§ Дискриминант. Решение квадратных уравнений через дискриминант

Введите квадратное уравнение

Решим квадратное уравнение a*x² + b*x + c = 0, для этого введите a, b и c.

Что умеет данный калькулятор?

• Решает полные, неполные и приведённые квадратные уравнения
• Находит дискриминант и корни квадратного уравнения
• Составляет формулу квадратного уравнения
• Находит сумму корней
• Находит произведение корней
• Теорема и формулы Виета

Важно Коэффициент a не может быть равен нулю. Если a=0, то уравнение будет линейным (не квадратным). Чтобы получить решение неполного квадратного уравнения, надо просто приравнять b к нулю

Видео

Понятие дискриминанта

Дискриминант квадратного уравнения — это выражение, равное b² − 4ac. Дискриминант в переводе с латинского означает «отличающий» или «различающий» и обозначается буквой D.

Дискриминант — отличный помощник, чтобы понять, сколько в уравнении корней.

Взаимосвязь параметра

Объяснение дискриминанта имеет и графическое обоснование. Физически задача заключается в комплексном подходе установления взаимосвязи. Фактически это фиксирование нулей параболы уравнения, то есть точек, в которой она пересекает ось абсциссы. Знак при переменной в квадрате будет определять положение веток параболы. Они будут идти вверх при a > 0, и вниз, если a < 0.

Исходя из этого, дискриминант равняется отношению суммы или разности числового коэффициента, стоящего возле неизвестного в первой степени с корнем квадратным из b ² — 4 ac к удвоенному произведению первого коэффициента в уравнениях x1 = (- b + √ b ² — 4 ac) / 2a; x2 = (- b — √ b ² — 4 ac) / 2a. Подкоренное выражение называют формулой сокращённого дискриминанта.

Дискриминант при нахождении корней уравнения может принимать три значения:

1. Отрицательное. В случае, когда он меньше нуля, точный квадрат должен равняться числу с минусом, чего не может быть из-за свойств квадратной степени. Поэтому при таком положении вещей решений или действительных корней у уравнения нет. График уравнения не пересекает ось абсциссы.
2. Равное нулю. Это состояние характеризуется уравнением вида: (2 am + b)² = 0. Так как квадрат числа может быть равен нулю, только если это число нулевое, то рассматриваемое уравнение можно переписать как m = — b / 2a. Это и есть упрощённая формула при дискриминанте, равному 0. На графике существует лишь одна точка пересечения с осью абсциссы.
3. Положительное. Это наиболее распространённый случай и самый тяжёлый для проведения расчётов. При нём из обеих частей уравнения теоремы (2 am + b) ² = b ² — 4 ac надо извлечь квадратный корень. В итоге получится 2am + b =± √D. Тут следует отметить следующее: минус возникает из-за того, что возводимое в квадрат число может быть как положительное, так и отрицательное. Например, 9² = 81 и -9² = 81. Из этого выражения можно выразить неизвестное. Оно будет равняться половинному значению m = (-b ± √D) / 2a. Парабола пересекает ось абсцисс в двух точках.

Последнее выражение является формулой корней квадратного уравнения. Именно с её помощью могут решаться равенства, в степени которых стоит двойка. Через дискриминант можно вычислять корни и уравнений больших порядков. Для этого используются приёмы понижения степени до квадратного. Но эти операции учащиеся начинают изучать на уроках в выпускном классе, когда проходят решение уравнений n-го порядка.

Примеры решения квадратных уравнений с помощью дискриминанта

Пример 1. Решить уравнение: 3x² — 4x + 2 = 0.

Как решаем:

1. Определим коэффициенты: a = 3, b = -4, c = 2.
2. Найдем дискриминант: D = b² — 4ac = (-4)² — 4 * 3 * 2 = 16 — 24 = -8.

Ответ: D < 0, корней нет.

Пример 2. Решить уравнение: x² — 6x + 9 = 0.

Как решаем:

1. Определим коэффициенты: a = 1, b = -6, c = 9.
2. Найдем дискриминант: D = b² — 4ac = (-6)² — 4 * 1 * 9 = 36 — 36 = 0.

3. D = 0, значит уравнение имеет один корень:

   

Ответ: корень уравнения 3.

Пример 3. Решить уравнение: x² — 4x — 5 = 0.

Как решаем:

1. Определим коэффициенты: a = 1, b = -4, c = -5.
2. Найдем дискриминант: D = b² — 4ac = (-4)² — 4 * 1 * (-5) = 16 + 20 = 36.

3. D > 0, значит уравнение имеет два корня:

   

x₁ = (4 + 6) : 2 = 5,

x₂ = (4 — 6) : 2 = -1.

Ответ: два корня x₁ = 5, x₂ = -1.

Разобраться в решении квадратных уравнений на практике с классным преподавателем можно на курсах по математике в Skysmart.

Теги