Содержание материала
Вписанная окружность коротко о главном
Вписанная в треугольник окружность — окружность, которая касается всех (трёх) сторон треугольника.
В любой треугольник можно вписать окружность, причём единственным образом.
Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов треугольника.

Радиусы вписанной окружности, проведенные в точки касания, перпендикулярны сторонам треугольника: \( \displaystyle OL\bot AB\), \( \displaystyle OM\bot BC\), \( \displaystyle OK\bot AC\).

Отрезки от вершин треугольника до точек касания выражаются по формулам:
\( \displaystyle x=\frac{b+c-a}{2}\)\( \displaystyle y=\frac{a+c-b}{2}\)\( \displaystyle z=\frac{a+b-c}{2}\).

Площадь треугольника через радиус вписанной окружности:
\( \displaystyle S=p\cdot r\), где \( \displaystyle p=\frac{a+b+c}{2}\) — полупериметр треугольника, а \( \displaystyle r\) — радиус вписанной окружности.
Вневписанная окружность – окружность, которая касается одной стороны треугольника и продолжений двух других сторон.
Центр вневписанной окружности лежит на пересечении биссектрисы внутреннего угла треугольника (\( \displaystyle \angle A\)) и биссектрис двух внешних углов (\( \displaystyle \angle B\) и \( \displaystyle \angle C\)).

Площадь треугольника через радиус вневписанной окружности:
\( \displaystyle {{S}_{\Delta ABC}}=(p-a)\cdot r\), где \( \displaystyle p=\frac{a+b+c}{2}=AK=AM\) — полупериметр треугольника, а \( \displaystyle r\) — радиус вневписанной окружности.
Видео
Теорема о вписанной окружности
Теорема о вписанной окружности гласит, что в любой треугольник и в любой выпуклый многоугольник и четырехугольник с равными суммами длин противоположных сторон можно вписать окружность, но только одну.
Правило о центре вписанной окружности
Центр окружности при этом будет находиться в точке пересечения биссектрис фигуры. Чтобы определить центр, нужно построить биссектрисы из каждого угла и найти пересечение.
Формула радиуса окружности
Определить способ вычисления проще, отталкиваясь от исходных данных. Далее рассмотрим девять формул разной степени сложности.
Если известна площадь круга
Если известна длина
Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курс подготовки к ЕГЭ по математике (профиль).
Если известен диаметр окружности
Диаметр — отрезок, который соединяет две точки окружности и проходит через центр. Радиус всегда равен половине диаметра.
Если известна диагональ вписанного прямоугольника
R = d : 2, где d — диагональ прямоугольника.
Диагональ вписанного прямоугольник делит фигуру на два прямоугольных треугольника и является их гипотенузой — стороной, лежащей напротив прямого угла. Если диагональ неизвестна, теорема Пифагора поможет её вычислить:
Вневписанная окружность
Ну вот, пора приступать к самому непонятному. Что же это за зверь такой: «вневписанная окружность»? Сначала посмотри на картинку:

Видишь, окружность тоже чего-то касается, но «сидит» как-то снаружи, вне треугольника? Вот поэтому и называется вневписанной.
Окружность называется вневписанной для треугольника, если она касается ОДНОЙ стороны треугольника и продолжений двух других сторон.
А как ты думаешь, сколько у одного треугольника может быть вневписанных окружностей? Вот, представь себе, аж три!
Посмотри, вот так:

Захватывает дух? Насладись впечатлением.
А еще подумай над тем…
- откуда взялся \( \displaystyle \Delta {{O}_{1}}{{O}_{2}}{{O}_{3}}\);
- что это за точка \( \displaystyle O\);
- что это вообще за тьма линий на рисунке.
А сейчас вернёмся к однойкакой-нибудь вневписанной окружности и узнаем всего один, но очень важный факт: