Как найти логарифм 🚩 Математика

Содержание материала

Таблица свойств логарифмов
Видео
Основное логарифмическое тождество
Что такое логарифм и как его посчитать
Десятичный и натуральный логарифмы
Графики логарифма
Выражения через комплексные числа
Логарифмы в природе
Формулы и свойства логарифмов

Таблица свойств логарифмов

Ниже представлены основные свойства логарифмов в табличном виде.

Свойство	Формула	Пример
Основное логарифмическое тождество	a^{log_a b} = b	2^log₂8 = 8
Логарифм произведения	log_b (x ⋅ y) = log_b x + log_b y	log₁₀(3 ⋅ 7) = log₁₀3 + log₁₀7
Логарифм деления/частного	log_b (x / y) = log_b x — log_b y	log₁₀(3 / 7) = log₁₀3 — log₁₀7
Логарифм степени	log_b (x^y) = y ⋅ log_b x	log₁₀(2⁸) = 8 ⋅ log₁₀2
Логарифм числа по основанию в степени
Логарифм корня
Перестановка основания логарифма	log_b c = 1 / log_c b	log₂8 = 1 / log₈2
Переход к новому основанию	log_b x = log_c x / log_c b	log₂8 = log₁₀8 / log₁₀2
Производная логарифма	f(x) = log_b x ⇒ f ‘(x) = 1 / (x ⋅ ln b)
Интеграл логарифма	∫ log_b (x) dx = x ⋅ (log_b x — 1 / ln b) + C
Логарифм отрицательного числа	log_b x не определен при x ≤ 0
Логарифм числа 0	log_b 0 не определен
Логарифм числа 1	log_b 1 = 0, b > 0, b ≠ 0	log₂1 = 0
Логарифм числа, равного основанию	log_b b = 1, b > 0, b ≠ 0	log₂2 = 1
Логарифм бесконечности	lim log_b x = ∞, при x → ∞

Видео

Основное логарифмическое тождество

Вспомним определение логарифма в общем виде:

\( \displaystyle {{\log }_{a}}b=c\text{ }\Leftrightarrow \text{ }{{a}^{c}}=b\)

Подставим во второе равенство вместо \( \displaystyle c\) логарифм:

\( \displaystyle {{a}^{{{\log }_{a}}b}}=b\)Это равенство называется основным логарифмическим тождеством. Хотя по сути это равенство – просто по-другому записанное определение логарифма:

\( \displaystyle {{\log }_{a}}b\) – это степень, в которую нужно возвести \( \displaystyle a\), чтобы получить \( \displaystyle b\).

Что такое логарифм и как его посчитать

Логарифм имеет следующий вид:

где a – это основание логарифма,

b – это аргумент логарифма

Чтобы узнать значение логарифма приравняем его к X.и преобразовываем ви преобразовываем вЗапомните, что именно основание (оно выделено красным) возводится в степень.

Чтобы было легче, можно запоминать так – основание всегда остается внизу (и в первом, и во втором выражении a внизу)!

Приведем пример:

Чтобы вычислить данный логарифм, необходимо приравнять его к X и воспользоваться правилом, описанным выше:А в какую степень нужно возвести 2, чтобы получилось 8? Конечно же в третью степень, таким образом:

Еще раз обращаю ваше внимание, что основание (в нашем случае это – 2) всегда находится внизу и именно оно возводится в степень.

Еще примеры:

Десятичный и натуральный логарифмы

Как указано в определении логарифма, его основанием может быть любое положительное число, кроме единицы \((a>0, a\neq1)\). И среди всех возможных оснований есть два встречающихся настолько часто, что для логарифмов с ними придумали особую короткую запись:

То есть, \(\ln{a}\) это то же самое, что и \(\log_{e}{a}\), где \(a\) — некоторое число.

То есть, \(\lg{a}\) это то же самое, что и \(\log_{10}{a}\), где \(a\) — некоторое число.

Графики логарифма

График логарифма получается из графика показательной функции зеркальным отражением относительно прямой y = x. Слева изображены графики функции y = log_a x для четырех значений основания логарифма: a = 2, a = 8, a = 1/2 и a = 1/8. На графике видно, что при a > 1 логарифм монотонно возрастает. С увеличением x рост существенно замедляется. При < a < 1 логарифм монотонно убывает.

Выражения через комплексные числа

Рассмотрим функцию комплексного числа z: \( \displaystyle f(z)=\log_{\,a}z \). Выразим комплексное число z через модуль r и аргумент φ: \( \displaystyle z=r e^{i\varphi} \). Тогда, используя свойства логарифма, имеем: \( \displaystyle f(z)=\log_{\,a}z= \log_{\,a}{r e^{i\varphi}}= \) \( \displaystyle \log_{\,a}r + \log_{\,a}{e^{i\varphi}}= \) \( \displaystyle \log_{\,a}r + i\varphi\log_{\,a}{e}= \) \( \displaystyle \log_{\,a}r + i\varphi\frac1{\log_{\,e}{a}}\equiv \) \( \displaystyle \log_{\,a}r + i\varphi\frac1{\ln{a}}= \log_{\,a}r + \frac{i\varphi}{\ln a} \). Или \( \displaystyle \log_{\,a}z= \log_{\,a}r + \frac{i\varphi}{\ln a} \) Однако, аргумент φ определен не однозначно. Если положить \( \displaystyle\ \varphi=\varphi_0+2\pi n\), где n — целое, то \( z=r e^{i\varphi} \) будет одним и тем же числом при различных n.

Поэтому логарифм, как функция от комплексного переменного, является не однозначной функцией.

Логарифмы в природе

Больше всего логарифмов можно встретить в природе в виде логарифмической спирали. Математическая формула спирали выглядит так:

Если мы захотим построить график этого уравнения, то он будет выглядеть так:

А вот логарифмическая спираль в природе — в ракушках, подсолнечнике и капусте. С капустой ещё связана другая интересная тема — фракталы, но про них поговорим в другой раз.