Содержание материала
- Нахождение области определения функции
- Видео
- Область определения показательной функции
- Ограничение области определения
- Рассмотрим пример нахождения области определения функции с корнем четной степени:
- Области определения основных элементарных функций
- Область определения логарифма с переменной в основании
- Область определения тригонометрических функций
- Область определения обратных тригонометрических функций
- Сложные функции х и y и их область определения и значения
- Область определения постоянной
Нахождение области определения функции
Схема нахождения области определения функций:
- Если
представляет собой многочлен, то областью определения функции
будет множество всех действительных чисел.
- Если
— рациональная дробь, то областью является множество всех действительных чисел кроме тех значений
, при которых знаменатель равен нулю.
- Если функция имеет вид
, то областью определения будет множество решений неравенства
.
- Если функция имеет вид
, где
некоторый многочлен, то областью определения будет множество решений неравенства
.
- Область определения суммы, разности или произведения двух или нескольких функций есть пересечение областей определений этих функций, для её отыскания составляется и затем решается система соответствующих условий.
- Для логарифмической функции
(
) областью определения есть интервал
.
Видео
Область определения показательной функции
Показательную функцию можно задать формулой y = ax, где переменная x — показатель степени, а — больше нуля и не равно единице.
Область определения показательной функции — это множество R.
Примеры показательных функций:
- y = ex
- y = (√15)x
- y = 13x.
Область определения каждой из них (−∞, +∞).
Ограничение области определения
Область определения рассматривается еще в школьной курсе. у действительных чисел она может быть или такой . Еще по виду функции можно визуально определить ее ОДЗ. Рассмотрим, на что может указывать наличие области определения:
при имеющемся знаменателе необходимо производить деление такого типа функции как y=x+2·xx4-1; при наличии переменной под знаком корня необходимо обращать внимание на корень четной степени типа y=x+1 или y=23·x+3x; при наличии переменной в основании степени с отрицательным или нецелым показателем такого типа, как y=5·(x+1)-3, y=-1+x113, y=(x3-x+1)2, которые определены не для всех чисел; при наличии переменной под знаком логарифма или в основании вида y=lnx2+x4 или y=1+logx-1(x+1) причем основание является числом положительным, как и число под знаком логарифма; при наличии переменной, находящейся под знаком тангенса и котангенса вида y=x3+tg2·x+5 или y=ctg(3·x3-1), так как они существуют не для любого числа; при наличии переменной, расположенной под знаком арксинуса или арккосинуса вида y=arcsin(x+2)+2·x2, y=arccosx-1+x, область определения которых определяется ни интервале от -1 до 1.
При отсутствии хотя бы одного признака, область определения приходится искать другим образом. Рассмотрим пример функции вида . Видно, что никаких ограничений она не имеет, так как в знаменателе нет переменной.
Рассмотрим пример нахождения области определения функции с корнем четной степени:
Так как квадратный корень мы можем извлечь только из неотрицательного числа, следовательно, функция под корнем — неотрицательна.
2х — 8 ≥ 0
Решим простое неравенство:
2х — 8 ≥ 0 → 2х ≥ 8 → х ≥ 4
Заданная функция существует только при найденных значениях х ≥ 4 или D(f)=[4;+∞) или x∈[4;+∞).
На графике видим, что функция существует для найденных значений х : х ≥ 4 или D(f)=[4;+∞) или x∈[4;+∞).
При попытке подставить вместо х значения, отличные от найденных, под корнем получим отрицательное число, те в этих точках функция не существует.
Вывод:
Если заданная функция содержит квадратный корень (или корень любой четной степени), то обязательно накладывается условие неотрицательности (≥0) на подкоренное выражение. Если квадратный корень находится в знаменателе функции, у которой мы находим область определения, то на подкоренное выражение накладывается условие положительности (>0), так как знаменатель всегда должен быть отличен от нуля.
Области определения основных элементарных функций
Область определения функции — неотъемлемая часть самой функции. Когда мы вводим какую-либо функцию, то сразу указываем ее область определения.
На уроках алгебры мы последовательно знакомимся с каждой функцией: прямая пропорциональность, линейная функция, функция y = x2 и другие. А области их определения изучаем, как свойства.
Рассмотрим области определения основных элементарных функций.
Область определения логарифма с переменной в основании
Определение логарифма существует для положительных оснований не равных 1. Отсюда видно, что функция y=logf2(x)f1(x) имеет область определения, которая выглядит так: x∈D(f1)f1(x)>x∈D(f2)f2(x)>f2(x)≠1
