Содержание материала
Равносторонний треугольник коротко о главном
Равносторонний треугольник —треугольник, у которого все стороны равны. \(AB=BC=AC=a\)
В равностороннем треугольнике все углы равны между собой и равны \({{60}^{o }}\).
В равностороннем треугольнике каждая медиана совпадает с биссектрисой и высотой, которые проведены из той же вершины;
Точки пересечения высот, биссектрис, медиан и серединных перпендикуляров равностороннего треугольника совпадают.
Центры вписанной и описанной окружностей равностороннего треугольника совпадают: точка \(O\);
В равностороннем треугольнике длины всех элементов «хорошо» выражаются через длину стороны \(a\):
- Высота=медиана=биссектриса: \(h=\frac{a\sqrt{3}}{2}\);
- Радиус описанной окружности: \(R=\frac{a\sqrt{3}}{3}\);
- Радиус вписанной окружности: \(r=\frac{a\sqrt{3}}{6}\);
- Площадь: \(S=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}\);
- Периметр: \(P=3a\);
Видео
Равносторонний треугольник
Равносторонний треугольник еще называют правильным треугольником.
- все стороны равны;
- все углы равны между собой;
- все углы равны 60о.
В любом треугольнике есть (можно провести):
- медиана.
- биссектриса.
- высота.
Что такое биссектриса уже рассмотрели, дадим определение высоты и медианы.
Медиана — это отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
Медиана делит сторону пополам.
Высота — это отрезок, который выходит из вершины угла и перпендикулярен противоположной стороне.
В равностороннем (правильном) треугольнике высота, медиана и биссектриса, проведенные из одной вершины совпадают и равны.
Рассмотрим на примере.
Углы равностороннего треугольника 60о. Проведем биссектрису, она поделит угол пополам и получится два угла по 30о. Рассмотрим полученные треугольники.
Получилось 2 треугольника с углами 60о, 30о, 180о — (60о + 30о) = 90о. Полученные треугольники будут прямоугольными, значит биссектриса перпендикулярна стороне и является высотой прямоугольника.
Полученные треугольники прямоугольные, у них один общий катет (биссектриса) и равные гипотенузы (по определению равностороннего треугольника все стороны равны), все углы соответственно равны друг другу, значит и треугольники равные, то есть биссектриса является медианой, поделила сторону пополам).
Ответ: биссектриса в равностороннем треугольнике — это отрезок, который выходит из вершины угла, и делит угол пополам, а так же перпендикулярен стороне и делит ее на две равные части.
Формулы равностороннего треугольника:
Пусть a – длина стороны равностороннего треугольника, h – высота (l – биссектриса, m – медиана) равностороннего треугольника, проведенная к каждой стороне, α – угол равностороннего треугольника, α = 60°, R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности (см. Рис. 6).
Рис. 6. Равносторонний треугольник
Формула радиуса вписанной окружности (r):
.
Формула радиуса описанной окружности (R):
,
.
Формулы периметра (Р) равностороннего треугольника:
.
Формулы площади (S) равностороннего треугольника:
.
Формулы высоты (h), медианы (m) и биссектрисы (l) треугольника:
.
Примечание: © Фото https://www.pexels.com, https://pixabay.com
карта сайта Коэффициент востребованности 14 583