Содержание материала
Деление с остатком
Рассмотрим простой пример: 15:5=3 В этом примере натуральное число 15 мы поделили нацело на 3, без остатка.
Иногда натуральное число полностью поделить нельзя нацело. Например, рассмотрим задачу: В шкафу лежало 16 игрушек. В группе было пятеро детей. Каждый ребенок взял одинаковое количество игрушек. Сколько игрушек у каждого ребенка?
Решение: Поделим число 16 на 5 столбиком получим:
Мы знаем, что 16 на 5 не делиться. Ближайшее меньшее число, которое делиться на 5 это 15 и 1 в остатке. Число 15 мы можем расписать как 5⋅3. В итоге (16 – делимое, 5 – делитель, 3 – неполное частное, 1 — остаток). Получили формулу деления с остатком, по которой можно сделать проверку решения.
16=5⋅3+1
a=b⋅c+d a – делимое, b – делитель, c – неполное частное, d – остаток.
Ответ: каждый ребенок возьмет по 3 игрушки и одна игрушка останется.
Видео
Как найти остаток
Рассмотрим другой пример:
$$42:9=x (ост.y)$$
Давайте попробуем найти $x$ и $y$:
- Сначала нужно проверить, будет ли остаток равен нулю или нет. В нашем случае 42 не делится нацело на 9, значит остаток есть.
- Теперь подберем самое большое число, которое можно разделить нацело на делитель. При этом данное число должно быть меньше самого делимого. 36 — самое большое число, которое делится нацело на 9.
- Чтобы получить 36, нужно 9 умножить на 4, значит 4 и будет неполным частным $x$.
- Из 42 вычтем произведение делителя и неполного частного (42 — 36). В ответе получаем 6 — это как раз таки и будет остаток $y$. Пример решен!
Запомним еще 2 правила, которые необходимы при работе с остатком:
Остаток всегда меньше делителя.
Если остаток равен нулю, то говорят, что делимое делится на делитель без остатка, то есть нацело.
Проверка деления с остатком
Пока решаешь пример, бывает всякое: то в окно отвлекся, то друг позвонил. Чтобы убедиться в том, что все правильно, важно себя проверять. Особенно ученикам 5 класса, которые только начали проходить эту тему.
Формула деления с остатком a = b * c + d, где a — делимое, b — делитель, c — неполное частное, d — остаток. |
Эту формулу можно использовать для проверки деления с остатком.
Пример
Рассмотрим выражение: 15 : 2 = 7 (остаток 1).
В этом выражении: 15 — это делимое, 2 — делитель, 7 — неполное частное, а 1 — остаток.
Чтобы убедиться в правильности ответа, нужно неполное частное умножить на делитель (или наоборот) и к полученному произведению прибавить остаток. Если в результате получится число, которое равно делимому, то деление с остатком выполнено верно. Вот так:
- 7 * 2 + 1 = 15;
- 2 * 7 + 1 = 15.
Чтобы научиться делить числа с остатком, нужно усвоить некоторые правила. Начнем!
Все целые положительные числа являются натуральными. Поэтому деление целых чисел выполняется по всем правилам деления с остатком натуральных чисел.
Самый удобный способ деления — это столбик.
Попрактикуемся в решении.
Пример
Разделить 14671 на 54.
Как решаем:
Выполним деление столбиком:

