Как найти слагаемое, вычитаемое, множитель, делитель?

Задачи на неизвестное слагаемое

Задача 1. На столе лежит  9  карандашей: зелёные и  4  синих. Сколько зелёных карандашей лежит на столе?

Решение:

Решение:

9 — 4 = 5.

Ответ:  5  зелёных карандашей лежит на столе.

Задача 2. За два дня Маша прочитала  15  страниц. За первый день она прочитала  9  страниц. Сколько страниц она прочитала за второй день?

Решение:

15 — 9 = 6.

Ответ:  6  страниц.

Задача 3. В парке рабочие сажали деревья — берёзы и дубы. Они посадили  4  ряда берёз, по  3  дерева в каждом ряду. Всего в парке посадили  25  деревьев. Сколько дубов посадили рабочие?

Решение: Первым действием надо посчитать, сколько берёз посадили рабочие. Для этого нужно  3  берёзы умножить на  4,  потому что по  3  берёзы посажены в каждом из  4  рядов:

1) 3 · 4 = 12 (берёз).

Вторым действием нужно из общего количества деревьев вычесть количество берёз:

2) 25 — 12 = 13 (дубов).

В результате вычитания мы узнали, сколько дубов посадили рабочие в парке.

Ответ:  13  дубов.

Правило нахождения неизвестного слагаемого используется для проверки сложения вычитанием.

Видео

Выразить одно через другое

Изучение уравнений по традиции начинается с того, чтобы научиться выражать одно число, входящее в равенство, через ряд других. Давайте не будем нарушать эту традицию и поступим также.

Рассмотрим следующее выражение:

8 + 2

Данное выражение является суммой чисел 8 и 2. Значение данного выражения равно 10

8 + 2 = 10

Получили равенство. Теперь можно выразить любое число из этого равенства через другие числа, входящие в это же равенство. К примеру, выразим число 2.

Чтобы выразить число 2, нужно задать вопрос: «что нужно сделать с числами 10 и 8, чтобы получить число 2». Понятно, что для получения числа 2, нужно из числа 10 вычесть число 8.

Так и делаем. Записываем число 2 и через знак равенства говорим, что для получения этого числа 2 мы из числа 10 вычли число 8:

2 = 10 − 8

Мы выразили число 2 из равенства 8 + 2 = 10. Как видно из примера, ничего сложного в этом нет.

При решении уравнений, в частности при выражении одного числа через другие, знак равенства удобно заменять на слово «есть». Делать это нужно мысленно, а не в самом выражении.

Так, выражая число 2 из равенства 8 + 2 = 10 мы получили равенство 2 = 10 − 8. Данное равенство можно прочесть так:

2 есть 10 − 8

То есть знак = заменен на слово «есть». Более того, равенство 2 = 10 − 8 можно перевести с математического языка на полноценный человеческий язык. Тогда его можно будет прочитать следующим образом:

Число 2 есть разность числа 10 и числа 8

или

Число 2 есть разница между числом 10 и числом 8.

Но мы ограничимся лишь заменой знака равенства на слово «есть», и то будем делать это не всегда. Элементарные выражения можно понимать и без перевода математического языка на язык человеческий.

Вернём получившееся равенство 2 = 10 − 8 в первоначальное состояние:

8 + 2 = 10

Выразим в этот раз число 8. Что нужно сделать с остальными числами, чтобы получить число 8? Верно, нужно из числа 10 вычесть число 2

8 = 10 − 2

Вернем получившееся равенство 8 = 10 − 2 в первоначальное состояние:

8 + 2 = 10

В этот раз выразим число 10. Но оказывается, что десятку выражать не нужно, поскольку она уже выражена. Достаточно поменять местами левую и правую часть, тогда получится то, что нам нужно:

10 = 8 + 2

Пример 2. Рассмотрим равенство 8 − 2 = 6

Выразим из этого равенства число 8. Чтобы выразить число 8 остальные два числа нужно сложить:

8 = 6 + 2

Вернем получившееся равенство 8 = 6 + 2 в первоначальное состояние:

8 − 2 = 6

Выразим из этого равенства число 2. Чтобы выразить число 2, нужно из 8 вычесть 6

2 = 8 − 6

Пример 3. Рассмотрим равенство 3 × 2 = 6

Выразим число 3. Чтобы выразить число 3, нужно 6 разделить 2

Вернем получившееся равенство  в первоначальное со

Вернем получившееся равенство 3 × 2 = 6  в первоначальное состояние:

