Центр масс с примерами решения и образцами выполнения

Нахождение координат центра масс

Определение 2

Центр масс двух тел с точечными массами $m_1$ и $m_2$ и координатами на координатной прямой $x_1$ и $x_2$ находится в точке, делящей расстояние между этими телами на отрезки с длинами обратно пропорциональными массам рассматриваемых тел.

Отсюда следует, что чем массивнее тело в такой элементарной системе, тем ближе оно к общему центру масс.

Расстояние между точечными телами равно:

$\Delta x = x_2 — x_1$

Пропорция между массами и расстояниями, согласно определению:

$\frac{l_1}{l_2} = \frac{m_2}{m_1}$,

Готовые работы на аналогичную тему

Курсовая работа Как найти координаты центра масс 460 ₽ Реферат Как найти координаты центра масс 250 ₽ Контрольная работа Как найти координаты центра масс 230 ₽

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту Узнать стоимость

Читайте также: Как найти массу?

где $l_1$, $l_2$ — расстояния от соответствующих тел до центра масс.

Выразив, длины через координаты

$l_1 = x_c — x_1; l_2 = x_2 — x_c$,

центр масс можно определить как

$x_c = \frac{m_1 \cdot x_1 + m_2 \cdot x_2}{m_1 + m_2}$.

где $x_c$ — координата центра тяжести.

Разложив любую сложную систему на множество элементарных тел с точечными массами, можно обобщить изложенный принцип в виде формулы (для оси абсцисс):

$x_c = \frac{\sum\limits^N_{i=1}{m_i \cdot x_i}}{\sum\limits^N_{i=1}{m_i}}$

В большинстве случаев центр масс требуется найти не на координатной прямой, а в двух- или трехмерной системе координат. Для дополнительных осей координаты центра масс ($y_c$, $z_c$) находят по аналогичному принципу.

Замечание 1

Центр тяжести системы тел представляет собой точку, подобную центру масс, но рассчитывается не для масс, а для весов (обусловленных гравитацией сил), действующих на точечные тела, входящие в систему. Центр тяжести определяется так же, как и центр масс, если размеры системы малы в сравнении с радиусом планеты Земля. Он в большинстве случаев с достаточной для практики точностью совпадает с центром масс рассматриваемой системы.

Пример 1

Найти центр масс двух линеек, изготовленных из одинакового материала, одинаковой толщины и ширины, левые концы линеек совмещены. Длины линеек — 10 и 30 см. Толщиной линеек можно пренебречь. Поскольку толщиной можно пренебречь, найти нужно лишь координату центра масс по оси $x$. Разобьем мысленно систему на два отрезка. Первый — где толщина линеек складывается. Его координаты — $[0, 10]$. Второй отрезок — где длинная линейка продолжается одна. Его координаты — $[10, 30]$. Примем за единицу измерения массу одного погонного сантиметра линейки. Тогда масса второго фрагмента: $m_2 = 30 — 10 = 20$ На каждый сантиметр первого фрагмента приходится вдвое больше массы, поскольку там сложены две линейки: $m_1 = 10 \cdot 2 = 20$ Центры масс отрезков находятся на их осях симметрии, т.е. на середине длины каждого: $x_{c1} = \frac{10}{2} = 5$; $x_{c2} = 10 + \frac{20}{2} = 20$ Подставим значения в формулу: $x_c = \frac{m_1 \cdot x_1 + m_2 \cdot x_2}{m_1 + m_2}$ $x_c = \frac{20 \cdot 5 + 20 \cdot 20}{20 +20} = \frac{100 + 400}{40} = 12, 5$ Ответ: центр масс находится на расстоянии 12,5 см от левого конца системы линеек.

Получи деньги за свои студенческие работы Курсовые, рефераты или другие работы

Видео

Скорость центра масс

Выражение для скорости центра масс (${\overline{v}}_c=\frac{d{\overline{r}}_c}{dt}$) запишем как:

где $\overline{P}$ — суммарный импульс системы частиц; $M$ масса системы. Выражение (8) справедливо при движениях со скоростями которые существенно меньше скорости света.

Если система частиц является замкнутой, то сумма импульсов ее частей не изменяется. Следовательно, скорость центра масс при этом величина постоянная. Говорят, что центр масс замкнутой системы перемещается по инерции, то есть прямолинейно и равномерно, и это движение не зависимо от движения составных частей системы. В замкнутой системе могут действовать внутренние силы, в результате их действия части системы могут иметь ускорения. Но это не оказывает влияния на движение центра масс. Под действием внутренних сил скорость центра масс не изменяется.

Центры масс однородных фигур

• У отрезка — середина.
• У многоугольников (как сплошных плоских фигур, так и каркасов):
  • У параллелограмма — точка пересечения диагоналей.
  • У треугольника — точка пересечения медиан (центроид).
• У правильного многоугольника — центр поворотной симметрии.
• У полукруга — точка, делящая перпендикулярный радиус в отношении 4:3π от центра круга.

Координаты центра масс однородной плоской фигуры можно вычислить по формулам (следствие из теорем Паппа — Гульдина):

и , где — объём тела, полученного вращением фигуры вокруг соответствующей оси, — площадь фигуры.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание Два шара массами 3 и 5 кг скреплены стержнем, масса которого 2 кг. Определить положение общего центра масс системы, если радиус первого шара 5 см, радиус второго шара 7 см, а длина стержня 30 см. Решение Выполним рисунок. Запишем условие равновесия системы относительно оси, проходящей через ее центр масс : Моменты, созданные силами тяжести: Подставим значения моментов в условие равновесия: Переведем единицы в систему СИ: см м; см м. Вычислим: Ответ Центр тяжести системы находится на расстоянии 5 см от середины стержня в сторону большего шара.

Теги