Как найти область определения функции?

Нахождение области определения функции

Схема нахождения области определения функций:

1. Если представляет собой многочлен, то областью определения функции будет множество всех действительных чисел.
2. Если — рациональная дробь, то областью является множество всех действительных чисел кроме тех значений , при которых знаменатель равен нулю.
3. Если функция имеет вид , то областью определения будет множество решений неравенства .
4. Если функция имеет вид , где некоторый многочлен, то областью определения будет множество решений неравенства .
5. Область определения суммы, разности или произведения двух или нескольких функций есть пересечение областей определений этих функций, для её отыскания составляется и затем решается система соответствующих условий.
6. Для логарифмической функции () областью определения есть интервал .

Видео

Область определения показательной функции

Показательную функцию можно задать формулой y = a^x, где переменная x — показатель степени, а — больше нуля и не равно единице.

Область определения показательной функции — это множество R.

Примеры показательных функций:

• 
• y = e^x
• y = (√15)^x
• y = 13^x.

Область определения каждой из них (−∞, +∞).

Ограничение области определения

Область определения рассматривается еще в школьной курсе. у действительных чисел она может быть $(, +\infty )$ или такой $[-3, 1)\cup [5, 7)$. Еще по виду функции можно визуально определить ее ОДЗ. Рассмотрим, на что может указывать наличие области определения:

при имеющемся знаменателе необходимо производить деление такого типа функции как y=x+2·xx4-1; при наличии переменной под знаком корня необходимо обращать внимание на корень четной степени типа y=x+1 или y=23·x+3x; при наличии переменной в основании степени с отрицательным или нецелым показателем такого типа, как y=5·(x+1)-3, y=-1+x113, y=(x3-x+1)2, которые определены не для всех чисел; при наличии переменной под знаком логарифма или в основании вида y=lnx2+x4 или y=1+logx-1(x+1) причем основание является числом положительным, как и число под знаком логарифма; при наличии переменной, находящейся под знаком тангенса и котангенса вида y=x3+tg2·x+5 или y=ctg(3·x3-1), так как они существуют не для любого числа; при наличии переменной, расположенной под знаком арксинуса или арккосинуса вида y=arcsin(x+2)+2·x2, y=arccosx-1+x, область определения которых определяется ни интервале от -1 до 1.

Читайте также: Как найти радиус конуса

При отсутствии хотя бы одного признака, область определения приходится искать другим образом. Рассмотрим пример функции вида $y=\frac{x^4+2·x^2—x+1}{2}+2\frac{2}{3}·x$. Видно, что никаких ограничений она не имеет, так как в знаменателе нет переменной.

Рассмотрим пример нахождения области определения функции с корнем четной степени:

 

Так как квадратный корень мы можем извлечь только из неотрицательного числа, следовательно, функция под корнем — неотрицательна.

2х — 8 ≥ 0  

Решим простое неравенство:  

2х — 8 ≥ 0  →  2х ≥ 8  →  х ≥ 4

Заданная функция существует только при найденных значениях х ≥ 4 или D(f)=[4;+∞)  или  x∈[4;+∞).

На графике видим, что функция существует для найденных значений х : х ≥ 4  или  D(f)=[4;+∞)  или  x∈[4;+∞).

При попытке подставить вместо х значения, отличные от найденных, под корнем получим отрицательное число, те в этих точках функция не существует. 

Вывод:

Если заданная функция содержит квадратный корень (или корень любой четной степени), то обязательно накладывается условие неотрицательности (≥0) на подкоренное выражение. Если квадратный корень находится в знаменателе функции, у которой мы находим область определения, то на подкоренное выражение накладывается условие положительности (>0), так как знаменатель всегда должен быть отличен от нуля. 

Области определения основных элементарных функций

Область определения функции — неотъемлемая часть самой функции. Когда мы вводим какую-либо функцию, то сразу указываем ее область определения.

На уроках алгебры мы последовательно знакомимся с каждой функцией: прямая пропорциональность, линейная функция, функция y = x2 и другие. А области их определения изучаем, как свойства.

Рассмотрим области определения основных элементарных функций.

Область определения логарифма с переменной в основании

Определение логарифма существует для положительных оснований не равных 1. Отсюда видно, что функция y=logf2(x)f1(x) имеет область определения, которая выглядит так: x∈D(f1)f1(x)>x∈D(f2)f2(x)>f2(x)≠1

А аналогичному заключению можно прийти, когда функцию можно изобразить в таком виде:

$y=\frac{{\log }_a{f}_1\left(x\right)}{{\log }_a{f}_2\left(x\right)}, a>, a\ne 1$. После чего можно приступать к области определения дробной функции.