3 × 2 = 6

Выразим из этого равенства число 2. Чтобы выразить число 2, нужно 6 разделить 3

Пример 4. Рассмотрим равенство 

Пример 4. Рассмотрим равенство Выразим из этого равенства число 15. Чтобы выразит

Выразим из этого равенства число 15. Чтобы выразить число 15, нужно перемножить числа 3 и 5

15 = 3 × 5

Вернем получившееся равенство 15 = 3 × 5 в первоначальное состояние:

Выразим из этого равенства число 5. Чтобы выразить

Выразим из этого равенства число 5. Чтобы выразить число 5, нужно 15 разделить 3

Правила нахождения уменьшаемого

 При поиске уменьшаемого уравнение может выглядеть

При поиске уменьшаемого уравнение может выглядеть следующим образом: x-2=4. Мы имеем разность — результат вычитания и число, которое вычитаем. Необходимо найти уменьшаемое — самое большое число в примере. Формулировка правила: чтобы найти неизвестное уменьшаемое, необходимо к разности прибавить вычитаемое.

Так, если мы вычитаем из неизвестного числа другое число и получаем результат, известный нам, то для поиска уменьшаемого необходимо сложить разность и вычитаемое. Простейший пример: дома были конфеты. Их количество мы не знаем. После того как Дима съел 2 конфеты, их осталось 4. Вопрос: сколько их всего было изначально? Для того чтобы узнать, прибавим 2 к 4 и получим результат — было 6 конфет. Для проверки вычтем 2 из 6. Получим результат 4 — решение верное.

Равносильные уравнения

В предыдущем примере при решении уравнения 3x + 9x + 16x = 56, мы привели подобные слагаемые в левой части уравнения. В результате получили новое уравнение 28x = 56. Старое уравнение 3x + 9x + 16x = 56 и получившееся новое уравнение 28x = 56 называют равносильными уравнениями, поскольку их корни совпадают.

Уравнения называют равносильными, если их корни совпадают.

Проверим это. Для уравнения 3+ 9+ 16= 56 мы нашли корень равный 2. Подставим этот корень сначала в уравнение 3+ 9+ 16= 56, а затем в уравнение 28= 56, которое получилось в результате приведения подобных слагаемых в левой части предыдущего уравнения. Мы должны получить верные числовые равенства

Согласно порядку действий, в первую очередь выполн

Согласно порядку действий, в первую очередь выполняется умножение:

Подставим корень 2 во второе уравнение 28x = 56

Подставим корень 2 во второе уравнение 28= 56

Видим, что у обоих уравнений корни совпадают. Знач

Видим, что у обоих уравнений корни совпадают. Значит уравнения 3+ 9+ 16= 56 и 28= 56 действительно являются равносильными.

Для решения уравнения 3+ 9+ 16= 56 мы воспользовались одним из тождественных преобразований — приведением подобных слагаемых. Правильное тождественное преобразование уравнения позволило нам получить равносильное уравнение 28= 56, которое проще решать.

Из тождественных преобразований на данный момент мы умеем только сокращать дроби, приводить подобные слагаемые, выносить общий множитель за скобки, а также раскрывать скобки. Существуют и другие преобразования, которые следует знать. Но для общего представления о тождественных преобразованиях уравнений, изученных нами тем вполне хватает.

Рассмотрим некоторые преобразования, которые позволяют получить равносильное уравнение

Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число, то получится уравнение равносильное данному.

и аналогично:

Если из обеих частей уравнения вычесть одно и то же число, то получится уравнение равносильное данному.

Другими словами, корень уравнения не изменится, если к обеим частям данного уравнения прибавить (или вычесть из обеих частей) одно и то же число.

Пример 1. Решить уравнение Вычтем из обеих частей уравнения число 10

Вычтем из обеих частей уравнения число 10

Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

Получили уравнение 5x = 10 . Имеем дело с компонен

Получили уравнение 5= 10. Имеем дело с компонентами умножения. Чтобы найти неизвестный сомножитель x, нужно произведение 10 разделить на известный сомножитель 5.

Отсюда .

