Длина медианы треугольника

Определение медианы треугольника

Медиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой стороны, расположенной напротив данной вершины.

• BF – медиана, проведенная к стороне AC.
• AF = FC

Основание медианы – точка пересечения медианы со стороной треугольника, другими словами, середина этой стороны (точка F).

Теорема о трех медианах треугольника

Три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении \( \displaystyle 2:1\ \), считая от вершины.

Что бы это такое значило? Посмотри на рисунок. На самом деле утверждений в этой теореме целых два. Ты это заметил?

1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке.

2. Точкой пересечения медианы делятся в отношении \( \displaystyle 2:1\ \), считая от вершины.

Давай попробуем разгадать секрет этой теоремы, то есть доказать ее.

Доказательство теоремы о трех медианах треугольника

Сначала проведем не все три, а только две медианы. Они-то уж точно пересекутся, правда? Обозначим точку их пресечения буквой \( \displaystyle E\).

Соединим точки \( \displaystyle N\) и \( \displaystyle K\). Что получилось?

Конечно, \( \displaystyle NK\) – средняя линяя \( \displaystyle \triangle ABC\). Ты помнишь, что это значит?

• \( \displaystyle NK\) параллельна \( \displaystyle AC\);
• \( \displaystyle NK=\frac{AC}{2}\).

А теперь проведем ещё одну среднюю линию: отметим середину \( \displaystyle AE\) – поставим точку \( \displaystyle F\), отметим середину \( \displaystyle EC\) — поставим точку \( \displaystyle G\).

Теперь \( \displaystyle FG\) – средняя линия \( \displaystyle \triangle AEC\). То есть:

• \( \displaystyle FG\) параллельна \( \displaystyle AC\);
• \( \displaystyle FG=\frac{AC}{2}\).

Заметил совпадения? И \( \displaystyle NK\) , и \( \displaystyle FG\) – параллельны \( \displaystyle AC\). И \( \displaystyle NK=\frac{AC}{2}\), и \( \displaystyle FG=\frac{AC}{2}\).

Что из этого следует?

• \( \displaystyle NK\) параллельна \( \displaystyle FG\);
• \( \displaystyle NK=FG\)

Посмотри теперь на четырехугольник \( \displaystyle NKGF\). У какого четырехугольника противоположные стороны (\( \displaystyle NK\) и \( \displaystyle FG\)) параллельны и равны?

Конечно же, только у параллелограмма!

Значит, \( \displaystyle NKGF\) – параллелограмм. Ну и что?

А давай вспомним свойства параллелограмма. Например, что тебе известно про диагонали параллелограмма? Правильно, они делятся точкой пересечения пополам.

Снова смотрим на рисунок.

Получилось что:

Видео

Медиана в прямоугольном треугольнике

Медиана равна половине гипотенузы прямоугольного треугольника!

Почему??? При чём тут прямой угол?

Давай смотреть внимательно. Только не на треугольник, а на … прямоугольник.

Ты заметил, что наш треугольник \( \displaystyle ABC\) – ровно половина этого прямоугольника?

Проведём диагональ \( \displaystyle BD\):

Помнишь ли ты, что диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам?

Если не помнишь, загляни в тему «Параллелограмм, прямоугольник, ромб…»

Но одна из диагоналей – \( \displaystyle AC\) – наша гипотенуза! Значит, точка пересечения диагоналей – середина гипотенузы \( \displaystyle \Delta ABC\).

Она называлась у нас \( \displaystyle M\).

Значит, половина второй диагонали – наша медиана \( \displaystyle BM\). Диагонали равны, их половинки, конечно же, тоже. Вот и получим \( \displaystyle BM=MA=MC\)

Медиана в прямоугольном треугольнике, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Более того, так бывает только в прямоугольном треугольнике!

Если медиана равна половине стороны, то треугольник прямоугольный, и эта медиана проведена к гипотенузе.

Доказывать это утверждение мы не будем, а чтобы в него поверить, подумай сам: разве бывает какой-нибудь другой параллелограмм с равными диагоналями, кроме прямоугольника?

Нет, конечно! Ну вот, значит, и медиана может равняться половине стороны только в прямоугольном треугольнике.

Характерные особенности медианы

Медиана обладает многими свойствами, ниже их краткое перечисление. Некоторые из них будут рассмотрены подробнее.

1. Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника: $S_{▵ACD}=S_{▵BDC},S_{▵MNO}=S_{▵ONK}$
2. Все медианы треугольника пересекаются в одной точке и разбивают его на 6 треугольников одной площади.
3. Медиана, проведенная из прямого угла прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы: CD=½AB=AD=BD.
4. У правильного или равностороннего треугольника медиана является одновременно биссектрисой и высотой, проведенными из того же угла.
5. У равнобедренного треугольника совпадают медиана, биссектриса и высота, которые проводятся к основанию.
6. Для нахождения длины медианы треугольника используется следующая формула: $BD=\sqrt{\frac{1}{2}{a}^2}+\sqrt{\frac{1}{2}{c}^2}—\sqrt{\frac{1}{4}{b}^2}$, где BD — медиана, а a, b и c — стороны треугольника.

Пример нахождения и построения медианы

Для того чтобы узнать длину медианы, нужно знать:

• длины всех сторон треугольника;
• либо периметр и две стороны.

Задача

Дан ΔABC с известными сторонами АВ=9 см, СВ=8 см, АС=13 см. Необходимо вычислить длину медианы, построенной к наибольшей стороне. Решение: чтобы найти длину медианы, используют дополнительные построения. Продлим медиану BO ΔABC и построим параллелограмм. Отрезок BO равен ½ диагонали получившегося параллелограмма. Согласно теореме о диагоналях параллелограмма, сумма квадратов его диагоналей равна удвоенной сумме квадратов его сторон. 2(a2+b2)=d12+d22; 2(82+92)+132+x2; 290=169+x2; x2=121; x=11. Медиана равна половине найденной диагонали, 11:2=5,5 (см). Ответ: 5,5 см.

Теги