Область определения логарифмической функции – это множество действительных положительных чисел, тогда области определения сложных функций типа $y={\log }_a{f}_1\left(x\right)$ и $y={\log }_a{f}_2\left(x\right)$ можно определить из получившейся системы вида $\left(\begin{array}{c}x\in D\left(f_1\right)\\ f_1\left(x\right)>\end{array}\right)$ и $\left(\begin{array}{c}x\in D\left(f_2\right)\\ f_2\left(x\right)>\end{array}\right)$. Иначе эту область можно записать в виде $y=\frac{{\log }_a{f}_1\left(x\right)}{{\log }_a{f}_2\left(x\right)}, a>, a\ne 1$, что означает нахождение $y={\log }_{f_2\left(x\right)}{f}_1\left(x\right)$ из самой системы вида

$\left(\begin{array}{c}x\in D\left(f_1\right)f_1\left(x\right)>\\ x\in D\left(f_2\right)f_2\left(x\right)>{\log }_a{f}_2\left(x\right)\ne \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x\in D\left(f_1\right)f_1\left(x\right)>\\ x\in D\left(f_2\right)f_2\left(x\right)>f_2\left(x\right)\ne 1\end{array}\right)$

Обозначить область определения функции y=log2·x(x2-6x+5). Решение Следует принять обозначения f1(x)=x2−6·x+5 и f2(x)=2·x, отсюда D(f1)=(−∞, +∞) и D(f2)=(−∞, +∞). Необходимо приступить к поиску множества x, где  выполняется условие x∈D(f1), f1(x)>, x∈D(f2), f2(x)>, f2(x)≠1. Тогда получаем систему вида x∈(-∞, +∞)x2-6x+5>x∈(-∞, +∞)2·x>2·x≠1⇔x∈(-∞, +∞)x∈(-∞, 1)∪(5, +∞)x∈(-∞, +∞)x>x≠12⇔⇔x∈, 12∪12, 1∪(5, +∞) Отсюда видим, что искомой областью функции y=log2·x(x2-6x+5) считается множнство, удовлетворяющее условию , 12∪12, 1∪(5, +∞). Ответ: , 12∪12, 1∪(5, +∞).

Область определения тригонометрических функций

Подробнее о свойствах и графиках таких функций.

Область определения функции y = sin(x) — множество R действительных чисел.

Область определения функции y = cos(x) — так же множество R действительных чисел.

Область определения функции y = tg(x) — множество R действительных чисел, кроме чисел .

Область определения функции y = ctg(x) — множество R действительных чисел, кроме чисел .

Пример 9. Найти область определения функции .

Решение. Внешняя функция — десятичный логарифм и на область её определения распространяются условия области определения логарифмической функции вообще. То есть, её аргумент должен быть положительным. Аргумент здесь — синус «икса». Пользуясь тригонометической таблицей (или поворачивая воображаемый циркуль по окружности), видим, что условие sin x > 0 нарушается при «иксе» равным нулю, «пи», два, умноженном на «пи» и вообще равным произведению числа «пи» и любого чётного (2kπ) или нечётного целого числа ((2k+1)π).

Таким образом, область определения данной функции задаётся выражением

,

где k — целое число.

Область определения обратных тригонометрических функций

Подробнее о свойствах и графиках таких функций.

Область определения функции y = arcsin(x) — множество [-1; 1].

Область определения функции y = arccos(x) — так же множество [-1; 1].

Область определения функции y = arctg(x) — множество R действительных чисел.

Область определения функции y = arcctg(x) — так же множество R действительных чисел.

Пример 10. Найти область определения функции .

Решение. Решим неравенство:

Решение получили, основываясь на свойстве неравенств: если все части верного неравенства умножить на одно и то же положительное число, то получится также верное неравество. В данном случае умножали на 4.

Таким образом, получаем область определения данной функции — отрезок [- 4; 4].

Пример 11. Найти область определения функции .

Решение. Решим два неравенства:

Решение первого неравенства:

Решение получили, основываясь на свойстве неравенств: если обе части верного неравенства умножить на одно и то же отрицательное число изменить знак неравенства на противоположный, то получится верное неравенство. В данном случае умножали на минус 2.

Аналогично и решение второго неравенства:

Таким образом, получаем область определения данной функции — отрезок [0; 1].

Сложные функции х и y и их область определения и значения

Сложная функция имеет следующий вид: \[\mathrm{y}=f_{1}\left(f_{2}(\mathrm{k})\right)\]

D (f) — множество значений;

Пересечение двух множеств и будет являться областью определения функции сложного типа.

\[\mathrm{k} \in D\left(f_{2}\right) \text {и } D f_{2}(x) \in D\left(f_{1}\right)\]

Примеры:

\[y=\ln x^{2}\]

Представим функцию в виде: \[\mathrm{y}=f_{1}\left(f_{2}(\mathrm{k})\right)\]

Используем изученные в данном уроке области определения:

Исходя из этого получаем систему неравенства:

Ответ: все действительные числа, кроме нуля.

Область определения постоянной

Постоянная (константа) определена при любых действительных значениях x, следовательно, данная функция определена на всём множестве R действительных чисел. Это можно записать и так: областью определения данной функции является вся числовая прямая ]- ∞; + ∞[.

Пример 20. Найти область определения функции y = 2.

Решение. Область определения функции не указана, значит, в силу выше приведённого определения имеется в виду естественная область определения. Выражение f(x) = 2 определено при любых действительных значениях x, следовательно, данная функция определена на всём множестве R действительных чисел.

Поэтому на чертеже сверху числовая прямая заштрихована на всём протяжении от минус бесконечности до плюс бесконечности.

Теги