Отсюда Вернемся к исходному уравнению  и подставим вместо.

Вернемся к исходному уравнению x и подставим вместо x найденное значение 2

Получили верное числовое равенство. Значит уравнен

Получили верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

Решая уравнение 10 мы вычли из обеих частей уравнения число 10. В результате получили равносильное уравнение . Корень этого уравнения, как и уравнения  так же равен 2

Пример 2. Решить уравнение 4(x + 3) = 16

Пример 2. Решить уравнение 4(+ 3) = 16

Раскроем скобки в левой части равенства:

Вычтем из обеих частей уравнения число 12

Вычтем из обеих частей уравнения число 12

Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнен

Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:

4xВ левой части останется 4x, а в правой части число 4

Получили уравнение 4x = 4 . Имеем дело с компонент

Получили уравнение 4= 4. Имеем дело с компонентами умножения. Чтобы найти неизвестный сомножитель x, нужно произведение 4 разделить на известный сомножитель 4

Отсюда 

Отсюда Вернемся к исходному уравнению 4(x + 3) = 16  и по

Вернемся к исходному уравнению 4(+ 3) = 16 и подставим вместо x найденное значение 1

Получили верное числовое равенство. Значит уравнен

Получили верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

Решая уравнение 4(+ 3) = 16 мы вычли из обеих частей уравнения число 12. В результате получили равносильное уравнение 4= 4. Корень этого уравнения, как и уравнения 4(+ 3) = 16 так же равен 1

Пример 3. Решить уравнение

Пример 3. Решить уравнение Раскроем скобки в левой части равенства:

Раскроем скобки в левой части равенства:

Прибавим к обеим частям уравнения число 8

Прибавим к обеим частям уравнения число 8

Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнен

Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:

В левой части останется 2x , а в правой части числ

В левой части останется 2x, а в правой части число 9

В получившемся уравнении 2x = 9  выразим неизвестн

В получившемся уравнении 2= 9 выразим неизвестное слагаемое x

Отсюда 

Отсюда Вернемся к исходному уравнению  и подставим вместо

Вернемся к исходному уравнению x  и подставим вместо x найденное значение 4,5

Получили верное числовое равенство. Значит уравнен

Получили верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

Решая уравнение  мы прибавили к обеим частям уравнения число 8. В результате получили равносильное уравнение . Корень этого уравнения, как и уравнения 4,5 так же равен 4,5

Следующее правило, которое позволяет получить равн

Следующее правило, которое позволяет получить равносильное уравнение, выглядит следующим образом

Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение равносильное данному.

То есть корень уравнения не изменится, если мы перенесем слагаемое из одной части уравнения в другую, изменив его знак. Это свойство является одним из важных и одним из часто используемых при решении уравнений.

Рассмотрим следующее уравнение:

Корень данного уравнения равен 2. Подставим вместо

Корень данного уравнения равен 2. Подставим вместо x этот корень и проверим получается ли верное числовое равенство

Получается верное равенство. Значит число 2 действ

Получается верное равенство. Значит число 2 действительно является корнем уравнения Теперь попробуем поэкспериментировать со слагаемым.

Теперь попробуем поэкспериментировать со слагаемыми этого уравнения, перенося их из одной части в другую, изменяя знаки.

Например, слагаемое 3x располагается в левой части равенства. Перенесём его в правую часть, изменив знак на противоположный:

Получилось уравнение 12 = 9x − 3x . Приведем подоб

Получилось уравнение 12 = 9x − 3x. Приведем подобные слагаемые в правой части данного уравнения:

Имеем дело с компонентами умножения. Переменная x

Имеем дело с компонентами умножения. Переменная x является неизвестным сомножителем. Найдём этот известный сомножитель:

Отсюда x = 2 . Как видим, корень уравнения не изме

Отсюда = 2. Как видим, корень уравнения не изменился. Значит уравнения 12 + 3x = 9x и 12 = 9x − 3x являются равносильными.

На самом деле данное преобразование является упрощенным методом предыдущего преобразования, где к обеим частям уравнения прибавлялось (или вычиталось) одно и то же число.

