Определить абсциссу точки касания

Содержание материала

Рубрики
Видео
Уравнение касательной к графику функций
Бонус: Вебинар из нашего курса по подготовке к ЕГЭ по математике
ЕГЭ . Производная функции — геометрический смысл, дифференцирование

Уравнение касательной к графику функций

А сейчас сосредоточимся на произвольных касательных.

Предположим, у нас есть какая-то функция, например, \( f\left( x \right)=\left( {{x}^{2}}+2 \right)\). Мы нарисовали ее график и хотим провести касательную к нему в какой-нибудь точке \( {{x}_{0}}\). Например, в точке \( {{x}_{0}}=2\).

Берем линейку, пристраиваем ее к графику и чертим:

Что мы знаем об этой прямой? Что самое важное нужно знать о прямой на координатной плоскости?

Поскольку прямая – это изображение линейной функции, очень удобно было бы знать ее уравнение. То есть коэффициенты \( k\) и \( b\) в уравнении

\( y=kx+b\).

Но ведь \( k\) мы уже знаем! Это угловой коэффициент касательной, который равен производной функции в этой точке:

\( k={f}’\left( {{x}_{0}} \right)\).

В нашем примере будет так:

\( k={f}’\left( {{x}_{0}} \right)={f}’\left( 2 \right)=2\cdot 2=4.\)Теперь остается найти \( b\) . Это проще простого: ведь \( b\) – значение \( y\) при \( \displaystyle x=0\).

Графически \( b\) – это координата пересечения прямой с осью ординат (ведь \( \displaystyle x=0\) во всех точках оси \( \displaystyle Oy\)):

Проведём \( BC\parallel Ox\) (так, что \( \triangle ABC\) – прямоугольный).

Тогда \( \angle ABC=\alpha \)(тому самому углу между касательной и осью абсцисс). Чему равны \( \displaystyle AC\) и \( \displaystyle BC\)?

По рисунку явно видно, что \( BC={{x}_{0}}\), а \( AC=f\left( {{x}_{0}} \right)-b\). Тогда получаем:

\( {f}’\left( {{x}_{0}} \right)=\ {tg}\alpha =\frac{AC}{BC}=\frac{f\left( {{x}_{0}} \right)-b}{{{x}_{0}}}\text{ }\Rightarrow \text{ }b=f\left( {{x}_{0}} \right)-{{x}_{0}}\cdot {f}’\left( {{x}_{0}} \right)\).

Соединяем все полученные формулы в уравнение прямой:

\( y={f}’\left( {{x}_{0}} \right)\cdot \left( x-{{x}_{0}} \right)+f\left( {{x}_{0}} \right)\)Это и есть уравнение касательной к графику функции \( f\left( x \right)\) в точке \( {{x}_{0}}\).

Пример:

Найди уравнение касательной к графику функции \( f\left( x \right)={{x}^{2}}-2x+3\) в точке \( {{x}_{0}}=3\).

Решение:

На этом примере выработаем простой…

Видео

Бонус: Вебинар из нашего курса по подготовке к ЕГЭ по математике

ЕГЭ . Производная функции — геометрический смысл, дифференцирование

На этом видео мы вспомним, что такое функция и её график, научимся искать производную некоторых функций, например, такой: y = 2×3 – 3×2 + x + 5.

Мы разберём от А до Я все 7 типов задач, которые могут попасться в задаче №7 из ЕГЭ. Узнаем, на какие 3 фразы в условии задачи нужно обратить особое внимание, чтобы с лёгкостью решить задачу и не потерять баллы на ровном месте.

Разберём все возможные ошибки, которые можно допустить в этих задачах. Мы поймём, что многие из этих задач решаются обычным подсчётом клеточек на графике! Главное – не перепутать, что нужно считать.

P.S. Не забудьте потом посмотреть родственную тему: «Интегралы на ЕГЭ. Первообразные элементарных функций».

ЕГЭ РЕШУ ЕГЭ к ЕГЭ с к ЕГЭ и Решу ЕГЭ Математика профильного Математика профильного по математике по математике Фельдман по математике в по математике по математике Фельдман по математике в по математике.смысл производной

Абсцисса точки касания

Рубрики

Уравнение касательной к графику функций

Видео

Бонус: Вебинар из нашего курса по подготовке к ЕГЭ по математике

ЕГЭ . Производная функции — геометрический смысл, дифференцирование

Теги

Похожие записи:

Популярные:

Последние: