Как найти тангенс угла если известен только синус?

Тригонометрический круг

Углы в радианах

Для математических вычислений тригонометрических функций используются углы не в градусах, а в радианах. Что такое радиан? Угол в радианах равен отношению длины дуги окружности к радиусу. Полный круг в 360° соответствует длине окружности 2πr. Следовательно 360° в радианах равно 2π, а 180° равно π радиан.

Как преобразовывать градусы в радианы? Нужно значение в градусах разделить на 180° и умножить на π.

Например, для угла 90° будет 90°180°· π = 12π

Чтобы закрепить свои знания и проверить себя, воспользуйтесь онлайн-тренажером для запоминания значений тригонометрических функций.

Нахождение тангенса и котангенса через синус и косинус

\[ tg \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha},\enspace ctg \alpha=\dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \]

Данные тождества образуются из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Ведь если разобраться, то по определению ординатой \( \dfrac{y}{x}=\dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \), а отношение \( \dfrac{x}{y}=\dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \) — будет являться котангенсом.

Добавим, что только для таких углов \( \alpha \), при которых входящие в них тригонометрические функции имеют смысл, будут иметь место тождества \( tg \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \), \( ctg \alpha=\dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \).

Например: \( tg \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \) является справедливой для углов \( \alpha \), которые отличны от \( \dfrac{\pi}{2}+\pi z \), а \( ctg \alpha=\dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \) — для угла \( \alpha \), отличного от \( \pi z \), \( z \) — является целым числом.

Видео

Связь между тангенсом и котангенсом

Уж насколько очевидной кажется связь между ранее рассмотренными тождествами, настолько еще более наглядна связь между тангенсом и котангенсом одного угла.  

• Тождество записывается в следующем виде: tg α * ctg α = 1.

Такое тождество применимо и справедливо при любых углах α, значение которых не равняются π/2 * z, где z — это любое целое число. В противном случае, функции не будут определены.

Как и любое другое, данное тригонометрическое тождество подлежит доказательству. Доказывать его очень просто.

tg α * ctg α = 1.

1. По определению: tg α = y/x ctg α = x/y
2. Отсюда следует, что tg α * ctg α = y/x * x/y = 1
3. Преобразовываем выражение, подставляем  и , получаем:

Получается, что тангенс и котангенс одного угла, при котором они имеют смысл — это взаимно обратные числа.

Если числа a и b взаимно обратные — это значит, что число a — это число, обратное числу b, а число b — это число, обратное числу a. Кроме того, это значит, что числу a обратно число b, а числу b обратно число a. Короче, и так, и эдак.

Какие, какие числа?🤯

Взаимно обратные числа — это два числа, произведение которых равно 1.

Тангенс и косинус, котангенс и синус

Преобразовав основные тождества, приходим к выводу, что тангенс связан через косинус, а котангенс через синус. Это видно по формулам $t{g}^2\alpha +1=\frac{1}{{\cos }^2\alpha }, 1+ct{g}^2\alpha =\frac{1}{{\sin }^2\alpha }$.

Определение звучит так: сумма квадрата тангенса угла и $1$ приравнивается к дроби , где в числителе имеем $1$, а в знаменателе квадрат косинуса данного угла, а сумма квадрата котангенса угла наоборот. Благодаря тригонометрическому тождеству ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$, можно разделить соответствующие стороны на ${\cos }^2\alpha$ и получить $t{g}^2\alpha +1=\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$, где значение ${\cos }^2\alpha$ не должно равняться нулю. При делении на ${\sin }^2\alpha$ получим тождество $1+ct{g}^2\alpha =\frac{1}{{\sin }^2\alpha }$, где значение ${\sin }^2\alpha$ не должно равняться нулю.

Из приведенных выражений получили, что тождество $t{g}^2\alpha +1=\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$ верно при всех значениях угла $\alpha$, не принадлежащих $\frac{\pi }{2}+\pi ·z$, а $1+ct{g}^2\alpha =\frac{1}{{\sin }^2\alpha }$ при значениях $\alpha$, не принадлежащих промежутку $\pi ·z$.

Всё ещё сложно? Наши эксперты помогут разобраться Все услуги

Теги