Как найти периметр трапеции? Ответ на

Советы

  • Для специальных прямоугольных треугольников (треугольник 30-60-90 или треугольник 90-45-45 ) существуют формулы, при помощи которых можно найти неизвестные стороны без использования функции синуса или теоремы Пифагора.
  • Чтобы найти синус угла, воспользуйтесь научным калькулятором – введите угол, а затем нажмите клавишу SIN. Или используйте тригонометрические таблицы.

Решение задач о прямоугольной трапеции

Прямоугольной называют трапецию, у которой углы при одной из боковых сторон равны 90. Рассмотрим пример, как найти боковую сторону трапеции, если известны три другие стороны.

Задача Даны три стороны, одна из которых перпендикулярная боковая

Допустим, нам дана прямоугольная трапеция АВСД, у которой АВ перпендикулярно ВС. Известно, что АВ = 12 см, ВС = 1 см, АД = 6 см. Необходимо найти большую боковую сторону.

Решение:

Из точки С опускаем проводим высоту СК и получаем прямоугольный треугольник СДК и прямоугольник АВСК. Поскольку у прямоугольника противоположные стороны равны СК = АВ = 12 см, а АК = ВС = 1 см.

Находим отрезок КД:

  • КД = АД – АК = 6 – 1 = 5 (см)

Согласно теореме Пифагора:

  • СД2=СК2+КД2=122+52=144+25=169
  • СД = √169 = 13 (см)

Ответ: СД = 13 см

Задача Даны оба основания и угол при основании

Дана трапеция АВСД, у которой основания ВС и АД равны 6 и 10 см соответственно, угол ВАД – прямой, а СДА равен 45 градусов. Найдите меньшую боковую сторону.

  1. Проводим высоту СК и получаем прямоугольный треугольник СКД и прямоугольник АВСК. Поскольку у прямоугольника противоположные стороны равны АК = ВС = 6 см.
  2. КД = АД – АК = 10 – 6 = 4 см
  3. cos 45 = √2/2 = КД / СД, отсюда СД = КД / cos 45
  4. Получаем СД = 4/√2/2 = 4√2 (см)

Ответ: СД = 4√2 см

Видео

Высота трапеции через стороны

Высота трапеции через стороны рассчитывается по формуле: $h = sqrt{b^2 – (frac{(a – d)^2 + b^2 – c^2}{2 cdot (a – d)})^2}$, где $a$ — основание большего размера; $d$ — основание меньшего размера; $b$ — первая боковая сторона; $c$ — вторая боковая сторона.

Пример 1

Задача Дана трапеция с основаниями $a$ и $d$, равными $4.5$ и $2.5$ см и боковыми сторонами $b, c$, равными $2$ и $2sqrt2$ см. Найдите, чему равна высота трапеции $h$. Решение: Воспользуемся вышеприведённой формулой: $h = sqrt{2^2 – (frac{(4.5 – 2.5)^2 + 2^2 – (2sqrt2)^2}{2 cdot (4.5 — 2.5)})^2} = sqrt{4 – (frac{4 + 4 — 8}{4}} = 2$ см. Проверим полученное значение с помощью онлайн-калькулятора. Результат совпадает, а значит, задача решена верно.

Средняя линия трапеции

Определение. Средняя линия — отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции.

Формулы определения длины средней линии трапеции:

1. Формула определения длины средней линии через длины оснований:
m = a + b
2

2. Формула определения длины средней линии через площадь и высоту: m  = S h

Способы нахождений периметра

Рассмотрим способы, с помощью которых можно найти сумму длин всех сторон данного четырехугольника.

По сторонам равнобедренной трапеции

Если нам известны ребра этого четырехугольника с одинаковыми боковыми сторонами, то находить ее P можно по следующей формуле:

\(P=2\times a+b+c\)

или

\(P=2\times c+a+b\)

Через среднюю линию

Так как средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований, то формулу P можно выразить так:

\(P=2\times l+AB+CD\)

где l — средняя линия фигуры.

Диагонали трапеции

Формулы определения длины диагоналей трапеции:

1. Формулы диагоналей по теореме косинусов:

d1 = √a2 + d2 — 2ad·cos β

d2 = √a2 + c2 — 2ac·cos α

2. Формулы диагоналей через четыре стороны:
d1 =  d 2 + ab —  a(d 2c2)
ab
d2 =  c2 + ab —  a(c2d 2)
ab
3. Формула длины диагоналей через высоту:

d1 = √h2 + (ah · ctg β)2 = h2 + (b + h · ctg α)2

d2 = √h2 + (ah · ctg α)2 = h2 + (b + h · ctg β)2

4. Формулы длины диагонали через сумму квадратов диагоналей: d 1 = √c 2 + d 2 + 2ab — d 22 d 2 = √c 2 + d 2 + 2ab — d 12

Примеры вычисления периметра трапеции

Пример

Задание. Найти периметр трапеции $ABCD$ со сторонами $AB=1,5$ см, $BC=2$ см, $CD=1$ см, $AD=3$ см. Решение. Для нахождения периметра трапеции $ABCD$ воспользуемся формулой $$P_{\Delta A B C D}=A B+B C+C D+A D$$ Подставляя в неё заданные в условии длины сторон, получим: $P_{\Delta A B C D}=1,5+2+1+3=7,5$ (см) Ответ. $P_{\Delta A B C D}=7,5$ (см) Все формулы периметров Калькулятор периметра трапеции

                                    Мы помогли уже

Мы помогли уже 4 372 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут! Узнать стоимость

Пример

Задание. Заданна равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $BC=3$ см, $AD=7$ см и высотой $BK=2 \sqrt{3}$ см. Найти периметр заданной трапеции. Решение. Сделаем рисунок. Опустим высоту $CN$. Полученный в результате четырехугольник $BCKN$ является прямоугольником, поэтому $BC=KN$. Треугольники $\Delta A B K \quad$ и $\quad \Delta N C D$ — прямоугольные и равны между собой. Тогда $AK=ND$. Найдем чему равно $AK$: $A K=(A D-B C): 2 \Rightarrow A K=(7-3): 2=2$ (см) Из $\Delta ABK$ по теореме Пифагора найдем боковую сторону $AB$ трапеции: $=\sqrt{12+4}=\sqrt{16}=4$ (см) Тогда периметр рассматриваемой равнобокой трапеции $P_{\Delta A B C D}=2 \cdot 4+3+7=18$ (см) Ответ. $P_{\Delta A B C D}=18$ (см)

Читать дальше: как найти периметр ромба.

Теги

Популярные:

Последние:

Adblock
detector