Найти медиану биссектрису высоту равностороннего треугольника

Содержание материала

Равносторонний треугольник коротко о главном
Видео
Равносторонний треугольник
Формулы равностороннего треугольника:

Равносторонний треугольник коротко о главном

Равносторонний треугольник —треугольник, у которого все стороны равны. \(AB=BC=AC=a\)

В равностороннем треугольнике все углы равны между собой и равны \({{60}^{o }}\).

В равностороннем треугольнике каждая медиана совпадает с биссектрисой и высотой, которые проведены из той же вершины;

Точки пересечения высот, биссектрис, медиан и серединных перпендикуляров равностороннего треугольника совпадают.

Центры вписанной и описанной окружностей равностороннего треугольника совпадают: точка \(O\);

В равностороннем треугольнике длины всех элементов «хорошо» выражаются через длину стороны \(a\):

Высота=медиана=биссектриса: \(h=\frac{a\sqrt{3}}{2}\);
Радиус описанной окружности: \(R=\frac{a\sqrt{3}}{3}\);
Радиус вписанной окружности: \(r=\frac{a\sqrt{3}}{6}\);
Площадь: \(S=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}\);
Периметр: \(P=3a\);

Видео

Равносторонний треугольник

Равносторонний треугольник еще называют правильным треугольником.

все стороны равны;
все углы равны между собой;
все углы равны 60о.

В любом треугольнике есть (можно провести):

медиана.
биссектриса.
высота.

Что такое биссектриса уже рассмотрели, дадим определение высоты и медианы.

Медиана — это отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Медиана делит сторону пополам.

Высота — это отрезок, который выходит из вершины угла и перпендикулярен противоположной стороне.

В равностороннем (правильном) треугольнике высота, медиана и биссектриса, проведенные из одной вершины совпадают и равны.

Рассмотрим на примере.

Углы равностороннего треугольника 60о. Проведем биссектрису, она поделит угол пополам и получится два угла по 30о. Рассмотрим полученные треугольники.

Получилось 2 треугольника с углами 60о, 30о, 180о — (60о + 30о) = 90о. Полученные треугольники будут прямоугольными, значит биссектриса перпендикулярна стороне и является высотой прямоугольника.

Полученные треугольники прямоугольные, у них один общий катет (биссектриса) и равные гипотенузы (по определению равностороннего треугольника все стороны равны), все углы соответственно равны друг другу, значит и треугольники равные, то есть биссектриса является медианой, поделила сторону пополам).

Ответ: биссектриса в равностороннем треугольнике — это отрезок, который выходит из вершины угла, и делит угол пополам, а так же перпендикулярен стороне и делит ее на две равные части.

Формулы равностороннего треугольника:

Пусть a – длина стороны равностороннего треугольника, h – высота (l – биссектриса, m – медиана) равностороннего треугольника, проведенная к каждой стороне, α – угол равностороннего треугольника, α = 60°, R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности (см. Рис. 6).