Содержание материала
Рубрики
- 01 Задание (2022)
- 02 Задание (2022)
- 03 Задание (2022)
- 04 Задание (2016)
- 05 Задание (2022)
- 06 Задание (2022)
- 07 Задание (2022)
- 08 Задание (2022)
- 11 Задание (2022)
- 12 Задание (2022) (C1)
- 13 Задание (2022) (C2)
- 14 Задание (2022) (C3)
- 15 Задание (2022) (C4)
- 16 Задание (2022)
- 17 Задание (2022) (C6)
- 18 Задание (2022) (С7)
- АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
- База ЕГЭ Задание 19
- База ЕГЭ Задание 20
- БЕЗ РУБРИКИ
- ВИДЕОЛЕКЦИИ
- ВИДЕОТЕКА
- ВИДЕОУРОКИ
- Вопросы для повторения
- Диагностические работы
- Задание 01 (2016)
- Задание 02 (2016)
- Задание 03 (2016)
- ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРОМ
- Задачи с практическим содержанием
- ИНТЕГРАЛ
- Интерактивные модели
- ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
- Комбинаторика
- ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
- МГУ, ДВИ
- НОВОСТИ
- ОГЭ (ГИА) Задание 11
- ОГЭ (ГИА) Задание 15
- ОГЭ (ГИА) Задание 15
- ОГЭ (ГИА) Задание 24
- ОГЭ (ГИА) Задание 25
- ОНЛАЙН КУРСЫ
- Оплата
- ПЛАНИМЕТРИЯ
- ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
- ПОЛЕЗНЫЕ СОВЕТЫ
- ПРЕЗЕНТАЦИИ
- ПРОГРЕССИИ
- ПРОИЗВОДНАЯ
- РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, НЕРАВЕНСТВА И СИСТЕМЫ
- СТЕРЕОМЕТРИЯ
- ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ
- Теория вероятностей
- ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
- Тесты
- Тренировочные варианты
- ТРИГОНОМЕТРИЯ
- УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЕМ
- ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ
Уравнение касательной к графику функций
А сейчас сосредоточимся на произвольных касательных.
Предположим, у нас есть какая-то функция, например, \( f\left( x \right)=\left( {{x}^{2}}+2 \right)\). Мы нарисовали ее график и хотим провести касательную к нему в какой-нибудь точке \( {{x}_{0}}\). Например, в точке \( {{x}_{0}}=2\).
Берем линейку, пристраиваем ее к графику и чертим:
Что мы знаем об этой прямой? Что самое важное нужно знать о прямой на координатной плоскости?
Поскольку прямая – это изображение линейной функции, очень удобно было бы знать ее уравнение. То есть коэффициенты \( k\) и \( b\) в уравнении
\( y=kx+b\).
Но ведь \( k\) мы уже знаем! Это угловой коэффициент касательной, который равен производной функции в этой точке:
\( k={f}’\left( {{x}_{0}} \right)\).
В нашем примере будет так:
\( k={f}’\left( {{x}_{0}} \right)={f}’\left( 2 \right)=2\cdot 2=4.\)Теперь остается найти \( b\) . Это проще простого: ведь \( b\) – значение \( y\) при \( \displaystyle x=0\).
Графически \( b\) – это координата пересечения прямой с осью ординат (ведь \( \displaystyle x=0\) во всех точках оси \( \displaystyle Oy\)):
Проведём \( BC\parallel Ox\) (так, что \( \triangle ABC\) – прямоугольный).
Тогда \( \angle ABC=\alpha \)(тому самому углу между касательной и осью абсцисс). Чему равны \( \displaystyle AC\) и \( \displaystyle BC\)?
По рисунку явно видно, что \( BC={{x}_{0}}\), а \( AC=f\left( {{x}_{0}} \right)-b\). Тогда получаем:
\( {f}’\left( {{x}_{0}} \right)=\ {tg}\alpha =\frac{AC}{BC}=\frac{f\left( {{x}_{0}} \right)-b}{{{x}_{0}}}\text{ }\Rightarrow \text{ }b=f\left( {{x}_{0}} \right)-{{x}_{0}}\cdot {f}’\left( {{x}_{0}} \right)\).
Соединяем все полученные формулы в уравнение прямой:
\( y={f}’\left( {{x}_{0}} \right)\cdot \left( x-{{x}_{0}} \right)+f\left( {{x}_{0}} \right)\)Это и есть уравнение касательной к графику функции \( f\left( x \right)\) в точке \( {{x}_{0}}\).
Пример:
Найди уравнение касательной к графику функции \( f\left( x \right)={{x}^{2}}-2x+3\) в точке \( {{x}_{0}}=3\).
Решение:
На этом примере выработаем простой…
Видео
Бонус: Вебинар из нашего курса по подготовке к ЕГЭ по математике
ЕГЭ . Производная функции — геометрический смысл, дифференцирование
На этом видео мы вспомним, что такое функция и её график, научимся искать производную некоторых функций, например, такой: y = 2×3 – 3×2 + x + 5.
Мы разберём от А до Я все 7 типов задач, которые могут попасться в задаче №7 из ЕГЭ. Узнаем, на какие 3 фразы в условии задачи нужно обратить особое внимание, чтобы с лёгкостью решить задачу и не потерять баллы на ровном месте.
Разберём все возможные ошибки, которые можно допустить в этих задачах. Мы поймём, что многие из этих задач решаются обычным подсчётом клеточек на графике! Главное – не перепутать, что нужно считать.
P.S. Не забудьте потом посмотреть родственную тему: «Интегралы на ЕГЭ. Первообразные элементарных функций».