Как найти асимптоты графика функции?

Понятие асимптоты

Если кривая имеет бесконечную ветвь, то асимптотой такой кривой называют прямую, к которой эта ветвь неограниченно приближается. Другими словами, асимптота кривой — это прямая, к которой неограниченно приближается кривая при ее удалении в бесконечность.

Асимптоты могут быть вертикальными, горизонтальными или наклонными.

Например, для графика функции (рис. 7.1) асимптотами будут оси координат, поскольку при и при график функции приближается к прямой ось — горизонтальная асимптота. Когда функция стремится к (или ), то кривая приближается к прямой ось — вертикальная асимптота.

Если рассмотреть функцию то при выражение Вследствие этого график функции приближается к прямой поэтому эта прямая будет наклонной асимптотой графика функции(рис. 7.2) (график этой функции имеет также и вертикальную асимптоту ).

Следует отметить, что не любая кривая имеет асимптоту, поэтому не у каждого графика функции будет асимптота. Но исследование функции на наличие у ее графика асимптот позволяет уточнить свойства функции и поведение ее графика.

Вертикальные асимптоты

Если прямая — вертикальная асимптота, то по определению около точки кривая должна иметь бесконечную ветвь, то есть предел данной функции при (слева или справа) должен равняться бесконечности (). Исходя из непрерывности элементарных функций, которые рассматривались в школьном курсе математики, такими точками могут быть только точки, ограничивающие открытые (или полуоткрытые) промежутки области определения данной функции.

Например, у функции область определения имеет разрыв в точке (область определения: и точка 1 ограничивает открытые промежутки области определения). Можно предположить, что прямая будет вертикальной асимптотой. Для того чтобы убедиться в этом, необходимо проверить, будет ли функция стремиться к бесконечности около точки 1 (слева или справа). Для этого рассмотрим

Аналогично

Таким образом, прямая является вертикальной асимптотой, поскольку при стремлении функции к бесконечности ее график неограниченно приближается к прямой (рис. 7.3).

Отметим, что не всегда в точке разрыва области определения функция будет иметь вертикальную асимптоту. Например, функция имеет область определения поэтому прямая «подозрительна» на вертикальную асимптоту. Но Аналогично Следовательно, около прямой функция не стремится к бесконечности, и поэтому прямая не является асимптотой графика данной функции (рис. 7.4).

Наклонные и горизонтальные асимптоты

Наклонные и горизонтальные асимптоты довольно просто находятся для графиков дробно-рациональных функций, у которых степень числителя на единицу больше степени знаменателя (или равна степени знаменателя). Для этого достаточно выделить целую часть заданной дроби и использовать определение асимптоты.

Например, еще раз рассмотрим функцию Выделим целую часть:

При выражение то есть график нашей функции будет х -1 неограниченно приближаться к прямой при Из этого следует, что наклонной асимптотой графика данной функции* будет прямая (рис. 7.3).

Рассмотрим, как находятся наклонные и горизонтальные асимптоты в общем случае.

Пусть наклонной (или горизонтальной) асимптотой графика функции является прямая По определению асимптоты при график функции неограниченно приближается к прямой Другими словами, при с любой точностью будет выполняться равенство

(1)

Эта равенство не нарушится, если обе его части разделить на Получим: При отношение поэтому отношение при , то есть

(2)

Возвращаясь к формуле (1), получаем, что при то есть

(3)

Формулы (2) и (3) дают возможность находить наклонные и горизонтальные асимптоты для графика любой функции (при условии, что они существуют).

Отметим, что если у графика функции есть горизонтальная асимптота, то ее уравнение будет (в этом случае ). Но при из формулы (3) получаем Следовательно, если существует число то график функции имеет горизонтальную асимптоту

• Заказать решение задач по высшей математике

Пример:

Пользуясь общими формулами, найдите наклонную асимптоту графика функции

Решение:

Будем искать наклонную асимптоту в виде где и находятся по формулам (2) и (3):

Асимптотой графика данной функции будет прямая то есть прямая

Пример:

Найдите асимптоты графика функции

Решение:

Область определения функции: — любое действительное число, то есть На всей области определения эта функция непрерывна, поэтому вертикальных асимптот график функции не имеет. Будем искать наклонные и горизонтальные асимптоты в виде Тогда

Таким образом, заданная функция имеет только горизонтальную асимптоту (рис. 7.5).

Иногда график функции может иметь разные асимптоты при и при в этом случае при использовании формул (2) и (3) приходится отдельно находить значения и при и при

Видео

Асимптоты графика функции, основные виды

Асимптоты делятся на три вида: вертикальные, наклонные и горизонтальные.

