Центр тяжести тела ℹ️ определение, формула, примеры решения задач

Центр тяжести тела

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Центр тяжести — это такая точка приложения равнодействующей сил тяжести, действующих на все части тела, которая не изменяет своего положения при любых переворотах тела.

Положение центра тяжести тела можно определить экспериментально. Для этого достаточно поочередно подвесить тело за две различные точки на его поверхности и провести через точки подвеса вертикали. Пересечение этих линий — линий действия сил тяжести — и определяет положение центра тяжести тела.

Центр тяжести, центр масс и центр инерции тела

Считают, что центр тяжести тела совпадают с центром масс тела, если его размеры малы в сравнении с расстоянием до центра Земли. При этом формулы, которые определяют положение цента тяжести и центра масс тела совпадают с выражениями (1) и (2). В основной массе задач центр тяжести принимают совпадающим с центром масс тела.

Сила инерции в неинерциальных системах отсчета, движущихся поступательно, приложена к центру тяжести тела.

Но центробежная сила инерции (в общем случае) не приложена к центру тяжести, поскольку в неинерциальной системе отсчета на элементы тела действуют разные центробежные силы инерции (даже если массы элементов равны), так как расстояния до оси вращения разные.

Видео

Как найти центр тяжести?

Для нахождения центра тяжести тела сложной формы необходимо мысленно разбить тело на части простой формы и определить место нахождения центров тяжести для них. У тел простой формы центр тяжести определяют, используя их симметрию. Так, центр тяжести однородных диска и шара расположен в их центре, однородного цилиндра в точке на середине его оси; однородного параллелепипеда на пересечении его диагоналей и т, д. У всех однородных тел центр тяжести совпадает с центром симметрии. Центр тяжести может находиться вне тела, например, у кольца.

Определив, где расположены центры тяжести отдельных частей тела, переходят к поиску места расположения центра тяжести тела в целом. Тело представляют в виде системы материальных точек. При этом каждая точка имеет массу своей части тела и располагается в ее центре тяжести.

Пример задания

Теоретический материал лучше всего усваивается на практических заданиях. Не исключение и понятие о центре тяжести. Тема несложная, но при нахождении параметра желательно фигуру изобразить на рисунке.

Наиболее часто ученикам преподаватель предлагает решить задачу о нахождении центра масс сложного тела, но при этом достаточно симметричного. Например, пусть имеется диск из однородной пластины, в котором вырезан кусок треугольной формы. Необходимо найти центр равновесия оставшегося объекта.

Если нарисовать условие задачи, станет понятно, что треугольник прямоугольный, а центр масс находится на горизонтальной прямой, проходящей через середину диска. Пусть это будет ось x. Чтобы решить задачу, нужно разбить сложную фигуру на несколько частей, в каждой из которых можно найти искомую точку.

Симметрично удалённому треугольнику можно выделить аналогичную часть. В итоге останется круг с вырезанным внутри квадратом. Точка масс диска находится в центре. Для удобства её можно обозначить как x1. Вторая фигура — это треугольник. Точка равновесия у него находится на пересечении медиан. То есть на 1/3 высоты. Обозначить точку можно как x2.

Если масса треугольника равна М2, а круга М1, искомую координату можно определить по формуле: x = (m1x1 + m2x2) / m1 + m2. Далее, нужно найти, чему равняется сторона вырезанного треугольника. Из рисунка можно понять, что это расстояние будет r * √2, где r — радиус диска.

Теперь можно найти, чему будут равны x1 и x2. x1 будет равняться нулю, так как эту точку можно принять за начало координат. x2 же будет равняться 1/3 длины медианы. Высота фигуры совпадает с радиусом диска, значит: x2 = R/3.

В таких задачах самое сложное — это найти массы. Первую можно определить исходя из того, что она будет равняться массе диска минус значение квадрата. Так как фигура однородная, масса прямо пропорциональна площади. Тогда для первого участка m1 = σ * S = σ * (Sкруга — Sквадрата) = σ * (pR2 — 2R2) = σR2 * (p — 2), где: σ — поверхностная площадь. Соответственно, m2 = σ * Sтреугольника = σ * R2. Все найденные величины нужно подставить в формулу и найти ответ: x = ((r * σ * R2 /3)) / (σ * R2 * (p — 2) + σ * R2) = (r / 3 (p — 1)). Это и будет искомая координата.

Особенности расчета для фигуры неправильной формы

На практике редко встречаются тела простой формы (круглой, прямоугольной и пр.).

Для расчета координат центра тяжести фигуры сложной формы часто применяют способ разбиения или метод отрицательных площадей, либо комбинируют два способа.

Приведем в кратком виде формулы для вычисления значения центра тяжести для простых фигур.

Центр тяжести треугольника находится в точке пересечения его меридиан. Координаты вычисляются как среднеарифметическое координат вершин треугольника.

Формула 5

xc=13(x1+x2+x3)yc=13(y1+y2+y3)

Центр тяжести прямоугольника лежит на пересечение

Центр тяжести прямоугольника лежит на пересечение его диагоналей. Координаты равны половине соответствующей стороны.

Формула 6

xc=12ADyc=12AB

Центр тяжести круга или сферы находится в его цент

Центр тяжести круга или сферы находится в его центре. Координаты равны нулю.

Центр тяжести полукруга находится на оси его симме

Центр тяжести полукруга находится на оси его симметрии. Координаты вычисляются следующим образом:

Формула 7

xc=yc=43πR

Координаты полусферы:

Формула 8

xc=yc=38R

Центр тяжести конуса лежит на его высоте. Координа

Центр тяжести конуса лежит на его высоте. Координаты определяются:

Формула 9

xc=yc=14OH

Ниже показано несколько примеров разбиения тел сло

Ниже показано несколько примеров разбиения тел сложной формы на более простые.

Задачи к лекции

Задачи к лекции

  1. Вырезать из картона или плотной бумаги произвольный треугольник, определить положение его центра тяжести экспериментально. Провести в треугольнике медианы и сравнить положение их точки пересечения с положением центра тяжести.
  2. От кругового сектора, радиус которого равен 10 см, а центральный угол – 60°, отделен сегмент (рис. 8.19). Найти положение его центра тяжести.

    Рис. 8.19

    Рис. 8.19

  3. Найти координаты центра тяжести однородной плоской фигуры, изображенной на рис. 8.20.

    Рис. 8.20

    Рис. 8.20

Ответы. 2. Центр тяжести лежит на оси симметрии сегмента (сектора) на расстоянии около 9.2 см от вершины сектора. 3. Приближенное положение: C(4.50; 8.46).

Также рекомендуется решить задачи из §9 [2]; РГР С8 [3].

Теги

Популярные:

Последние:

Adblock
detector