Содержание материала
Решение задач на пропорции
Часто задачи на пропорции тесно связаны с процентами. Свои знания о процентах, вы можете освежить в разделе «Проценты».
Разбор примера
Из лука сделано 50 выстрелов. 5 стрел пролетело мимо мишени. Определите процент попадания.
По традиции подчёркнем важные и числовые данные в задаче.
Обратите внимание, что нам нужно определить процент попаданий, а не процент пролетевших мимо стрел.
Поэтому вначале посчитаем, сколько стрел попало в цель. Сделать это не составит труда.
- 50 − 5 = 45 (стрел) — попало в цель.
Далее для решения задачи составим таблицу, куда занесём все данные. Запомните, что напротив 100% в таблице обычно пишется общее количество чего-либо. Неизвестные проценты обозначим буквой x.
Стрелы | Проценты | |
---|---|---|
Всего выпущено | 50 | 100 % |
Попало в цель | 45 | x % |
Чтобы правильно записывать нужные данные в таблицу, запомните простое правило.
Запомните!
Одинаковые наименования нужно записывать друг под другом. Проценты записываем под процентами, килограммы под килограммами и т.д.
Теперь, используя таблицу, составим нужную пропорцию и решим её с помощью правила «креста».

Ответ: 90% — процент попадания в мишень.
Пропорции Задачи на пропорцииВидео
Уравнения с пропорцией
Существуют уравнения в виде обыкновенной дроби, в которых необходимо найти неизвестную величину. Для этого нужно рассмотреть основные их виды:
- Линейные.
- Квадратные.
- Кубические.
- Биквадратные.
Различаются они степенным показателем. У первого типа степень переменной соответствует 1, второго — двойке, третьего — тройке и четвертого — четверке. При решении таких типов нужно выписать знаменатели отдельно, и решить их. Такие корни не являются решением исходной пропорции, поскольку знаменатели должны быть отличны от нулевого значения.
Решение линейного типа сводится к применению правила «крест-накрест». После чего нужно руководствоваться четвертым пунктом универсального алгоритма. Квадратное уравнение (ap 2 + bp + c = 0) решается при помощи разложения на множители (существует высокая вероятность сокращения степени с последующим упрощением выражения) или с использованием дискриминанта (D = b 2 — 4ac). Корни зависят от его значения:
- Два корня, когда D > 0: р1 = (-b — [D]^(½)) / 2a и р2 = (-b + [D]^(½)) / 2a.
- При D равном 0 (один): р = (-b) / 2a.
- Если D < 0, то решений нет.
Решение уравнений кубического и биквадратного видов сводятся к разложению на множители. В результате этого происходит понижение степени до двойки. Кроме того, эффективным методом нахождения корней считается введение замены переменной.
Методика исследования
Пропорция применима только к линейным законам изменения величин. Примером этого является поведение простой тригонометрической функции z = sin (p). Величина «z» — зависимая переменная, которая называется значением функции. Переменная «p» — независимая величина или аргумент. В данном контексте она принимает значения углов в градусах. Для демонстрации того, что пропорция «не работает» необходимо подставить некоторые данные.
Кроме того, нужна таблица значений тригонометрических функций некоторых углов. Необходимо предположить, что p = 30, тогда z = sin (30) = 0,5. По свойству пропорции можно найти значение функции при р = 60, не используя таблицу. Для этого нужно составить пропорцию с неизвестным: 30 / 0,5 = 60 / х. Чтобы найти х («икс»), нужно воспользоваться свойством умножения «крест-накрест»: 60 * 0,5 = 30 * х. Уравнение решается очень просто: х = 60 * 0,5 / 30 = 30 / 30 = 1. Ответ получен очень быстро, и нет необходимости смотреть табличное значение.
В этом случае не так все просто. Если воспользоваться вышеописанной таблицей, то z = sin (60) = [3^(½)] / 2. Полученное значение не равно 1. Причина несоответствия — нелинейность функции. Математики для облегчения вычислений предлагают методику определения нелинейных выражений. Она состоит из следующих положений:
- Записать функцию.
- Рассмотреть составные части.
- Если простой тип, перейти к 5 пункту.
- Сложная — разложить на простые элементы, а затем перейти к 5 пункту.
- Определить тип зависимости ее значения от аргумента: линейная или нелинейная. Если получен второй тип, то свойства пропорции применить невозможно.
- Определить тип линейности, построив график.
По таким правилам были исследовано огромное количество функций. К нелинейным относятся следующие: прямые и обратные тригонометрические, гиперболические, показательные, логарифмические и сложные математические, состоящие из нелинейных зависимостей.
К прямым тригонометрическим относятся sin (p), cos (p), tg (p) и ctg (p), а к обратным — arcsin (p), arccos (p), arctg (p) и arcctg (p). Следует отметить, что гиперболическими являются sh, ch, th, cth, sech и csch. Показательная — z = a^y, а логарифмической — функция, имеющая операцию логарифмирования. Простые линейные могут объединяться с нелинейными. В таких случаях правило пропорции также не соблюдается.
Примеры решения задач с пропорцией
Чтобы потренироваться в составлении пропорций, решим вместе несколько задачек.
Задачка 1. Дана математическая пропорция: 15/3 = x/4
Найдите x.
Как решаем:
- По основному свойству пропорции перемножаем множители: 15 * 4 = 3x
- Получаем уравнение: 60 = 3x
- 60/3 = x x = 20.
Ответ: в пропорции 15/3 = x/4, x = 20
Задачка 2. Найдите четвертый член пропорции: 18, 9 и 24.
Как решаем:
- Записываем чиcла в виде дробей: 18/9 = 24/x Где x — четвертый член пропорции.
- По основному свойству пропорции, перемножаем средние члены: 9 * 24 = 216
- Выводим уравнение 18x = 216
- Находим x: x = 216 : 18 x = 12
- Проверяем: 9 * 24 = 216, 18 * 12 = 216. Пропорция составлена верно.
Ответ: четвертый член пропорции — 12.
Задачка 3. 18 человек могут съесть пять килограммов суши за 8 часов, сколько часов понадобится 9 людям?
Как решаем:
- Записываем числа в виде обратной пропорции: 18/9 = x/8
- Перемножаем множители по основному свойству пропорции: 18 * 8 = 9x
- Находим х: 144 = 9x 144 : 9 = 16
Ответ: 16 часов понадобится 9 людям, чтобы съесть все суши.
Задачка 4. Дана пропорция: 20/2 = y/4
Найдите y.
Как решаем:
- По основному свойству пропорции перемножаем множители: 20 * 4 = 2y
- Получаем уравнение: 80 = 2y
- Находим у: 80/2 = y x = 40.
- Проверяем пропорцию: 20 * 4 = 80, 40 * 2 = 80.
Ответ: в пропорции 20/2 = y/4, y = 40