Содержание материала
Определение медианы треугольника
Медиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой стороны, расположенной напротив данной вершины.
- BF – медиана, проведенная к стороне AC.
- AF = FC
Основание медианы – точка пересечения медианы со стороной треугольника, другими словами, середина этой стороны (точка F).
Теорема о трех медианах треугольника
Три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении \( \displaystyle 2:1\ \), считая от вершины.

Что бы это такое значило? Посмотри на рисунок. На самом деле утверждений в этой теореме целых два. Ты это заметил?
1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке.
2. Точкой пересечения медианы делятся в отношении \( \displaystyle 2:1\ \), считая от вершины.
Давай попробуем разгадать секрет этой теоремы, то есть доказать ее.
Доказательство теоремы о трех медианах треугольника
Сначала проведем не все три, а только две медианы. Они-то уж точно пересекутся, правда? Обозначим точку их пресечения буквой \( \displaystyle E\).

Соединим точки \( \displaystyle N\) и \( \displaystyle K\). Что получилось?

Конечно, \( \displaystyle NK\) – средняя линяя \( \displaystyle \triangle ABC\). Ты помнишь, что это значит?
- \( \displaystyle NK\) параллельна \( \displaystyle AC\);
- \( \displaystyle NK=\frac{AC}{2}\).
А теперь проведем ещё одну среднюю линию: отметим середину \( \displaystyle AE\) – поставим точку \( \displaystyle F\), отметим середину \( \displaystyle EC\) — поставим точку \( \displaystyle G\).
Теперь \( \displaystyle FG\) – средняя линия \( \displaystyle \triangle AEC\). То есть:
- \( \displaystyle FG\) параллельна \( \displaystyle AC\);
- \( \displaystyle FG=\frac{AC}{2}\).
Заметил совпадения? И \( \displaystyle NK\) , и \( \displaystyle FG\) – параллельны \( \displaystyle AC\). И \( \displaystyle NK=\frac{AC}{2}\), и \( \displaystyle FG=\frac{AC}{2}\).
Что из этого следует?
- \( \displaystyle NK\) параллельна \( \displaystyle FG\);
- \( \displaystyle NK=FG\)
Посмотри теперь на четырехугольник \( \displaystyle NKGF\). У какого четырехугольника противоположные стороны (\( \displaystyle NK\) и \( \displaystyle FG\)) параллельны и равны?

Конечно же, только у параллелограмма!
Значит, \( \displaystyle NKGF\) – параллелограмм. Ну и что?
А давай вспомним свойства параллелограмма. Например, что тебе известно про диагонали параллелограмма? Правильно, они делятся точкой пересечения пополам.
Снова смотрим на рисунок.

Получилось что:
Видео
Медиана в прямоугольном треугольнике
Медиана равна половине гипотенузы прямоугольного треугольника!

Почему??? При чём тут прямой угол?
Давай смотреть внимательно. Только не на треугольник, а на … прямоугольник.

Ты заметил, что наш треугольник \( \displaystyle ABC\) – ровно половина этого прямоугольника?
Проведём диагональ \( \displaystyle BD\):

Помнишь ли ты, что диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам?
Если не помнишь, загляни в тему «Параллелограмм, прямоугольник, ромб…»
Но одна из диагоналей – \( \displaystyle AC\) – наша гипотенуза! Значит, точка пересечения диагоналей – середина гипотенузы \( \displaystyle \Delta ABC\).
Она называлась у нас \( \displaystyle M\).

Значит, половина второй диагонали – наша медиана \( \displaystyle BM\). Диагонали равны, их половинки, конечно же, тоже. Вот и получим \( \displaystyle BM=MA=MC\)
Медиана в прямоугольном треугольнике, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
Более того, так бывает только в прямоугольном треугольнике!
Если медиана равна половине стороны, то треугольник прямоугольный, и эта медиана проведена к гипотенузе.
Доказывать это утверждение мы не будем, а чтобы в него поверить, подумай сам: разве бывает какой-нибудь другой параллелограмм с равными диагоналями, кроме прямоугольника?
Нет, конечно! Ну вот, значит, и медиана может равняться половине стороны только в прямоугольном треугольнике.
Характерные особенности медианы
Медиана обладает многими свойствами, ниже их краткое перечисление. Некоторые из них будут рассмотрены подробнее.
- Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника:
- Все медианы треугольника пересекаются в одной точке и разбивают его на 6 треугольников одной площади.
- Медиана, проведенная из прямого угла прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы: CD=½AB=AD=BD.
- У правильного или равностороннего треугольника медиана является одновременно биссектрисой и высотой, проведенными из того же угла.
- У равнобедренного треугольника совпадают медиана, биссектриса и высота, которые проводятся к основанию.
- Для нахождения длины медианы треугольника используется следующая формула: , где BD — медиана, а a, b и c — стороны треугольника.
Пример нахождения и построения медианы
Для того чтобы узнать длину медианы, нужно знать:
- длины всех сторон треугольника;
- либо периметр и две стороны.
Дан ΔABC с известными сторонами АВ=9 см, СВ=8 см, АС=13 см. Необходимо вычислить длину медианы, построенной к наибольшей стороне. Решение: чтобы найти длину медианы, используют дополнительные построения. Продлим медиану BO ΔABC и построим параллелограмм. Отрезок BO равен ½ диагонали получившегося параллелограмма. Согласно теореме о диагоналях параллелограмма, сумма квадратов его диагоналей равна удвоенной сумме квадратов его сторон. 2(a2+b2)=d12+d22; 2(82+92)+132+x2; 290=169+x2; x2=121; x=11. Медиана равна половине найденной диагонали, 11:2=5,5 (см). Ответ: 5,5 см.