Неполное частное равно 271, остаток — 37.
Ответ: 14671 : 54 = 271(остаток 37).
Теорема о делимости целых чисел с остатком
Мы выявили, что – это делимое, тогда – это делитель, – неполное частное, а – остаток. Они между собой связаны. Эту связь покажем при помощи равенства . Связь между ними характеризуется теоремой делимости с остатком.
Любое целое число может быть представлено только через целое и отличное от нуля число b таким образом: a=b·q+r, где q и r – это некоторые целые числа. Тут имеем ≤r≤b.
Докажем возможность существования .
Если существуют два числа a и b, причем a делится на b без остатка, тогда из определения следует, что имеется число q, что будет верно равенство a=b·q. Тогда равенство можно считать верным: a=b·q+r при r=. Если посчитать, что b – целое положительное число, тогда, следует выбрать целое q так, чтобы произведение b·q не было больше значения числа а, а произведение b·(q+1) было больше, чем a. Тогда необходимо взять q такое, чтобы данное неравенством b·q<a<b·(q+1) было верным. Необходимо вычесть b·q из всех частей выражения. Тогда придем к неравенству такого вида: <a−b·q<b. Имеем, что значение выражения a−b·q больше нуля и не больше значения числа b, отсюда следует, что r=a−b·q. Получим, что число а можем представить в виде a=b·q+r. Теперь необходимо рассмотреть возможность представления a=b·q+r для отрицательных значений b. Модуль числа получается положительным, тогда получим a=b·q1+r, где значение q1 –некоторое целое число, r – целое число, которое подходит условию ≤r<b. Принимаем q=−q1, получим, что a=b·q+r для отрицательных b. Доказательство единственности Допустим, что a=b·q+r, q и r являются целыми числами с верным условием ≤r<b, имеется еще одна форма записи в виде a=b·q1+r1, где q1 и r1 являются некоторыми числами, где q1≠q , ≤r1<b. Когда из левой и правых частей вычитается неравенство, тогда получаем =b·(q−q1)+r−r1, которое равносильно r-r1=b·q1-q. Так как используется модуль, получим равенство r-r1=b·q1-q. Заданное условие говорит о том, что ≤r<b и ≤r1<b запишется в виде r-r1<b. Имеем, что q и q1– целые, причем q≠q1, тогда q1-q≥1. Отсюда имеем, что b·q1-q≥b. Полученные неравенства r-r1<b и b·q1-q≥b указывают на то, что такое равенство в виде r-r1=b·q1-q невозможно в данном случае. Отсюда следует, что по-другому число a быть представлено не может, кроме как такой записью a=b·q+r.
Правило деления с остатком целого положительного числа на целое отрицательное, примеры
Чтобы выполнить деление с остатком положительного числа на целое отрицательное, необходимо сформулировать правило.
Неполное частное от деления целого положительного a на целое отрицательное b получаем число, которое противоположно неполному частному от деления модулей чисел a на b. Тогда остаток равен остатку при делении a на b.
Отсюда имеем, что неполное частное от деления целого полодительного числа на целое отрицательное число считают целым неположительным числом.
Получим алгоритм:
- найти модули делимого и делителя;
- делить модуль делимого на модуль делителя, тогда получим неполное частное и
- остаток;
- запишем число противоположное полученному.
Рассмотрим на примере алгоритма деления целого положительного числа на целое отрицательное.
Выполнить деление с остатком 17 на -5. Решение Применим алгоритм деления с остатком целого положительного числа на целое отрицательное. Необходимо разделить 17 на -5 по модулю. Отсюда получим, что неполное частное равно 3, а остаток равен 2. Получим, что искомое число от деления 17 на -5 =-3 с остатком равным 2. Ответ:17:(−5)=−3 (ост. 2).
Необходимо разделить 45 на -15. Решение Необходимо разделить числа по модулю. Число 45 делим на 15, получим частное 3 без остатка. Значит, число 45 делится на 15 без остатка. В ответе получаем -3, так как деление производилось по модулю. 45:(-15)=45:-15=-45:15=-3 Ответ: 45:(−15)=−3.
Деление с остатком с помощью числового луча
Деление с остатком можно выполнить и на числовом луче.
Пример 1
Рассмотрим выражение: 10 : 3.
Отметим на числовом луче отрезки по 3 деления. Видим, что три деления помещаются полностью три раза и одно деление осталось.

Решение: 10 : 3 = 3 (остаток 1).
Пример 2
Рассмотрим выражение: 11 : 3.
Отметим на числовом луче отрезки по 3 деления. Видим, что три деления поместились три раза и два деления осталось.

Решение: 11 : 3 = 3 (остаток 2).