А аналогичному заключению можно прийти, когда функцию можно изобразить в таком виде:
. После чего можно приступать к области определения дробной функции.
Область определения логарифмической функции – это множество действительных положительных чисел, тогда области определения сложных функций типа и можно определить из получившейся системы вида и . Иначе эту область можно записать в виде , что означает нахождение из самой системы вида
Обозначить область определения функции y=log2·x(x2-6x+5). Решение Следует принять обозначения f1(x)=x2−6·x+5 и f2(x)=2·x, отсюда D(f1)=(−∞, +∞) и D(f2)=(−∞, +∞). Необходимо приступить к поиску множества x, где выполняется условие x∈D(f1), f1(x)>, x∈D(f2), f2(x)>, f2(x)≠1. Тогда получаем систему вида x∈(-∞, +∞)x2-6x+5>x∈(-∞, +∞)2·x>2·x≠1⇔x∈(-∞, +∞)x∈(-∞, 1)∪(5, +∞)x∈(-∞, +∞)x>x≠12⇔⇔x∈, 12∪12, 1∪(5, +∞) Отсюда видим, что искомой областью функции y=log2·x(x2-6x+5) считается множнство, удовлетворяющее условию , 12∪12, 1∪(5, +∞). Ответ: , 12∪12, 1∪(5, +∞).
Область определения тригонометрических функций
Подробнее о свойствах и графиках таких функций.
Область определения функции y = sin(x) — множество R действительных чисел.
Область определения функции y = cos(x) — так же множество R действительных чисел.
Область определения функции y = tg(x) — множество R действительных чисел, кроме чисел .
Область определения функции y = ctg(x) — множество R действительных чисел, кроме чисел .
Пример 9. Найти область определения функции .
Решение. Внешняя функция — десятичный логарифм и на область её определения распространяются условия области определения логарифмической функции вообще. То есть, её аргумент должен быть положительным. Аргумент здесь — синус «икса». Пользуясь тригонометической таблицей (или поворачивая воображаемый циркуль по окружности), видим, что условие sin x > 0 нарушается при «иксе» равным нулю, «пи», два, умноженном на «пи» и вообще равным произведению числа «пи» и любого чётного (2kπ) или нечётного целого числа ((2k+1)π).
Таким образом, область определения данной функции задаётся выражением
,
где k — целое число.
Область определения обратных тригонометрических функций
Подробнее о свойствах и графиках таких функций.
Область определения функции y = arcsin(x) — множество [-1; 1].
Область определения функции y = arccos(x) — так же множество [-1; 1].
Область определения функции y = arctg(x) — множество R действительных чисел.
Область определения функции y = arcctg(x) — так же множество R действительных чисел.
Пример 10. Найти область определения функции .
Решение. Решим неравенство:
Решение получили, основываясь на свойстве неравенств: если все части верного неравенства умножить на одно и то же положительное число, то получится также верное неравество. В данном случае умножали на 4.
Таким образом, получаем область определения данной функции — отрезок [- 4; 4].
Пример 11. Найти область определения функции .
Решение. Решим два неравенства:
Решение первого неравенства:
Решение получили, основываясь на свойстве неравенств: если обе части верного неравенства умножить на одно и то же отрицательное число изменить знак неравенства на противоположный, то получится верное неравенство. В данном случае умножали на минус 2.
Аналогично и решение второго неравенства:
Таким образом, получаем область определения данной функции — отрезок [0; 1].
Сложные функции х и y и их область определения и значения
Сложная функция имеет следующий вид: \[\mathrm{y}=f_{1}\left(f_{2}(\mathrm{k})\right)\]
D (f) — множество значений;
Пересечение двух множеств и будет являться областью определения функции сложного типа.
\[\mathrm{k} \in D\left(f_{2}\right) \text {и } D f_{2}(x) \in D\left(f_{1}\right)\]Примеры:
\[y=\ln x^{2}\]Представим функцию в виде: \[\mathrm{y}=f_{1}\left(f_{2}(\mathrm{k})\right)\]

Используем изученные в данном уроке области определения:

Исходя из этого получаем систему неравенства:

Ответ: все действительные числа, кроме нуля.
Область определения постоянной
Постоянная (константа) определена при любых действительных значениях x, следовательно, данная функция определена на всём множестве R действительных чисел. Это можно записать и так: областью определения данной функции является вся числовая прямая ]- ∞; + ∞[.
Пример 20. Найти область определения функции y = 2.
Решение. Область определения функции не указана, значит, в силу выше приведённого определения имеется в виду естественная область определения. Выражение f(x) = 2 определено при любых действительных значениях x, следовательно, данная функция определена на всём множестве R действительных чисел.

Поэтому на чертеже сверху числовая прямая заштрихована на всём протяжении от минус бесконечности до плюс бесконечности.