Содержание материала
Понятие асимптоты
Если кривая имеет бесконечную ветвь, то асимптотой такой кривой называют прямую, к которой эта ветвь неограниченно приближается. Другими словами, асимптота кривой — это прямая, к которой неограниченно приближается кривая при ее удалении в бесконечность.
Асимптоты могут быть вертикальными, горизонтальными или наклонными.
Например, для графика функции (рис. 7.1) асимптотами будут оси координат, поскольку при
и при
график функции приближается к прямой
ось
— горизонтальная асимптота. Когда функция стремится к
(или
), то кривая приближается к прямой
ось
— вертикальная асимптота.
Если рассмотреть функцию то при
выражение
Вследствие этого график функции
приближается к прямой
поэтому эта прямая будет наклонной асимптотой графика функции
(рис. 7.2) (график этой функции имеет также и вертикальную асимптоту
).
Следует отметить, что не любая кривая имеет асимптоту, поэтому не у каждого графика функции будет асимптота. Но исследование функции на наличие у ее графика асимптот позволяет уточнить свойства функции и поведение ее графика.
Вертикальные асимптоты
Если прямая — вертикальная асимптота, то по определению около точки
кривая должна иметь бесконечную ветвь, то есть предел данной функции при
(слева или справа) должен равняться бесконечности (
). Исходя из непрерывности элементарных функций, которые рассматривались в школьном курсе математики, такими точками могут быть только точки, ограничивающие открытые (или полуоткрытые) промежутки области определения данной функции.
Например, у функции область определения
имеет разрыв в точке
(область определения:
и точка 1 ограничивает открытые промежутки области определения). Можно предположить, что прямая
будет вертикальной асимптотой. Для того чтобы убедиться в этом, необходимо проверить, будет ли функция стремиться к бесконечности около точки 1 (слева или справа). Для этого рассмотрим
Аналогично
Таким образом, прямая является вертикальной асимптотой, поскольку при стремлении функции к бесконечности ее график неограниченно приближается к прямой
(рис. 7.3).
Отметим, что не всегда в точке разрыва области определения функция будет иметь вертикальную асимптоту. Например, функция имеет область определения
поэтому прямая
«подозрительна» на вертикальную асимптоту. Но
Аналогично
Следовательно, около прямой
функция
не стремится к бесконечности, и поэтому прямая
не является асимптотой графика данной функции (рис. 7.4).
Наклонные и горизонтальные асимптоты
Наклонные и горизонтальные асимптоты довольно просто находятся для графиков дробно-рациональных функций, у которых степень числителя на единицу больше степени знаменателя (или равна степени знаменателя). Для этого достаточно выделить целую часть заданной дроби и использовать определение асимптоты.
Например, еще раз рассмотрим функцию Выделим целую часть:
При выражение
то есть график нашей функции будет х -1 неограниченно приближаться к прямой
при
Из этого следует, что наклонной асимптотой графика данной функции* будет прямая
(рис. 7.3).
Рассмотрим, как находятся наклонные и горизонтальные асимптоты в общем случае.
Пусть наклонной (или горизонтальной) асимптотой графика функции является прямая
По определению асимптоты при
график функции
неограниченно приближается к прямой
Другими словами, при
с любой точностью будет выполняться равенство
(1)
Эта равенство не нарушится, если обе его части разделить на Получим:
При
отношение
поэтому отношение
при
, то есть
(2)
Возвращаясь к формуле (1), получаем, что при то есть
(3)
Формулы (2) и (3) дают возможность находить наклонные и горизонтальные асимптоты для графика любой функции (при условии, что они существуют).
Отметим, что если у графика функции есть горизонтальная асимптота, то ее уравнение будет
(в этом случае
). Но при
из формулы (3) получаем
Следовательно, если существует число
то график функции
имеет горизонтальную асимптоту
Пример:
Пользуясь общими формулами, найдите наклонную асимптоту графика функции
Решение:
Будем искать наклонную асимптоту в виде где
и
находятся по формулам (2) и (3):
Асимптотой графика данной функции будет прямая то есть прямая
Пример:
Найдите асимптоты графика функции
Решение:
Область определения функции: — любое действительное число, то есть
На всей области определения эта функция непрерывна, поэтому вертикальных асимптот график функции не имеет. Будем искать наклонные и горизонтальные асимптоты в виде
Тогда
Таким образом, заданная функция имеет только горизонтальную асимптоту (рис. 7.5).
Иногда график функции может иметь разные асимптоты при
и при
в этом случае при использовании формул (2) и (3) приходится отдельно находить значения
и
при
и при
Видео
Асимптоты графика функции, основные виды
Асимптоты делятся на три вида: вертикальные, наклонные и горизонтальные.
