Как найти объем шара

Онлайн-калькулятор объема шара

Заданная точка, о которой говорится в определении шара называется центром этого шара. А упомянутое расстояние — радиусом данного шара.

У шара, по аналогии с кругом, так же есть диаметр $D$D, который по длине в два раза больше радиуса:

$D=2\cdot R$D=2⋅R

Формула объема шара через радиус и диаметр

Введем декартовы координаты, приняв центр шара за начало координат. Плоскость xy пересекает шар радиуса R по окружности, которая задается уравнением $x^2+y^2=R^2$. Полуокружность, расположенная над осью x, задается уравнением $y=f\left(x\right)=+\sqrt{R^2—x^2},—R\le x\le R$.

Поэтому объем шарового слоя между плоскостями $x=a$ и $x=b$ определяется по формуле $V=V\left(b\right)—V\left(a\right)=\pi {\int }_a^b\left(R^2—x^2\right)dx=\left(\pi \left(R^{2}x—\frac{x^3}{3}\right)\right)\underset{b}{\overset{}{a}}=\pi R^2\left(b—a\right)—\frac{\pi }{3}\left(b^3—a^3\right).$

Для объема всего шара надо взять $f=—R$,$b=R$, из чего делаем следующий вывод:

Формула 2

Формула объема шара через радиус:V=43πR3.

Формула 3

Зная, что радиус равен половине диаметра (R=d/2), получаем формулу объема шара через диаметр: V=πd36.

Формулы объемов частей шара

Формула 4

Для получения объема шарового сегмента высотой H надо взять a=R-H,b=R. Получим объем шарового сегмента: V=πH3R-H3.

Формула 5

Объем шарового сектора: V=23πR2H, где R — радиус шара, а H — высота соответствующего шарового сегмента.

Видео

Примеры вычисления объема шара, через радиус и диаметр шара: описание

Задача 1.

Радиус шара равен 10 см. Найди его объем.

Задача 2.

Диаметр шара равен 10 см. Найди его объем.

Задача 3.

Соотношение диаметра Луны и диаметра Земли 1:4. Во сколько раз объем Земли больше объема Луны?

Решение:

Ответ: в 64 раза.

Важно: существует множество онлайн калькуляторов, позволяющих быстро найти заданную величину. Например, сервис Webmath.

Объем шарового сегмента

Шаровой сегмент — часть шара, отсекаемая какой нибудь плоскостью. Объем шарового сегмента вычисляется по формуле: \[ \LARGE V = {1 \over 3} \cdot \pi \cdot h^2 \cdot (3 \cdot R — h) \] где: V — объем шарового сегмента h — высота шарового сегмента R — радиус шарового сегмента π — число пи (3.1415)

Теги