Как найти длину прямоугольник если известна площадь?

Как найти ширину прямоугольника?

Решение задач с четырехугольниками — один из наиболее обширных разделов геометрии, доставляющий школьникам немало трудностей. Предлагаем вам разобраться с типичными задачами, в которых требуется найти ширину прямоугольника.

Прежде всего, необходимо вспомнить, что это за фигура и какие ее основные свойства. Прямоугольником называется четырехугольник, у которого все углы прямые, а противоположные стороны равны. Горизонтальную сторону называют шириной прямоугольника, а вертикальную – длиной.

Задача . Находим ширину, зная длину и периметр

Немного усложним задание. Теперь необходимо найти ширину прямоугольника, если известно, что она в 5 раз меньше его длины, а периметр треугольника равен 120 см.

Из условия задачи:

Мы уже знаем, что b = Р:2 – а. Подставляем значения Р и а. Получаем:

• b = 120:2 – 5b;
• 6b = 60;
• b = 60:6
• b = 10 (см).

Ответ: ширина прямоугольника равна 10 см. 

Угол между стороной и диагональю прямоугольника

Формулы определения угла между стороной и диагональю

1. Формула определения угла между стороной и диагональю прямоугольника через диагональ и сторону:

sin α =	a
d

cos α =	b
d

2. Формула определения угла между стороной и диагональю прямоугольника через угол между диагоналями: α  = β 2

Видео

Свойства и линии

Из-за того, что прямоугольник — это параллелограмм, все свойства последнего справедливы и к нему. В первую очередь для него характерно, что противоположные стороны являются параллельными, то есть лежат на непересекающихся прямых. Отсюда следует, что фигуры отличаются друг от друга только размерами двух граней.

К основным свойствам прямоугольника относят:

• противолежащие стороны имеют равную длину: AB = CD, BC = AD;
• все углы равны 90 градусов;
• отрезки, обозначающие ширину и длину, всегда перпендикулярные друг другу: AB ┴ BC, BC ┴ CD, CD ┴ AD, AD ┴ AB;
• сумма любых двух углов фигуры равняется 180 градусов, соответственно всех четырёх — 360;
• в четырёхугольном теле можно провести 2 диагонали, длины которых будут совпадать по величине: AB = BC;
• сумма квадратов диагональных отрезков равняется удвоенной сумме квадратов сторон фигуры: AC² + BD² = 2 (AB² + BC²);
• построенная диагональ разделяет прямоугольник на 2 одинаковые фигуры — прямоугольные треугольники;
• точка пересечения прямых линий, соединяющая попарно противоположные углы, является центром фигуры и описанной окружности;
• диагонали в месте пересечения разделяются на 4 равных отрезка;
• в многоугольник, у которого длина не равна ширине, вписать окружность нельзя, поэтому её можно построить только для частных случаев прямоугольника.

На свойстве, что сложенные квадраты диагоналей можно найти как сумму квадратов всех его сторон, построено решение многих геометрических задач. Нелишним будет доказательство теоремы. Пусть имеется прямоугольник, у которого линии AC и BD — диагонали. Если изобразить многоугольник на рисунке и построить отрезки, можно увидеть, что каждая диагональ делит фигуру на 2 треугольника: ABC и BDC.

Используя теорему косинусов, можно записать: AC² = AB² + BC² — 2 * AB * BC * cos (ABC); BD² = CD² + BC² — 2 * CD * BC * cos (BCD). После сложения полученных выражений получится запись: AC² + BD² = AB² + BC² — 2 * AB * BC * cos (ABC) + CD² + BC² — 2 * CD * BC * cos (BCD).

Так как по свойству прямоугольной фигуры противоположные стороны равны, уравнение примет вид: AC² + BD² = 2AB² + 2BC² — 2 * AB * BC * cos (ABC) — 2 * AB * BC * cos (BCD). Учитывая, что сумма двух углов равняется 180, полученное выражение можно переписать так: AC² + BD ² = 2 (AB ² + BC ²). Что и следовало доказать.

Три способа найти длину прямоугольника

Если разделить фигуру на две части диагональю, то можно заметить, что прямоугольник поделится ею на два прямоугольных треугольника. Из этого разделения и вытекают все формулы длины прямоугольника.

Если известна длина диагонали ( обозначим ее буквой d) и ширина прямоугольника (примем значение за букву a). Тогда корень квадратный из разности квадратов диагонали и ширины будет равен длине прямоугольника.

Чтобы было понятнее, напишем решение в виде нескольких формул.

Согласно теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Гипотенуза это сторона, противоположная прямому углу, две другие стороны зовутся катетами. В нашем случае гипотенуза это диагональ.

Значит: d2=a2+b2 . Из этого выражения выразим квадрат длины (значение «b»):b2=d2-a2

Для того, чтобы определить значение b, нужно взять корень квадратный из обеих сторон получившегося выражения: b=(d2-a2)(-1)

В случае необходимости, можно поменять местами а и b, тогда получится формула ширины.

Рассмотрим еще один способ найти длину прямоугольника. Через площадь.Площадь прямоугольника равняется произведению длины на ширину. То есть, используя уже знакомые обозначения S=a*b. Выразим из этой формулы значение длины: b=S/b.