У разных функции в наличии может быть различное количество асимптот:
- Парабола и синусоида не имеют асимптот.
- Экспоненциальная и логарифмическая функции имеют 1 асимптоту.
- Арктангенс и арккотангенс — две.
- Тангенс и котангенс — бесконечное количество.
- Гипербола имеет горизонтальную и вертикальную асимптоты.
Приведем пример нахождения асимптот гиперболы.
ОпределениеГипербола — геометрическое место расположения точек, от которых абсолютная величина разности растояний до двух фокусов (заданных точек), является постоянной и меньшей, чем расстояние между самими фокусами.
ОпределениеАсимптоты гиперболы — прямые, которые тесто связаны с ней и определяются уравнениями \(y=\frac bax\) и \(-y=\frac bax\).
При \(x\rightarrow+\infty\) разность ординат асимптоты и гиперболы будет \(\delta\rightarrow0\).
Это действительно, так как:
\(\delta=\frac bax-\frac ba\sqrt{x^2-a^2}=\frac ba(x-\sqrt{x^2-a^2)}=\frac ba\cdot\frac{x^2-x^2+a^2}{x+\sqrt{x^2-a^2}}=\frac ba\cdot\frac{a^2}{x+\sqrt{x^2-a^2}}\)
\(\delta\rightarrow\infty\;при\;x\rightarrow+\infty\)
Следовательно, если абсцисса х неограниченно возрастает, то график гиперболы и ее асимптота неограниченно сближаются.
Расположение асимптот гиперболы соответствует диагоналям прямоугольника, стороны которого параллельны оси Ох и оси Оу, а центром служит начало координат.
В равносторонней гиперболе, имеющей вид \(x^2-y^2=a^2\), когда \(b=a\), асимптоты будут иметь угловые коэффициенты \(k=\pm\frac ba\), равные \(\pm1\). Свойством этих асимптот является взаимная перпендикулярность. Они также делят пополам углы между осями симметрии гиперболы.
Пример
Необходимо составить уравнение гиперболы, если следующие уравнения задают ее асимптоты:
\(y=\pm\frac{\sqrt6}3x\)
Гипербола проходит через точку М(6; -4).
Решение
Применим формулу \(y=\frac bax\) и получим:
\(\frac ba=\pm\frac{\sqrt6}3\)
Подставим координаты точки М в общую формулу уравнения гиперболы:
\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)
Получим систему уравнений. Чтобы получить уравнение данной гиперболы, необходимо вычислить полученную систему уравнений.
\(\left\{\begin{array}{l}\frac{6^2}{a^2}-\frac{{(-4)}^2}{b^2}=1,\\\frac ba=\pm\frac{\sqrt6}3\end{array}\right.\Rightarrow a=\pm\sqrt{12},\;b=\sqrt8\)
В итоге получим:
\(\frac{x^2}{12}-\frac{y^2}8=1\)
Горизонтальные асимптоты
Необходимо устремить аргумент лимита функции к бесконечности. Если предел существует и равен числу, то горизонтальная асимптота будет найдена и равна $ y=y_0 $ как показано во втором столбце таблицы
Наклонные асимптоты
Наклонная асимптота представляется в виде $ y = kx+b $. Где $ k $ — это коэффициент наклона асимптоты. Сначала находится коэффициент $ k $, затем $ b $. Если какой либо из них равен $ \infty $, тогда наклонной асимптоты нет. А если $ b = 0 $, то получаем горизонтальную асимптоту. Так что для экономии времени лучше сразу находить наклонную асимптоту, а горизонтальная проявится сама собой в случае её существования.
Примеры решения задач
ПРИМЕР 1Задание Найти асимптоты функции Решение Область определения этой функции . При функция имеет разрыв. Проверим, является ли прямая вертикальной асимптотой. Поскольку односторонние пределы в точке бесконечны, то прямая — вертикальная асимптота. Проверим, имеет ли функция наклонную асимптоту . Найдем следующие пределы Таким образом, — наклонная асимптота. Ответ Функция имеет вертикальную асимптоту — и наклонную асимптоту —
ПРИМЕР 2Задание Найти асимптоты функции Решение Область определения заданной функции . Прямая — вертикальная асимптота, так как Покажем, что функция имеет и наклонную асимптоту, задаваемую уравнением . Найдем коэффициенты и : Значит, данная функция имеет горизонтальную асимптоту . Ответ Функция имеет вертикальную асимптоту — и горизонтальную асимптоту —