Содержание материала
Основные свойства трапеции
1. В трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон:AB + CD = BC + AD
2. Средняя линия трапеции разделяет пополам любой отрезок, который соединяет основы, так же делит диагонали пополам:AK = KB, AM = MC, BN = ND, CL = LD
3. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме:m = | a + b |
2 |
BC : AD = OC : AO = OB : DO
7. Диагонали трапеции d 1 и d 2 связаны со сторонами соотношением: d 12 + d 22 = 2a b + c 2 + d 2
Стороны равнобедренной трапеции
Формулы длин сторон равнобедренной трапеции:
a = b + 2 h ctg α = b + 2 c cos α
b = a – 2 h ctg α = a – 2 c cos α
c = | h | = | a – b |
sin α | 2 cos α |
2. Формула длины сторон трапеции через диагонали и другие стороны:
a = | d 1 2 – c 2 | b = | d 1 2 – c 2 | c = √ d 1 2 – ab |
b | a |
3. Формулы длины основ через площадь, высоту и другую основу:
a = | 2S | – b b = | 2S | – a |
h | h |
4. Формулы длины боковой стороны через площадь, среднюю линию и угол при основе:
с = | S |
m sin α |
5. Формулы длины боковой стороны через площадь, основания и угол при основе:
с = | 2S |
( a + b ) sin α |
Видео
Элементы трапеции: основания, боковые стороны, средняя линия и высота:
Параллельные стороны трапеции называются основаниями трапеции, а две другие – непараллельные – боковыми сторонами.
Рис. 4. Трапеция
AD и BC – основания трапеции, AB и CD – боковые стороны трапеции.
AD – большее основание трапеции, BC – меньшее основание трапеции.
Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется средняя линия.
Рис. 5. Трапеция и срединная линия
Расстояние между основаниями трапеции называется высотой трапеции.
Рис. 6. Трапеция
Высота трапеции (h) определяется формулой:
где b – большее основание трапеции, a – меньшее основание трапеции, c и d – боковые стороны трапеции.
Как найти стороны трапеции?
Существует множество различных способов решения данной задачи, однако мы предложим только некоторые из них.
В первую очередь можно найти стороны с помощью средней линии:
Есть альтернатива, если вам известны высота и угол при большем основании:
Высота трапеции
Высотой трапеции называется самый короткий по длине отрезок, который продолжается ровно от одного основания до другого. Он выполняет своеобразную вспомогательную роль в задачах вплоть до 10 класса с неизвестными сторонами и в тех задачах, где нужно дополнить фигуру до прямоугольника, например.
Для нахождения длины этого отрезка нам необходимо знать оба основания (a и b), а также боковую сторону c. Также полезно было бы знать угол при большем основании α. Формулы здесь довольно простые и не нуждаются в доказательстве.
Площадь трапеции
Формулы определения площади трапеции:
1. Формула площади через основания и высоту:S = | (a + b) | · h |
2 |
S = m · h
3. Формула площади через диагонали и угол между ними:S = | d1d2 | · sin γ | = | d1d2 | · sin δ |
2 | 2 |
S = | a + b | √ | c2 — | ( | (a — b)2 + c2 — d 2 | ) | 2 |
2 | 2(a — b) |
5. Формула Герона для трапеции S = a + b √(p — a )(p — b )(p — a — c )(p — a — d ) |a — b | где p = a + b + c + d — полупериметр трапеции.2