Что такое логарифм в математике и в жизни

Таблица свойств логарифмов

Ниже представлены основные свойства логарифмов в табличном виде.

СвойствоФормулаПример
Основное логарифмическое тождествоa loga b = b2log28 = 8
Логарифм произведенияlogb (x ⋅ y) = logb x + logb ylog10(37) = log103 + log107
Логарифм деления/частногоlogb (x / y) = logb x — logb ylog10(3 / 7) = log103log107
Логарифм степениlogb (x y) = y ⋅ logb xlog10(28) = 8log102
Логарифм числа по основанию в степени
Логарифм корня
Перестановка основания логарифмаlogb c = 1 / logc blog28 = 1 / log82
Переход к новому основаниюlogb x = logc x / logc blog28 = log108 / log102
Производная логарифмаf(x) = logb x ⇒ f ‘(x) = 1 / (x ⋅ ln b)
Интеграл логарифма∫ logb (x) dx = x ⋅ (logb x — 1 / ln b) + C
Логарифм отрицательного числаlogb x не определен при x ≤ 0
Логарифм числа 0logb 0 не определен
Логарифм числа 1logb 1 = 0, b > 0, b ≠ 0log21 = 0
Логарифм числа, равного основаниюlogb b = 1, b > 0, b ≠ 0log22 = 1
Логарифм бесконечностиlim logb x = ∞, при x → ∞

Видео

Основное логарифмическое тождество

Вспомним определение логарифма в общем виде:

\( \displaystyle {{\log }_{a}}b=c\text{ }\Leftrightarrow \text{ }{{a}^{c}}=b\)

Подставим во второе равенство вместо \( \displaystyle c\) логарифм:

\( \displaystyle {{a}^{{{\log }_{a}}b}}=b\)Это равенство называется основным логарифмическим тождеством. Хотя по сути это равенство – просто по-другому записанное определение логарифма:

\( \displaystyle {{\log }_{a}}b\) – это степень, в которую нужно возвести \( \displaystyle a\), чтобы получить \( \displaystyle b\).

Что такое логарифм и как его посчитать

Логарифм имеет следующий вид:

b – это аргумент логарифмагде a – это основание логарифма,

b – это аргумент логарифма

Чтобы узнать значение логарифма приравняем его к X.и преобразовываем ви преобразовываем вЗапомните, что именно основание (оно выделено красным) возводится в степень.

Чтобы было легче, можно запоминать так – основание всегда остается внизу (и в первом, и во втором выражении a внизу)!

Приведем пример:

Чтобы вычислить данный логарифм, необходимо прирав

Чтобы вычислить данный логарифм, необходимо приравнять его к X и воспользоваться правилом, описанным выше:Еще раз обращаю ваше внимание, что основание (в наА в какую степень нужно возвести 2, чтобы получилось 8? Конечно же в третью степень, таким образом:

Еще примеры:Еще раз обращаю ваше внимание, что основание (в нашем случае это – 2) всегда находится внизу и именно оно возводится в степень.

Еще примеры:

Десятичный и натуральный логарифмы

Как указано в определении логарифма, его основанием может быть любое положительное число, кроме единицы \((a>0, a\neq1)\). И среди всех возможных оснований есть два встречающихся настолько часто, что для логарифмов с ними придумали особую короткую запись:

То есть, \(\ln{a}\) это то же самое, что и \(\log_{e}{a}\), где \(a\) — некоторое число.

То есть, \(\lg{a}\) это то же самое, что и \(\log_{10}{a}\), где \(a\) — некоторое число.

Графики логарифма

Графики логарифма y = log a x  при различных значе
Графики логарифма y = loga x при различных значениях основания a.

График логарифма получается из графика показательной функции зеркальным отражением относительно прямой y = x. Слева изображены графики функции y = loga x для четырех значений основания логарифма: a = 2, a = 8, a = 1/2 и a = 1/8. На графике видно, что при a > 1 логарифм монотонно возрастает. С увеличением x рост существенно замедляется. При < a < 1 логарифм монотонно убывает.

Выражения через комплексные числа

Рассмотрим функцию комплексного числа z: \( \displaystyle f(z)=\log_{\,a}z \). Выразим комплексное число z через модуль r и аргумент φ: \( \displaystyle z=r e^{i\varphi} \). Тогда, используя свойства логарифма, имеем: \( \displaystyle f(z)=\log_{\,a}z= \log_{\,a}{r e^{i\varphi}}= \) \( \displaystyle \log_{\,a}r + \log_{\,a}{e^{i\varphi}}= \) \( \displaystyle \log_{\,a}r + i\varphi\log_{\,a}{e}= \) \( \displaystyle \log_{\,a}r + i\varphi\frac1{\log_{\,e}{a}}\equiv \) \( \displaystyle \log_{\,a}r + i\varphi\frac1{\ln{a}}= \log_{\,a}r + \frac{i\varphi}{\ln a} \). Или \( \displaystyle \log_{\,a}z= \log_{\,a}r + \frac{i\varphi}{\ln a} \) Однако, аргумент φ определен не однозначно. Если положить \( \displaystyle\ \varphi=\varphi_0+2\pi n\), где n — целое, то \( z=r e^{i\varphi} \) будет одним и тем же числом при различных n.

Поэтому логарифм, как функция от комплексного переменного, является не однозначной функцией.

Логарифмы в природе

Больше всего логарифмов можно встретить в природе в виде логарифмической спирали. Математическая формула спирали выглядит так:

Если мы захотим построить график этого уравнения,

Если мы захотим построить график этого уравнения, то он будет выглядеть так:

Логарифмическая спираль в математике.
Логарифмическая спираль в математике.

А вот логарифмическая спираль в природе — в ракушках, подсолнечнике и капусте. С капустой ещё связана другая интересная тема — фракталы, но про них поговорим в другой раз.

Даже рога у горных козлов закручиваются по логариф

Даже рога у горных козлов закручиваются по логарифмической спирали:

Формулы и свойства логарифмов

Формулы и свойства логарифмов

Для любых a > 0, a ≠ 1 и b > 0, x > 0, y > 0 выполняются следующие свойства логарифмов.

  1. alogab = bосновное логарифмическое тождество

  2. loga 1 = 0 – логарифма единицы

  3. loga a = 1 – логарифм числа, равного основанию

  4. loga(x · y) = logax + logayлогарифм произведения двух положительных чисел

  5. loga x y = logax – logayлогарифма частного

  6. loga 1 x = -logax

  7. loga xn = n logaxлогарифм степени числа

  8. loga nx = 1 n logaxлогарифм корня числа

  9. logan x = 1 n loga x, при n ≠ 0

  10. logax = logac xc

  11. loga x = logb x logb a формула перехода к новому основанию

  12. loga x = 1 logx a

  13. (loga x)′ = 1 x ln a – производная логарифма

Теги

Популярные:

Последние:

Adblock
detector