Мы сказали, что в уравнении 12 + 3x = 9x слагаемое 3x было перенесено в правую часть, изменив знак. В реальности же происходило следующее: из обеих частей уравнения вычли слагаемое 3x

Затем в левой части были приведены подобные слагае

Затем в левой части были приведены подобные слагаемые и получено уравнение 12 = 9x − 3x. Затем опять были приведены подобные слагаемые, но уже в правой части, и получено уравнение 12 = 6x.

Но так называемый «перенос» более удобен для подобных уравнений, поэтому он и получил такое широкое распространение. Решая уравнения, мы часто будем пользоваться именно этим преобразованием.

Равносильными также являются уравнения 12 + 3= 9x и 3x − 9= −12. В этот раз в уравнении 12 + 3= 9x слагаемое 12 было перенесено в правую часть, а слагаемое 9x в левую. Не следует забывать, что знаки этих слагаемых были изменены во время переноса

Следующее правило, которое позволяет получить равн

Следующее правило, которое позволяет получить равносильное уравнение, выглядит следующим образом:

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, то получится уравнение равносильное данному.

Другими словами, корни уравнения не изменятся, если обе его части умножить или разделить на одно и то же число. Это действие часто применяется тогда, когда нужно решить уравнение содержащее дробные выражения.

Сначала рассмотрим примеры, в которых обе части уравнения будут умножаться на одно и то же число.

Пример 1. Решить уравнение При решении уравнений, содержащих дробные выражени

При решении уравнений, содержащих дробные выражения, сначала  принято упростить это уравнение.

В данном случае мы имеем дело именно с таким уравнением. В целях упрощения данного уравнения обе его части можно умножить на 8:

Мы помним, что для умножения дроби на число, нужно

Мы помним, что для умножения дроби на число, нужно числитель данной дроби умножить на это число. У нас имеются две дроби и каждая из них умножается на число 8. Наша задача умножить числители дробей на это число 8

Теперь происходит самое интересное. В числителях и

Теперь происходит самое интересное. В числителях и знаменателях обеих дробей содержится множитель 8, который можно сократить на 8. Это позволит нам избавиться от дробного выражения:

В результате останется простейшее уравнение

В результате останется простейшее уравнение

Ну и нетрудно догадаться, что корень этого уравнен

Ну и нетрудно догадаться, что корень этого уравнения равен 4

Вернемся к исходному уравнению   и подставим вмест

Вернемся к исходному уравнению x   и подставим вместо x найденное значение 4

Получается верное числовое равенство. Значит уравн

Получается верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

При решении данного уравнения мы умножили обе его части на 8. В результате получили уравнение Множитель на который умножаются обе части уравнени. Корень этого уравнения, как и уравнения Множитель на который умножаются обе части уравнени равен 4. Значит эти уравнения равносильны.

Множитель на который умножаются обе части уравнения принято записывать перед частью уравнения, а не после неё. Так, решая уравнение , мы умножили обе части на множитель 8 и получили следующую запись:

От этого корень уравнения не изменился, но если бы

От этого корень уравнения не изменился, но если бы мы сделали это находясь в школе, то нам сделали бы замечание, поскольку в алгебре множитель принято записывать перед тем выражением, с которым он перемножается. Поэтому умножение обеих частей уравнения  на множитель 8 желательно переписать следующим образом:

Пример 2. Решить уравнение 

Пример 2. Решить уравнение Умнóжим обе части уравнения на 15

Умнóжим обе части уравнения на 15

В левой части множители 15 можно сократить на 15,

В левой части множители 15 можно сократить на 15, а в правой части множители 15 и 5 можно сократить на 5

Перепишем то, что у нас осталось:

Перепишем то, что у нас осталось:

Раскроем скобки в правой части уравнения:

Раскроем скобки в правой части уравнения:

Перенесем слагаемое x  из левой части уравнения в

Перенесем слагаемое x из левой части уравнения в правую часть, изменив знак. А слагаемое 15 из правой части уравнения перенесем в левую часть, опять же изменив знак:

Приведем подобные слагаемые в обеих частях, получи

Приведем подобные слагаемые в обеих частях, получим

Имеем дело с компонентами умножения. Переменная x

Имеем дело с компонентами умножения. Переменная x является неизвестным сомножителем. Найдём этот известный сомножитель:

Отсюда 

Отсюда Вернемся к исходному уравнению   и подставим вмест

Вернемся к исходному уравнению x   и подставим вместо найденное значение 5

Получается верное числовое равенство. Значит уравн

Получается верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно. При решении данного уравнения мы умножили обе го части на 15. Далее выполняя тождественные преобразования, мы получили уравнение 10 = 2x. Корень этого уравнения, как и уравнения 5 равен 5. Значит эти уравнения равносильны.

Пример 3. Решить уравнение Умнóжим обе части уравнения на 3

Умнóжим обе части уравнения на 3

В левой части можно сократить две тройки, а правая

В левой части можно сократить две тройки, а правая часть будет равна 18

Останется простейшее уравнение . Имеем дело с комп

Останется простейшее уравнение x. Имеем дело с компонентами умножения. Переменная x является неизвестным сомножителем. Найдём этот известный сомножитель:

Отсюда 

Отсюда Вернемся к исходному уравнению   и подставим вмест

Вернемся к исходному уравнению x   и подставим вместо найденное значение 9

Получается верное числовое равенство. Значит уравн

Получается верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

Пример 4. Решить уравнение Умнóжим обе части уравнения на 6

Умнóжим обе части уравнения на 6

В левой части уравнения раскроем скобки. В правой

В левой части уравнения раскроем скобки. В правой части множитель 6 можно поднять в числитель:

Сократим в обеих частях уравнениях то, что можно с

Сократим в обеих частях уравнениях то, что можно сократить:

Перепишем то, что у нас осталось:

Перепишем то, что у нас осталось:

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

Воспользуемся переносом слагаемых. Слагаемые, соде

Воспользуемся переносом слагаемых. Слагаемые, содержащие неизвестное x, сгруппируем в левой части уравнения, а слагаемые свободные от неизвестных — в правой:

Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

Теперь найдем значение переменной x . Для этого ра

Теперь найдем значение переменной x. Для этого разделим произведение 28 на известный сомножитель 7

Отсюда x = 4.

Отсюда = 4.

Вернемся к исходному уравнению x и подставим вместо x найденное значение 4

Получилось верное числовое равенство. Значит уравн

Получилось верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

Пример 5. Решить уравнение Раскроем скобки в обеих частях уравнения там, где

Раскроем скобки в обеих частях уравнения там, где это можно:

Умнóжим обе части уравнения на 15

Умнóжим обе части уравнения на 15

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

Сократим в обеих частях уравнения, то что можно со

Сократим в обеих частях уравнения, то что можно сократить:

Перепишем то, что у нас осталось:

Перепишем то, что у нас осталось:

Раскроем скобки там, где это можно:

Раскроем скобки там, где это можно:

Воспользуемся переносом слагаемых. Слагаемые, соде

Воспользуемся переносом слагаемых. Слагаемые, содержащие неизвестное, сгруппируем в левой части уравнения, а слагаемые, свободные от неизвестных — в правой. Не забываем, что во время переноса, слагаемые меняют свои знаки на противоположные:

Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнен

Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:

Найдём значение x

Найдём значение x

В получившемся ответе можно выделить целую часть:

В получившемся ответе можно выделить целую часть:

Вернемся к исходному уравнению и подставим вместо

Вернемся к исходному уравнению и подставим вместо x найденное значение 

Получается довольно громоздкое выражение. Воспольз

Получается довольно громоздкое выражение. Воспользуемся переменными. Левую часть равенства занесем в переменную A, а правую часть равенства в переменную B

Наша задача состоит в том, чтобы убедиться равна л

Наша задача состоит в том, чтобы убедиться равна ли левая часть правой. Другими словами, доказать равенство A = B

Найдем значение выражения, находящегося в переменной А.

Значение переменной А  равно . Теперь найдем значе

Значение переменной А равно B. Теперь найдем значение переменной B. То есть значение правой части нашего равенства. Если и оно равно , то уравнение будет решено верно

Видим, что значение переменной B , как и значение

Видим, что значение переменной B, как и значение переменной A равно Теперь попробуем не умножать обе части уравнения н. Это значит, что левая часть равна правой части. Отсюда делаем вывод, что уравнение решено правильно.

Теперь попробуем не умножать обе части уравнения на одно и то же число, а делить.

