Содержание материала
Геометрическая прогрессия коротко о главном
Определение:
Геометрическая прогрессия {\( \displaystyle {{b}_{n}}\)} – это числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число \( \displaystyle q~\ne ~0\). Это число называют знаменателем геометрической прогрессии.
Знаменатель геометрической прогрессии может принимать любые значения, кроме \( \displaystyle 0\) и \( \displaystyle 1\).
- Если \( \displaystyle q>0\), то все последующие члены прогрессии имеют одинаковый знак – они положительны;
- Если \( \displaystyle q<0\), то все последующие члены прогрессии чередуют знаки;
- При \( \displaystyle ~-1<q<1\) – прогрессия называется бесконечно убывающей.
Как найти любой член геометрической прогрессии: \( \displaystyle {{b}_{n}}={{b}_{1}}\cdot q{{\ }^{n-1}}\).
Сумма членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:\( \displaystyle {{S}_{n}}=\frac{{{b}_{1}}({{q}^{n}}-1)}{q-1}\) или \( \displaystyle {{S}_{n}}=\frac{{{b}_{1}}(1-{{q}^{n}})}{1-q}\)
- Если прогрессия является бесконечно убывающей, то: \( \displaystyle {{S}_{n}}=\frac{{{b}_{1}}}{q-1}\)
Формула сложных процентов (при условии, что деньги из оборота не изымались):
\( \displaystyle {{b}_{n}}={{b}_{1}}\cdot q{{\ }^{n-1}}\)Видео
Свойство арифметической прогрессии
Переведем с языка формул на русский: каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов. Что как раз объясняет название «арифметическая» прогрессия.
Бесконечная убывающая геометрическая прогрессия что из себя представляет
Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если модуль ее знаменателя меньше единицы \(|q| <1.\)
Сумма S всех членов бесконечной убывающей геометрической прогрессии вычисляется как соотношение между первым членом геометрической прогрессии к разности между единицей и знаменателем прогрессии:
\(S=\frac{b_1}{1-q}.\)
Доказательством этой формулы является то, что величина \(q^n\) по модулю становится все меньше и меньше и стремится к нулю, при этом величина n неограниченно возрастает.
Пример такой прогрессии:
1, \(\frac12,\) \(\frac14,\) \(\frac18\), \\(\frac1{16},…\)
Бонус: Вебинар из нашего курса по подготовке к ЕГЭ по математике
Экономические задачи на вклады очень часто требуют знания геометрической прогрессии.
Эти задачи требуют также очень подробного и чёткого описания решения.
По сути, мы составляем математическую модель какой-то жизненной ситуации (например, связанной с банковскими вкладами или кредитами), и важно научиться ничего не пропускать при описании этой модели: описывать словами все введённые обозначения, обосновывать уравнения, которые мы записываем, и всё в таком духе.
Если не написать эти объяснения, вы гарантированно получите 0 баллов даже за правильно найденный ответ!
В этом видео мы узнаем, как работают вклады, научимся решать и, главное, правильно оформлять решение таких задач.