать 2 случая:
Две функции являются полукругами и вместе образуют окружность. Чтобы составить график круга в точке (х0;у0), нужно уравнение в этой точке. В точках с координатами (хц;yц+R) и (хц;yц-R) уравнения касательных к окружности задаются следующими уравнениями: y = yц + R и y = yц — R. Если взять точки (хц+R;yц) и (хц-R;yц), они будут иметь такую форму: x = xц + R и x = xц — R.
В случае для двух окружностей всего можно провести до 4 касательных (2 внешних и 2 внутренних). Это зависит от случая расположения фигур. Точкой пересечения внешних считается внешняя гомотетия (подобие), а внутренних — в центре внутреннего подобия. Внешними называются прямые, которые касаются внешних точек круга. Если касательные являются внутренними, то они пересекают линию, соединяющую центры окружностей.
Следует отметить, что внешний и внутренний центры гомотетии лежат на некоторой прямой. Она проходит через центры заданных окружностей. Это был рассмотрен случай, когда одна окружность меньше другой.
Однако при равенстве их диаметров появляются некоторые свойства: внешние касательные параллельны и внешнего центра гомотетии не существует.
Основные соотношения можно вывести, используя уравнение прямой (касательной) и расстояние от точки до прямой. Пусть окружности с радиусами R1 и R2 имеют следующие координаты центров: с1(х1;у1) и с2(х2;у2). Уравнение прямой записывается таким образом: ах + by + c = 0. Расстояния до прямой от точек с1 и с2 вычисляются таким образом: ах1 + by1 + c = R1 и ах2 + by2 + c = R2. Формула находится с помощью вычитания первого уравнения из второго: а(х2 — х1) + b(y2 — у1) = R2 — R1. Следовательно, расстояние вычисляется по следующей формуле: d = sqrt[(х2 — х1)^2 + (y2 — у1)^2].
Эллипс, гипербола и парабола
Пусть задан эллипс с полуосями a и b.
Его центром является точка с координатами (xц;уц). Уравнение, описывающее фигуру имеет такой вид: [(х — хц)^2 / a^2] + [(y — yц)^2 / b^2] = 1. Необходимо выразить переменную y. Функция будет состоять из двух полуэллипсов: y = (b/a) * sqrt[a^2 — (x-xц)^2] + yц и y = -(b/a) * sqrt[a^2 — (x-xц)^2] + yц. Касательные к геометрической фигуре могут быть параллельными оси ОХ или ОУ.
В некоторых случаях график задан уравнениями кривых, к которым относятся гипербола и парабола. Пусть первая имеет координаты центра (xц;уц) с вершинами (xц+а;уц) и (xц-a;уц). Ее уравнение принимает такой вид: [(х — хц)^2 / a^2] — [(y — yц)^2 / b^2] = 1. Если же ее вершины имеют такие координаты (xц;уц+b) и (xц;уц-b), то она описывается следующим равенством [(х — хц)^2 / a^2] — [(y — yц)^2 / b^2] = -1. В последнем равенстве меняется знак. При решении нужно разбить на две объединенные функции:
В первом случае прямые параллельны оси ординат, а во втором — абсцисс. Чтобы написать уравнение прямой, нужно определить, к какой из функций принадлежит точка, выполнив подстановку в текущие равенства. После этого их следует проверить на тождественность.
Чтобы записать уравнение прямой-касательной к параболе y = ax^2 + bx + c в точке с координатами (x0;y(x0)), нужно привести равенство к следующему виду: y = y'(x0) * (x-x0) + y(x0). Из формулы можно сделать вывод о том, что прямая параллельна оси абсцисс. Параболу нужно рассматривать, как объединение двух функций (x = ay^2 + by + c). Рекомендуется решить его относительно y. Дискриминант вычисляется таким образом: D = b^2 — 4a(c — x).
В зависимости от его значения находятся корни:
Суть сводится к решению обыкновенного квадратного уравнения. Если коэффициент а=1, то корни можно найти по теореме Виета: x1 + x2 = — b и x1 * x2 = c.
Уравнение касательной к графику функции
Из формул (4) и (6) вытекает следующее
Утверждение. Если у функции y = f (x) существует производная в точке x , то к графику функции y = f (x) в точке с координатами (x; f (x)) можно провести касательную, а уравнение этой касательной имеет вид:
y = f′(x) (x – x) + f (x) | (7) |