Содержание материала
Таблица свойств логарифмов
Ниже представлены основные свойства логарифмов в табличном виде.
Свойство | Формула | Пример |
Основное логарифмическое тождество | ||
Логарифм произведения | ||
Логарифм деления/частного | ||
Логарифм степени | ||
Логарифм числа по основанию в степени | ![]() | ![]() |
Логарифм корня | ![]() | ![]() |
Перестановка основания логарифма | ||
Переход к новому основанию | ||
Производная логарифма | ||
Интеграл логарифма | ||
Логарифм отрицательного числа | ||
Логарифм числа, равного основанию | ||
Логарифм бесконечности |
Видео
Основное логарифмическое тождество
Вспомним определение логарифма в общем виде:
\( \displaystyle {{\log }_{a}}b=c\text{ }\Leftrightarrow \text{ }{{a}^{c}}=b\)Подставим во второе равенство вместо \( \displaystyle c\) логарифм:
\( \displaystyle {{a}^{{{\log }_{a}}b}}=b\)Это равенство называется основным логарифмическим тождеством. Хотя по сути это равенство – просто по-другому записанное определение логарифма:
\( \displaystyle {{\log }_{a}}b\) – это степень, в которую нужно возвести \( \displaystyle a\), чтобы получить \( \displaystyle b\).
Что такое логарифм и как его посчитать
Логарифм имеет следующий вид:
где a – это основание логарифма,
b – это аргумент логарифма
Чтобы узнать значение логарифма приравняем его к X.и преобразовываем в
и преобразовываем вЗапомните, что именно основание (оно выделено красным) возводится в степень.
Чтобы было легче, можно запоминать так – основание всегда остается внизу (и в первом, и во втором выражении a внизу)!
Приведем пример:
Чтобы вычислить данный логарифм, необходимо приравнять его к X и воспользоваться правилом, описанным выше:А в какую степень нужно возвести 2, чтобы получилось 8? Конечно же в третью степень, таким образом:
Еще раз обращаю ваше внимание, что основание (в нашем случае это – 2) всегда находится внизу и именно оно возводится в степень.
Еще примеры:
Десятичный и натуральный логарифмы
Как указано в определении логарифма, его основанием может быть любое положительное число, кроме единицы \((a>0, a\neq1)\). И среди всех возможных оснований есть два встречающихся настолько часто, что для логарифмов с ними придумали особую короткую запись:
То есть, \(\ln{a}\) это то же самое, что и \(\log_{e}{a}\), где \(a\) — некоторое число.
То есть, \(\lg{a}\) это то же самое, что и \(\log_{10}{a}\), где \(a\) — некоторое число.
Графики логарифма

График логарифма получается из графика показательной функции зеркальным отражением относительно прямой y = x. Слева изображены графики функции y = loga x для четырех значений основания логарифма: a = 2, a = 8, a = 1/2 и a = 1/8. На графике видно, что при a > 1 логарифм монотонно возрастает. С увеличением x рост существенно замедляется. При < a < 1 логарифм монотонно убывает.
Выражения через комплексные числа
Рассмотрим функцию комплексного числа z: \( \displaystyle f(z)=\log_{\,a}z \). Выразим комплексное число z через модуль r и аргумент φ: \( \displaystyle z=r e^{i\varphi} \). Тогда, используя свойства логарифма, имеем: \( \displaystyle f(z)=\log_{\,a}z= \log_{\,a}{r e^{i\varphi}}= \) \( \displaystyle \log_{\,a}r + \log_{\,a}{e^{i\varphi}}= \) \( \displaystyle \log_{\,a}r + i\varphi\log_{\,a}{e}= \) \( \displaystyle \log_{\,a}r + i\varphi\frac1{\log_{\,e}{a}}\equiv \) \( \displaystyle \log_{\,a}r + i\varphi\frac1{\ln{a}}= \log_{\,a}r + \frac{i\varphi}{\ln a} \). Или \( \displaystyle \log_{\,a}z= \log_{\,a}r + \frac{i\varphi}{\ln a} \) Однако, аргумент φ определен не однозначно. Если положить \( \displaystyle\ \varphi=\varphi_0+2\pi n\), где n — целое, то \( z=r e^{i\varphi} \) будет одним и тем же числом при различных n.
Поэтому логарифм, как функция от комплексного переменного, является не однозначной функцией.
Логарифмы в природе
Больше всего логарифмов можно встретить в природе в виде логарифмической спирали. Математическая формула спирали выглядит так:

Если мы захотим построить график этого уравнения, то он будет выглядеть так:

А вот логарифмическая спираль в природе — в ракушках, подсолнечнике и капусте. С капустой ещё связана другая интересная тема — фракталы, но про них поговорим в другой раз.



Даже рога у горных козлов закручиваются по логарифмической спирали:

Формулы и свойства логарифмов
Для любых a > 0, a ≠ 1 и b > 0, x > 0, y > 0 выполняются следующие свойства логарифмов.
-
alogab = b – основное логарифмическое тождество
-
loga 1 = 0 – логарифма единицы
-
loga a = 1 – логарифм числа, равного основанию
-
loga(x · y) = logax + logay – логарифм произведения двух положительных чисел
-
loga
= logax – logay – логарифма частногоx y -
loga
= -logax1 x -
loga xn = n logax – логарифм степени числа
-
loga n√x =
logax – логарифм корня числа1 n -
logan x =
loga x, при n ≠ 01 n -
logax = logac xc
-
loga x =
– формула перехода к новому основаниюlogb x logb a -
loga x =
1 logx a -
(loga x)′ =
– производная логарифма1 x ln a