Как найти площадь поверхности шара (сферы)

Теория

Ликбез: Поверхность шара — сфера.

Площадь поверхности шара через радиус

Чему равна площадь поверхности шара S_пов, если его радиус r:

Пример

Для примера посчитаем какая площадь поверхности у шара, если его радиус r = 3 см:

S_пов = 4 ⋅ 3.14 ⋅ 3² = 12.56 ⋅ 9 = 113.04 см²

Площадь поверхности шара через диаметр

Чему равна площадь поверхности шара S_пов, если его диаметр d?

Пример

Для примера посчитаем какая площадь поверхности у шара, если его диаметр d = 6 см:

S_пов = 3.14 ⋅ 6² = 3.14 ⋅ 36 = 113.04 см²

Площадь поверхности шара через длину окружности

Чему равна площадь поверхности шара S_пов, если длина его окружности L?

Пример

Для примера посчитаем чему равна площадь поверхности шара, имеющего длину окружности L = 10 см:

S_пов = 10² ⁄ 3.14 ≈ 31.85 см²

Видео

Площадь прямоугольного параллелепипеда

Формула площади поверхности прямоугольного параллелепипеда:

S = 2(a · b + a · h + b · h )

где S – площадь прямоугольного параллелепипеда, a – длина, b – ширина, h – высота.Смотрите также онлайн калькулятор для расчета площади прямоугольного параллелепипеда

Примеры вычисления объема шара, через радиус и диаметр шара: описание

Задача 1.

Радиус шара равен 10 см. Найди его объем.

Задача 2.

Диаметр шара равен 10 см. Найди его объем.

Задача 3.

Соотношение диаметра Луны и диаметра Земли 1:4. Во сколько раз объем Земли больше объема Луны?

Решение:

Ответ: в 64 раза.

Важно: существует множество онлайн калькуляторов, позволяющих быстро найти заданную величину. Например, сервис Webmath.

Формула площади поверхности шара по радиусу шара

$S=4\cdot \pi \cdot R^2$S=4⋅π⋅R2

$R$R — радиус шара.

Пример

Шар вписан в куб, диагональ которого $d$d равна $\sqrt{300}$3​ (см.). Найти площадь поверхности шара.

Решение

$d=\sqrt{300}$d=3​

Первым шагом в решении задачи будет нахождение длины стороны куба. Обозначим ее через $a$a. Тогда, по теореме Пифагора:

$d^2=a^2+a^2+a^2$d2=a2+a2+a2

$d^2=3\cdot a^2$d2=3⋅a2

$a=\frac{d}{\sqrt{3}}$a=3​d​

$a=\frac{\sqrt{300}}{\sqrt{3}}=\sqrt{100}=10$a=3​3​​=1​=1

Радиус шара, вписаного в куб равен половине стороны этого куба:

$R=\frac{a}{2}=\frac{10}{2}=5$R=2a​=21​=5

Тогда площадь поверхности шара:

$S=4\cdot \pi \cdot R^2=4\cdot \pi \cdot 5^2\approx 314$S=4⋅π⋅R2=4⋅π⋅52≈314 (см. кв.)

Ответ: 314 см. кв.

Формула вычисления площади шара/сферы через радиус и диаметр

Руководствуясь пройденным ранее алгоритмом, аналогично выведем формулу для вычисления площади сферы. Начнем с некой сферы. Обозначим ее центральную точку за О. Пусть радиус является некоторым положительным числом R.

Далее опишем около данной сферы многогранник с n гранями. Предположим, что площадью n-й грани является S_{i} при i \in N, i \leq n. По предыдущему примеру соединим центральную точку сферы с каждой вершиной многогранника. В результате образуются пирамиды в количестве n.

Вычислить объем n-й пирамиды можно таким образом:

$V_i=\frac{1}{3}{S}_i·R$

Тогда объем многогранника составит:

$V_{мн}=V_1+\dots +V_n=\frac{1}{3}(S_1+\dots +S_n)·R$

В том случае, когда $n\to \infty$, получим, что:

$V_{мн}\to V_{шар}$

В результате общая площадь граней многогранника аналогичным образом стремится к площади сферы. Запишем следующее равенство:

$V=\frac{1}{3}R·S_{сф.}$

Таким образом:

$S_{сф.}=\frac{3V}{R}$

Выполним подстановку выражения $V=\frac{4}{3}\pi R^3$ в записанное равенство:

$S_{сф.}=\frac{3V}{R}=\frac{3·\frac{4}{3}\pi R^3}{R}=4\pi R^2$

Формула 2

Формула для определения площади сферы при известном радиусе R: Sсф.=4πR2

Формула 3

Затем выведем формулу для площади сферы, которую можно вычислить, зная диаметр: S=4πr2=πd2

Формула 4

Формула для определения площади сферы при известном диаметре d: Sсф.=πd2

В процессе решения задач пригодится уравнение сферы в прямоугольной системе координат. Выглядит оно таким образом:

$(x—x_{}{)}^2+(y—y_{}{)}^2+(z—z_{}{)}^2=R^2$

Здесь $(x_{},y_{},z_{})$ являются координатами центра сферы, R обозначает радиус сферы.

Допустим, что центр сферы совпадает с точкой, которая имеет следующие координаты:

$(x_{},y_{},z_{})$

Запишем параметрическое уравнение сферы:

Здесь соблюдены следующие условия:

$\theta \in [,\pi ]$

$\varphi \in [,2\pi ).$

Заметим, что гауссова кривизна сферы является постоянной величиной и определяется, как:

$\frac{1}{R^2}$

Представим, что в пространстве расположены 4 точки с координатами:

$M_1(x_1,y_1,z_1) ; M_2(x_2,y_2,z_2) ; M_3(x_3,y_3,z_3) ; M_4(x_4,y_4,z_4)$

Используя рассматриваемые точки, допустимо построить только одну сферу с центром:

$x_{}=\frac{1}{2}·\frac{A_x—B_x+C_x—D_x}{U+V+W}$

$y_{}=\frac{1}{2}·\frac{A_y—B_y+C_y—D_y}{U+V+W}$

$z_{}=\frac{1}{2}·\frac{A_z—B_z+C_z—D_z}{U+V+W}$

При этом:

$U=(z_1—z_2)(x_3{y}_4—x_4{y}_3)—(z_2—z_3)(x_4{y}_1—x_1{y}_4)$

$V=(z_3—z_4)(x_1{y}_2—x_2{y}_1)—(z_4—z_1)(x_2{y}_3—x_3{y}_2)$

$W=(z_1—z_3)(x_4{y}_2—x_2{y}_4)—(z_2—z_4)(x_1{y}_3—x_3{y}_1)$

$A_x=(x_1^2+y_1^2+z_1^2)\left[y_2\right(z_3—z_4)+y_3(z_4—z_2)+y_4(z_2—z_3\left)\right]$

$B_x=(x_2^2+y_2^2+z_2^2)\left[y_3\right(z_4—z_1)+y_4(z_1—z_3)+y_1(z_3—z_4\left)\right]$

$C_x=(x_3^2+y_3^2+z_3^2)\left[y_4\right(z_1—z_2)+y_1(z_2—z_4)+y_2(z_4—z_1\left)\right]$

$D_x=(x_4^2+y_4^2+z_4^2)\left[y_1\right(z_2—z_3)+y_2(z_3—z_1)+y_3(z_1—z_2\left)\right]$

$A_y=(x_1^2+y_1^2+z_1^2)\left[z_2\right(x_3—x_4)+z_3(x_4—x_2)+z_4(x_2—x_3\left)\right]$

$B_y=(x_2^2+y_2^2+z_2^2)\left[z_3\right(x_4—x_1)+z_4(x_1—x_3)+z_1(x_3—x_4\left)\right]$

$C_y=(x_3^2+y_3^2+z_3^2)\left[z_4\right(x_1—x_2)+z_1(x_2—x_4)+z_2(x_4—x_1\left)\right]$

$D_y=(x_4^2+y_4^2+z_4^2)\left[z_1\right(x_2—x_3)+z_2(x_3—x_1)+z_3(x_1—x_2\left)\right]$

$A_z=(x_1^2+y_1^2+z_1^2)\left[x_2\right(y_3—y_4)+x_3(y_4—y_2)+x_4(y_2—y_3\left)\right]$

$B_z=(x_2^2+y_2^2+z_2^2)\left[x_3\right(y_4—y_1)+x_4(y_1—y_3)+x_1(y_3—y_4\left)\right]$

$C_z=(x_3^2+y_3^2+z_3^2)\left[x_4\right(y_1—y_2)+x_1(y_2—y_4)+x_2(y_4—y_1\left)\right]$

$D_z=(x_4^2+y_4^2+z_4^2)\left[x_1\right(y_2—y_3)+x_2(y_3—y_1)+x_3(y_1—y_2\left)\right]$

Определить радиус рассматриваемой сферы можно таким образом:

$R=\sqrt{(x_1—x_{}{)}^2+(y_1—y_{}{)}^2+(z_1—z_{}{)}^2}$

При известном радиусе достаточно просто рассчитать площадь сферы:

$S=4\pi r^2=\pi d^2$

Одиннадцать свойств

В своей книге «Геометрия и воображение» Дэвид Гилберт и Стефан Кон-Фоссен описывают свойства сферы и обсуждают, однозначны ли такие характеристики. Несколько пунктов справедливы и для плоскости, которую можно представить как шар с бесконечным радиусом:

1. Точки на сфере находятся на одинаковом расстоянии от одной фиксированной, называемой центром. Можно сделать единственный вывод: это обычное определение и оно однозначно. А также отношение расстояний между двумя фиксированными точками является постоянным. И здесь прослеживается аналогия с окружностями Аполлония, то есть с фигурами в плоскости.
2. Контуры и плоские участки сферы являются кругами. Это однозначное свойство, которое определяет шар.
3. Сфера имеет постоянную ширину и обхват. Ширина поверхности — это расстояние между парами параллельных касательных плоскостей. Множество других замкнутых выпуклых поверхностей имеют постоянную ширину, например, тело Мейснера. Обхват поверхности — это окружность границы её ортогональной проекции на плоскость. Каждое из этих свойств подразумевает другое.
4. Все точки сферы омбилические. В любой точке поверхности вектор нормали расположен под прямым углом к ней, поскольку шар — это линии, выходящие из его центра. Пересечение плоскости, которая содержит нормаль с поверхностью, сформирует кривую — нормальное сечение. Любая замкнутая поверхность будет иметь как минимум четыре точки, называемых омбилическими. Для сферы кривизны всех нормальных сечений одинаковы, поэтому омбилической будет каждая точка.
5. У шара нет центра поверхности. Например, два центра, соответствующие минимальной и максимальной секционной кривизне, называются фокальными точками, а совокупность всех таких точек образует одноимённую поверхность. И только у шара она преобразуется в единую точку.
6. Все геодезические сферы являются замкнутыми кривыми. Для этой фигуры они большие круги. Многие другие поверхности разделяют это свойство.
7. Имеет наименьшую площадь при наибольшем объёме. Это определяет шар однозначно. Например, мыльный пузырь: его окружает фиксированный объём, поверхностное натяжение минимизирует площадь его поверхности для такого объёма. Конечно, пузырь не будет идеальным шаром, поскольку внешние силы, такие как гравитация, будут искажать его форму.
8. Сфера — единственная вложенная поверхность, у которой нет границы или сингулярностей с постоянной положительной средней кривизной.
9. Сфера имеет наименьшую общую среднюю кривизну среди всех выпуклых тел с заданной площадью поверхности.
10. Шар имеет постоянную гауссову кривизну. Это внутреннее свойство, которое определяется путём измерения длины и углов и не зависит от того, как поверхность встроена в пространство.

Сфера превращается в себя трёхпараметрическим семейством жёстких движений. Любое вращение вокруг линии, проходящей через начало координат, может быть выражено как комбинация вращений вокруг трёхкоординатной оси.

Теги