Рассмотрим уравнение 30+ 14+ 14 = 70− 40+ 42. Решим его обычным методом: слагаемые, содержащие неизвестные, сгруппируем в левой части уравнения, а слагаемые, свободные от неизвестных — в правой. Далее выполняя известные тождественные преобразования, найдем значение x

Подставим найденное значение 2 вместо x  в исходно

Подставим найденное значение 2 вместо x в исходное уравнение:

Теперь попробуем разделить все слагаемые уравнения

Теперь попробуем разделить все слагаемые уравнения 30+ 14+ 14 = 70− 40+ 42 на какое-нибудь число. Замечаем, что все слагаемые этого уравнения имеют общий множитель 2. На него и разделим каждое слагаемое:

Выполним сокращение в каждом слагаемом:

Выполним сокращение в каждом слагаемом:

Перепишем то, что у нас осталось:

Перепишем то, что у нас осталось:

Решим это уравнение, пользуясь известными тождеств

Решим это уравнение, пользуясь известными тождественными преобразованиями:

Получили корень 2 . Значит уравнения 15x + 7x + 7 

Получили корень 2. Значит уравнения 15+ 7+ 7 = 35x − 20+ 21 и 30+ 14+ 14 = 70− 40+ 42 равносильны.

Деление обеих частей уравнения на одно и то же число позволяет освобождать неизвестное от коэффициента. В предыдущем примере когда мы получили уравнение 7= 14, нам потребовалось разделить произведение 14 на известный сомножитель 7. Но если бы мы в левой части освободили неизвестное от коэффициента 7, корень нашелся бы сразу. Для этого достаточно было разделить обе части на 7

Этим методом мы тоже будем пользоваться часто.

Этим методом мы тоже будем пользоваться часто.

Уравнения с умножением и делением

После освоения уравнений на сложение и вычитание можно будет переходить к следующему уровню сложности. Это уравнения с умножением и делением.

Компоненты уравнения с умножением:

  1. Два множителя.
  2. Произведение.

Например, 3*x=6. Здесь 3 и x — множители, а 6 — произведение. Так, умножая одно число на другое, в результате получается произведение. То есть, если одно из этих чисел неизвестно, необходимо разделить произведение на известный множитель. В этом случае действует такое же правило, как и при сложении. При перестановке мест множителей произведение не меняется.

Компоненты уравнения с делением:

  1. Делимое.
  2. Делитель.
  3. Частное.

Возьмём простейший пример 8: x=4. Здесь делимое 8, делитель x, а частное — 4. Для поиска неизвестного делителя необходимо разделить делимое на частное. Для упрощения понимания можно представить это уравнение в виде элементарной задачи. В классе 8 учеников, которые разделились на группы по 4 человека. Вопрос: сколько получилось групп?

Есть ещё один вариант — с поиском делимого. Например, уравнение x:2=5. Для поиска делимого необходимо частное умножить на делитель. Пример задачи: 2 мальчика заработали по 5 долларов каждый, какова общая сумма их заработка?

Между делением и умножением похожая взаимосвязь, как между сложением и вычитанием. То есть для того, чтобы лучше решать уравнения с умножением, необходимо также решать их с делением и наоборот. Этот подход в тренировке навыка решения уравнений ускоряет мыслительный процесс.

Поиск неизвестных компонентов уравнения не такой уж и сложный. Главное — начинать с простого и регулярно решать уравнения с одним неизвестным. И тогда для вас будут открыты более сложные задачи — с двумя и более неизвестными.

Теги

Популярные:

Последние:

Adblock
detector
ang probinsyano april 28 2021 teleseryena.com probinsyano latest episode indian saree nude indianclips4u.com karnataka fucking xnxx assam orgyvideos.info www xxnx indian com blu filam makato.mobi kanada xnxx com force xvideo.com alohaporn.net fmovies .in yagate kimi ni naru hentai hentaimangaz.com energy kyouka!! 2 teachers and students sex videos pornorgy.org shraddha srinath nude رسوم سكس 3gpjizz.info بزاز اختى فلمجنس sexpornosikisx.com سكس طلاب مدارس school girl hardcore hindihdporn.com desi cock sucking sex picture indian pornorado.mobi school life sex stories dvdvilla hollywood pornspider.info self porn 添いカノ~ぎゅっと抱きしめて sakurajav.mobi 長月ラム www.animalsexfun.com porntubemania.net porn telugu sex videos kalighat randi indianpornxvideos.net xxx video india