Так же, как и в первом методе, можно поменять местами а и b, чтобы получить формулу для ширины: a=S/b.

Один из самых быстрых, но при этом немного сложных способов нахождения длины – воспользоваться тригонометрической функцией.

Если имеется прямоугольный треугольник, то соответственно имеются отношения, известные как синус и косинус.

Выберем угол между длинной и диагональю. Обозначим его α. Тогда sin α катета, противоположного углу α к гипотенузе: Sin α = a/d

Рис. 2. Угол альфа на половине прямоугольника

Значение синуса любого угла можно найти в таблицах Брадиса. Для удобства можно воспользоваться онлайн-версией, которая найдет значение отношения автоматически.

Но в формуле нет значения b, которое соответствует длине, а значит воспользуемся основным тригонометрическим тождеством.Косинус это отношение стороны, прилежащей к углу, к гипотенузе: cos a=b/d

Значит можно найти длину, умножив косинус на гипотенузу: b=cos α*d

Стороны прямоугольника

Определение. Длиной прямоугольника называют длину более длинной пары его сторон. Шириной прямоугольника называют длину более короткой пары его сторон.

Формулы определения длин сторон прямоугольника

1. Формула стороны прямоугольника (длины и ширины прямоугольника) через диагональ и другую сторону:

a = √d² — b²

b = √d² — a²

2. Формула стороны прямоугольника (длины и ширины прямоугольника) через площадь и другую сторону:

a =	S
b

b =	S
a

3. Формула стороны прямоугольника (длины и ширины прямоугольника) через периметр и другую сторону:

a =	P — 2b
2

b =	P — 2a
2

4. Формула стороны прямоугольника (длины и ширины прямоугольника) через диаметр и угол α:

a = d sinα

b = d cosα

5. Формула стороны прямоугольника (длины и ширины прямоугольника) через диаметр и угол β : a  = d sin  β 2 b  = d cos  β 2

Найти длину стороны прямоугольника зная периметр и сторону

Формула расчёта длины стороны прямоугольника зная периметр и сторону Вам необходимо указать периметр прямоугольника (P) и сторону (a). Расчёт происходит по формуле b=(P-a-a)/2. Из периметра вычитаем, 2 раза, сторону и делим на два.

Периметр прямоугольника (P)
Сторона прямоугольника (a)

Что мы узнали?

Мы рассмотрели, как правильно изображать прямоугольник для большей наглядности, рассмотрели как можно найти длину или ширину при различных условиях задачи и решили задачу средней сложности на нахождение длины прямоугольника через теорему Пифагора.

Как определить длину и ширину?

Длина всегда представляет собой направление наибольшего размера. Ширина – это протяженность между двумя точками плоскости, которые лежат, в отличие от длины, на наименьшем расстоянии друг от друга. То есть, длина – это наибольший размер предмета, а ширина – наименьшей.

Как найти ширину и длину прямоугольника, зная его периметр и площадь!?

Решить систему. Х — ширина, у — длина. 2(х+у) = Р х*у=S Р, S — периметр, площадь.

Система двух уравнений. Площадь равна a x b, где a, b — стороны прямоугольника. Периметр равен 2a + 2 b. И решай. Одну сторону вырази через Х и находи Х.

Пусть длина a, ширина b, площадь S, периметр P. Тогда: S = a*b P=2*(a+b) Решаем систему уравнений: из второго a=P/2-b подставляем в первое S=b*(P/2-b) 2*b^2-P*b+2*S=0 Решаем квадратное уравнение: D=P^2-16*S Если D<0 — уравнение корней не имеет, задача решений не имеет D=0 — a=b — это квадрат сос тороной a=P/4 D>0 — два корня уравнения, стороны прямоугольика: a=(P+sqr(P^2-16*S))/4 b=(P-sqrt(P^2-16*S))/4 Примеры: S=8, P=10 — D<0 — решений нет S=4, P=8 — D=0 — квадрат, со стороной a=8/4=2 S=4, P=10 — D=6>0 — прямоугольник со сторонами: a=(10+6)/4=4 a=(10-6)/4=1

Формула радиуса окружности описанной около прямоугольника

Выведем формулу вычисления радиуса окружности, описанной около прямоугольника через стороны прямоугольника.

Нетрудно заметить, что радиус описанной около прямоугольника окружности равна половине диагонали (Рис.3). То есть

\( \small R=\frac{\large d}{\large 2} \)

(3)

Подставляя (3) в (2), получим:

\( \small R=\frac{\large \sqrt{a^2+b^2}}{\large 2} \)

(4)

Пример 2. Стороны прямоугольника равны . Найти радиус окружности, описанной вокруг прямоугольника.

Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника воспользуемся формулой (4). Подставляя в (4), получим:

Ответ:

Признаки прямоугольника

Признак 1. Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм является прямоугольником.

Признак 2. Если квадрат диагонали параллелограмма равен сумме квадратов его смежных сторон, то этот параллелограмм является прямоугольником.

Признак 3. Если углы параллелограмма равны, то этот параллелограмм является прямоугольником.

Теги