Как найти радиус вписанной окружности

Вписанная окружность коротко о главном

Вписанная в треугольник окружность — окружность, которая касается всех (трёх) сторон треугольника.

В любой треугольник можно вписать окружность, причём единственным образом.

Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов треугольника.

Радиусы вписанной окружности, проведенные в точки касания, перпендикулярны сторонам треугольника: \( \displaystyle OL\bot AB\), \( \displaystyle OM\bot BC\), \( \displaystyle OK\bot AC\).

Отрезки от вершин треугольника до точек касания выражаются по формулам:

\( \displaystyle x=\frac{b+c-a}{2}\)\( \displaystyle y=\frac{a+c-b}{2}\)

\( \displaystyle z=\frac{a+b-c}{2}\).

Площадь треугольника через радиус вписанной окружности: 

\( \displaystyle S=p\cdot r\), где \( \displaystyle p=\frac{a+b+c}{2}\) — полупериметр треугольника, а \( \displaystyle r\) — радиус вписанной окружности.

Вневписанная окружность – окружность, которая касается одной стороны треугольника и продолжений двух других сторон.

Центр вневписанной окружности лежит на пересечении биссектрисы внутреннего угла треугольника (\( \displaystyle \angle A\)) и биссектрис двух внешних углов (\( \displaystyle \angle B\) и \( \displaystyle \angle C\)).

Площадь треугольника через радиус вневписанной окружности:

\( \displaystyle {{S}_{\Delta ABC}}=(p-a)\cdot r\), где \( \displaystyle p=\frac{a+b+c}{2}=AK=AM\) — полупериметр треугольника, а \( \displaystyle r\) — радиус вневписанной окружности.

Видео

Теорема о вписанной окружности

Теорема о вписанной окружности гласит, что в любой треугольник и в любой выпуклый многоугольник и четырехугольник с равными суммами длин противоположных сторон можно вписать окружность, но только одну.

Правило о центре вписанной окружности

Центр окружности при этом будет находиться в точке пересечения биссектрис фигуры. Чтобы определить центр, нужно построить биссектрисы из каждого угла и найти пересечение.

Формула радиуса окружности

Определить способ вычисления проще, отталкиваясь от исходных данных. Далее рассмотрим девять формул разной степени сложности.

Если известна площадь круга

, где S — площадь круга, π — это константа, которая выражает отношение длины окружности к диаметру, она всегда равна 3,14.

Если известна длина

, где C — длина окружности.

Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курс подготовки к ЕГЭ по математике (профиль).

Если известен диаметр окружности

, где D — диаметр.

Диаметр — отрезок, который соединяет две точки окружности и проходит через центр. Радиус всегда равен половине диаметра.

Если известна диагональ вписанного прямоугольника

R = d : 2, где d — диагональ прямоугольника.

Диагональ вписанного прямоугольник делит фигуру на два прямоугольных треугольника и является их гипотенузой — стороной, лежащей напротив прямого угла. Если диагональ неизвестна, теорема Пифагора поможет её вычислить:

, где a, b — стороны вписанного прямоугольника.

Вневписанная окружность

Ну вот, пора приступать к самому непонятному. Что же это за зверь такой: «вневписанная окружность»? Сначала посмотри на картинку:

Видишь, окружность тоже чего-то касается, но «сидит» как-то снаружи, вне треугольника? Вот поэтому и называется вневписанной.

Окружность называется вневписанной для треугольника, если она касается ОДНОЙ стороны треугольника и продолжений двух других сторон.

А как ты думаешь, сколько у одного треугольника может быть вневписанных окружностей? Вот, представь себе, аж три!

Посмотри, вот так:

Захватывает дух? Насладись впечатлением.

А еще подумай над тем…

• откуда взялся \( \displaystyle \Delta {{O}_{1}}{{O}_{2}}{{O}_{3}}\);
• что это за точка \( \displaystyle O\);
• что это вообще за тьма линий на рисунке.

А сейчас вернёмся к однойкакой-нибудь вневписанной окружности и узнаем всего один, но очень важный факт:

Теги