Содержание материала
Свойства квадрата
- Длины всех сторон квадрата равны.
- Все углы квадрата прямые.
- Диагонали квадрата равны.
- Диагонали пересекаются под прямым углом.
- Диагонали квадрата являются биссектрисами углов.
- Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам.
Изложеннные свойства изображены на рисунках ниже:
      |
Видео
Диагональ квадрата
Определение. Диагональю квадрата называется любой отрезок, соединяющий две вершины противоположных углов квадрата.Диагональ любого квадрата всегда больше его стороны в√2 раз.Формулы определения длины диагонали квадрата
1. Формула диагонали квадрата через сторону квадрата:d = a·√2
2. Формула диагонали квадрата через площадь квадрата:d = √2S
3. Формула диагонали квадрата через периметр квадрата:| d = | P |
| 2√2 |
d = 2R
5. Формула диагонали квадрата через диаметр описанной окружности:d = Dо
6. Формула диагонали квадрата через радиус вписанной окружности:d = 2r√2
7. Формула диагонали квадрата через диаметр вписанной окружности:d = Dв√2
8. Формула диагонали квадрата через длину отрезка l : d = l 2√10 5
Формула вычисления сторон квадрата через радиус вписанной окружности
Из формулы (3) найдем a. Получим формулу вычисления стороны квадрата через радиус вписанной окружности:
 | (4) |
Пример 3. Радиус вписанной в квадрат окружности равен r=12. Найти сторону квадрата.
Решение. Для нахождения стороны квадраиа воспользуемся формулой (4). Подставляя r=12 в (4), получим:
 |
Ответ: 
Окружность описанная вокруг квадрата
Определение. Кругом описанным вокруг квадрата называется круг проходящий через четыре вершины квадрата и имеющий центр на пересечении диагоналей квадрата.Радиус окружности описанной вокруг квадрата всегда больше радиуса вписанной окружности в√2 раз.
Радиус окружности описанной вокруг квадрата равен половине диагонали.
Площадь круга описанного вокруг квадрата большая площадь того же квадрата в π/2 раз.
Формулы определения радиуса окружности описанной вокруг квадрата
1. Формула радиуса окружности описанной вокруг квадрата через сторону квадрата:| R = a | √2 |
| 2 |
| R = | P |
| 4√2 |
| R = | √2S |
| 2 |
| R = | d |
| 2 |
| R = | Dо |
| 2 |
R = r √2
7. Формула радиуса круга описанного вокруг квадрата через диаметр вписанной окружности:| R = Dв | √2 |
| 2 |
8. формула радиуса круга описанного вокруг квадрата через длину отрезка l : R = l √10 5
Если известна длина стороны
Умножаем ее на то же число или возводим в квадрат.
S = a × a = a2, где S — площадь, a — сторона.
Эту формулу проходят в 3 классе. Остальные формулы третьеклассникам знать пока не нужно, но они пригодятся ученикам 8 класса.
Свойства квадрата:
1. Длины всех сторон равны.
Рис. 3. Квадрат
AB = BC = CD = AD
2. Противоположные стороны квадрата параллельны.
Рис. 4. Квадрат
AB||CD, BC||AD
3. Все углы квадрата прямые. Каждый из них равен 90°.
Рис. 5. Квадрат
∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°
4. Сумма углов квадрата равна 360 градусам.
∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°.
5. Диагонали квадрата равны между собой.
Рис. 6. Квадрат
AC = BD
6. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны. 
Рис. 7. Квадрат
AC ┴ BD
7. Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам.
Рис. 8. Квадрат
BO = OD = AO = OC
8. Угол между диагональю и стороной квадрата равен 45 градусам.
Рис. 9. Квадрат
∠BCA = ∠ACD = ∠DAC = ∠CAB = 45°
9. Диагонали квадрата являются биссектрисами углов и делят углы пополам.
Рис. 10. Квадрат
∠ABD = ∠DBC = ∠BCA = ∠ACD = ∠CDB = ∠BDA = ∠DAC = ∠CAB = 45°
10. Каждая из диагоналей делит квадрат на два равных равнобедренных прямоугольных треугольника.
Обе диагонали делят квадрат на 4 равных равнобедренных прямоугольных треугольника.
Рис. 11. Квадрат
△ABD = △CBD = △ABC = △ACD,
△AOB = △BOC = △COD = △AOD
11. Точка пересечения диагоналей называется центром квадрата и также является центром вписанной и описанной окружности.
Рис. 12. Квадрат