У разных функции в наличии может быть различное количество асимптот:

1. Парабола и синусоида не имеют асимптот.
2. Экспоненциальная и логарифмическая функции имеют 1 асимптоту.
3. Арктангенс и арккотангенс — две.
4. Тангенс и котангенс — бесконечное количество.
5. Гипербола имеет горизонтальную и вертикальную асимптоты.

Приведем пример нахождения асимптот гиперболы.

Определение

Гипербола — геометрическое место расположения точек, от которых абсолютная величина разности растояний до двух фокусов (заданных точек), является постоянной и меньшей, чем расстояние между самими фокусами.

Определение

Асимптоты гиперболы — прямые, которые тесто связаны с ней и определяются уравнениями \(y=\frac bax\) и \(-y=\frac bax\).

При \(x\rightarrow+\infty\) разность ординат асимптоты и гиперболы будет \(\delta\rightarrow0\).

Это действительно, так как:

\(\delta=\frac bax-\frac ba\sqrt{x^2-a^2}=\frac ba(x-\sqrt{x^2-a^2)}=\frac ba\cdot\frac{x^2-x^2+a^2}{x+\sqrt{x^2-a^2}}=\frac ba\cdot\frac{a^2}{x+\sqrt{x^2-a^2}}\)

\(\delta\rightarrow\infty\;при\;x\rightarrow+\infty\)

Следовательно, если абсцисса х неограниченно возрастает, то график гиперболы и ее асимптота неограниченно сближаются.

Расположение асимптот гиперболы соответствует диагоналям прямоугольника, стороны которого параллельны оси Ох и оси Оу, а центром служит начало координат.

В равносторонней гиперболе, имеющей вид \(x^2-y^2=a^2\), когда \(b=a\), асимптоты будут иметь угловые коэффициенты \(k=\pm\frac ba\), равные \(\pm1\). Свойством этих асимптот является взаимная перпендикулярность. Они также делят пополам углы между осями симметрии гиперболы.

Пример

Необходимо составить уравнение гиперболы, если следующие уравнения задают ее асимптоты:

\(y=\pm\frac{\sqrt6}3x\)

Гипербола проходит через точку М(6; -4).

Решение

Применим формулу \(y=\frac bax\) и получим:

\(\frac ba=\pm\frac{\sqrt6}3\)

Подставим координаты точки М в общую формулу уравнения гиперболы:

\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)

Получим систему уравнений. Чтобы получить уравнение данной гиперболы, необходимо вычислить полученную систему уравнений.

\(\left\{\begin{array}{l}\frac{6^2}{a^2}-\frac{{(-4)}^2}{b^2}=1,\\\frac ba=\pm\frac{\sqrt6}3\end{array}\right.\Rightarrow a=\pm\sqrt{12},\;b=\sqrt8\)

В итоге получим:

\(\frac{x^2}{12}-\frac{y^2}8=1\)

Горизонтальные асимптоты

Необходимо устремить аргумент лимита функции к бесконечности. Если предел существует и равен числу, то горизонтальная асимптота будет найдена и равна $ y=y_0 $ как показано во втором столбце таблицы

Наклонные асимптоты

Наклонная асимптота представляется в виде $ y = kx+b $. Где $ k $ — это коэффициент наклона асимптоты. Сначала находится коэффициент $ k $, затем $ b $. Если какой либо из них равен $ \infty $, тогда наклонной асимптоты нет. А если $ b = 0 $, то получаем горизонтальную асимптоту. Так что для экономии времени лучше сразу находить наклонную асимптоту, а горизонтальная проявится сама собой в случае её существования.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание Найти асимптоты функции Решение Область определения этой функции . При функция имеет разрыв. Проверим, является ли прямая вертикальной асимптотой. Поскольку односторонние пределы в точке бесконечны, то прямая — вертикальная асимптота. Проверим, имеет ли функция наклонную асимптоту . Найдем следующие пределы Таким образом, — наклонная асимптота. Ответ Функция имеет вертикальную асимптоту — и наклонную асимптоту —

ПРИМЕР 2

Задание Найти асимптоты функции Решение Область определения заданной функции . Прямая — вертикальная асимптота, так как Покажем, что функция имеет и наклонную асимптоту, задаваемую уравнением . Найдем коэффициенты и : Значит, данная функция имеет горизонтальную асимптоту . Ответ Функция имеет вертикальную асимптоту — и горизонтальную асимптоту —

Теги